Метод разложения: Метод разложения интегралов: формула, примеры решений

Содержание

Непосредственное интегрирование (метод разложения)

С помощью свойств неопределенного интеграла и таблицы интегралов от элементарных функций становится возможным отыскание первообразных для несложных алгебраических выражений. Например,

.

В большинстве случае для приведения к табличным интегралам необходимо выполнить предварительное преобразование подынтегрального выражения:

.

Метод замены переменной

Если подынтегральное выражение является достаточно сложным, то привести его к табличному виду часто удается одним из основных методов интегрирования — методом замены переменной (или методом подстановки). Основная идея метода состоит в том, что в выражениевместо переменнойx вводится вспомогательная переменная u, связанная с х известной зависимостью . Тогда подынтегральное выражение преобразуется к новому виду, т.е. имеем

.

Здесь, по правилу дифференцирования сложной функции, =.

Если, после такого преобразования, интеграл является табличным или значительно проще исходного, то замена переменной достигла своей цели.

Пример:

К сожалению, нельзя указать общих правил выбора «удачной» подстановки: такой выбор зависит от структуры конкретного подынтегрального выражения. В разделе 9.12 приводятся примеры, поясняющие различные способы выбора подстановки в ряде частных случаев.

Метод интегрирования по частям

Следующим основным общим методом является интегрирование по частям. Пусть u=u(х) и v=v(x) — дифференцируемые функции. Для произведения этих функций имеем, по свойству дифференциала:

d(uv) = v du + u dv или u dv = d(uv) — v du.

Интегрируя левую и правую части последнего равенства и учитывая свойство 3 неопределенного интеграла, получаем

Эта формула называется формулой интегрирования по частям для неопределенного интеграла. Для ее применения фиксируется разбиение подынтегрального выражения на два сомножителя и и dv. При переходе к правой части формулы первый из них дифференцируется (при нахождении дифференциала: du=u’dx), второй интегрируется: . Такой прием приводит к цели, еслиинтегрируется легче, чем. Пример:

Иногда для получения результата формулу интегрирования по частям приходится применять несколько раз. Отметим, что при промежуточном вычислении можно не дописывать произвольную постояннуюC; легко убедиться, что в ходе решения она уничтожится.

Интегрирование рациональных дробей

Если подынтегральная функция представляет собой алгебраическую дробь, то на практике достаточно часто встречаются два типовых случая:

1.Степень числителя дроби больше или равна степени знаменателя (неправильная дробь). Для такой дроби можно разделить числитель на знаменатель известным из школьного курса методом деления углом (иначе – выделение целой части), после чего выполнить интегрирование. Пример:

.

Здесь использовалась и замена переменной:

.

Для промежуточного расчет произвольную С можно не указывать, но в окончательном ответе она обязательна.

2. Метод неопределенных коэффициентов. Если дробь – правильная и знаменатель разлагается на множители, то этот метод позволяет представить подынтегральную функцию суммой простых дробей, проинтегрировать которые уже несложно. Метод имеет большое значение не только в интегрировании. Покажем его суть на примере вычисления интеграла.

Разложив знаменатель дроби на множители, имеем: . Введем теперь

предположение, что эту дробь можно представить суммой простых дробей:

Здесь А и В – неизвестные коэффициенты, которые следует найти (неопределенные коэффициенты). Для этого приведем правую часть равенства к общему знаменателю:

Сократив знаменатели и раскрыв скобки, получим

Теперь используем теорему: чтобы два алгебраических выражения были тождественно равны, необходимо и достаточно равенство их соответственных коэффициентов. Таким образом, получим систему из двух уравнений и решим ее:

.

Следовательно,

.

Возвращаясь к задаче интегрирования, получим

.

описание метода, примеры решения уравнений

Обоснование

Обоснуем метод разложения на множители. Для этого достаточно доказать, что любой корень уравнения f

1(x)·f2(x)·…·fn(x)=0 является корнем совокупности уравнений f1(x)=0, f2(x)=0, …, fn(x)=0 и что любой корень совокупности уравнений f1(x)=0, f2(x)=0, …, fn(x)=0, принадлежащий ОДЗ для исходного уравнения, является корнем уравнения f1(x)·f2(x)·…·fn(x)=0.

Начнем с доказательства первой части. Пусть x0 – корень уравнения f1(x)·f2(x)·…·fn(x)=0. Докажем, что x0 является корнем совокупности уравнений f1(x)=0, f2(x)=0, …, fn(x)=0.

Так как x0 – корень уравнения f1(x)·f2(x)·…·fn(x)=0, то f1(x0)·f2(x0)·…·fn(x0)=0 — верное числовое равенство. Известно, что произведение нескольких чисел равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы одно из них равно нулю. Значит, из равенства f

1(x0)·f2(x0)·…·fn(x0)=0 следует, что f1(x0)=0, и/или f2(x0)=0, и/или …, fn(x0)=0. А это означает, что x0 является корнем хотя бы одного из уравнений f1(x)=0, f2(x)=0, …, fn(x)=0, а значит, является корнем совокупности уравнений f1(x)=0, f2(x)=0, …, fn(x)=0.

Переходим к доказательству второй части. Пусть x0 – корень совокупности уравнений f1(x)=0, f2(x)=0, …, fn(x)=0, причем x0 принадлежит ОДЗ переменной x для уравнения f1(x)·f2(x)·…·fn(x)=0. Докажем, что x0 – корень уравнения f1(x)·f2

(x)·…·fn(x)=0.

Так как x0 принадлежит ОДЗ переменной x для уравнения f1(x)·f2(x)·…·fn(x)=0, то запись f1(x0)·f2(x0)·…·fn(x0)=0 имеет смысл.{2}}\)­­

Ну и что с ним делать будешь? Вроде бы и на \( \displaystyle  3\) что-то делится и на \( \displaystyle  5\), а что-то на \( \displaystyle  x\) и на \( \displaystyle  y\)

Но все вместе на что-то одно не разделишь, ну нет тут общего множителя, как не ищи, что, так и оставить, не раскладывая на множители?

Тут надо смекалку проявить, а имя этой смекалке – группировка!

Применяется она как раз, когда общие делители есть не у всех членов. Для группировки необходимо найти группки слагаемых, имеющих общие делители и переставить их так, чтобы из каждой группы можно было получить один и тот же множитель.

Переставлять местами конечно не обязательно, но это дает наглядность, для наглядности же можно взять отдельные части выражения в скобки, их ставить не запрещается сколько угодно, главное со знаками не напутать.

Не очень понятно все это? Объясню на примере:

В многочлене \( \displaystyle  {{x}^{3}}-3xy-5{{x}^{2}}y+15{{y}^{2}}\)­­ ставим член – \( \displaystyle  3xy\) после члена – \( \displaystyle  5x2y\) получаем:

\( \displaystyle  {{x}^{3}}-5{{x}^{2}}y-3xy+15{{y}^{2}}\)

Группируем первые два члена вместе в отдельной скобке и так же группируем третий и четвертый члены, вынеся за скобку знак «минус», получаем:

\( \displaystyle  ({{x}^{3}}-5{{x}^{2}}y)-(3xy-15{{y}^{2}})\)

А теперь смотрим по отдельности на каждую из двух «кучек», на которые мы разбили выражение скобками.{2}}-3y)(x-5y)\).

Согласись, уже не такой громоздкий, как был?

3.1.2. Разложение выражений на множители



Глава 3. Решение уравнений и неравенств

3.1.

3.1.2.

Изучение приёмов преобразования уравнений начнём с обсуждения того, как можно разлагать на множители выражения, входящие в данное уравнение. Вообще представление уравнения f (x) = g (x) в виде

F1 (x) · F2 (x) · … · Fn (x) = 0, (5)

где выражения Fk (x), k = 1, …, n «проще» функций f (x) и g (x), представляет собой несомненное продвижение в решении уравнения. В самом деле, представление вида (5) позволяет сразу приравнивать множители Fk (x) нулю и решать более простые уравнения. Представление уравнения (1) в виде (5) иногда называют факторизованным видом уравнения (1) (от английского слова «factor» – множитель).

Перечислим теперь некоторые наиболее распространённые приёмы разложения многочленов, как наиболее простых алгебраических функций, на множители.

1. Вынесение общего множителя за скобку

В том случае, когда все члены многочлена имеют один и тот же общий множитель, его можно вынести за скобку, получая тем самым разложение многочлена.

Пример 1

Разложить на множители многочлен x5 – 2x3 + x2.

Каждое слагаемое этого многочлена содержит множитель x2. Вынесем его за скобку и получим ответ: x5 – 2x3 + x2 = x2(x3 – 2x + 1).


2. Применение формул сокращённого умножения

Формулы сокращения довольно эффективно применяются при разложении многочлена на множители. Полезно помнить следующие формулы:

Пример 2

Разложить на множители многочлен (x – 2)4 – (3x + 1)4.

Разложим разность четвёртых степеней по формуле, приведённой выше:


3. Применение выделения полного квадрата

Без преувеличения можно сказать, что метод выделения полного квадрата является одним из наиболее эффективных методов разложения на множители. Суть его состоит в выделении полного квадрата и последующего применения формулы разности квадратов. Поясним сказанное на примере.

Пример 3

Разложить на множители многочлен x4 + 4x2 – 1.

Имеем


4. Группировка

Метод группировки слагаемых, как правило, применяется совместно с другими методами разложения на множители и чаще всего с методом вынесения за скобки. Суть метода состоит в том, что все слагаемые данного многочлена перегруппировываются таким образом, чтобы в каждой группе, возможно после вынесения общего множителя за скобки, образовалось бы одно и то же выражение. Это выражение можно также вынести за скобки как общий для всех групп множитель.

5. Метод неопределённых коэффициентов

Суть метода неопределённых коэффициентов состоит в том, что вид сомножителей, на которые разлагается данный многочлен, угадывается, а коэффициенты этих сомножителей (также многочленов) определятся путём перемножения сомножителей и приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях переменной.

Теоретической основой метода являются следующие утверждения.

  • Два многочлена равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты.
  • Любой многочлен третьей степени имеет хотя бы один действительный корень, а потому разлагается в произведение линейного и квадратичного сомножителя.
  • Любой многочлен четвёртой степени разлагается в произведение многочленов второй степени.

Для доказательства второго утверждения вспомним, как выглядит график степенной функции с нечетной целой степенью (§ 2.2.5). Действительно, из его вида следует, что значение многочлена имеет разные знаки при x → +∞ и x → –∞. Многочлен степени n – непрерывная функция, значит, найдется хотя бы одна точка, в которой график этой функции пересечет ось Ox.

Пример 4

Разложить на множители многочлен 3x3 – x2 – 3x + 1.

Поскольку многочлен третьей степени разлагается в произведение линейного и квадратичного сомножителей, то будем искать многочлены x – p и ax2 + bx  + c такие, что справедливо равенство

3x3 – x2 – 3x + 1 = (x – p)(ax2 + bx + c) = ax3 + (b – ap)x2 + (c – bp)x – pc.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях этого равенства, получаем систему четырёх уравнений для определения четырёх неизвестных коэффициентов:

Решая эту систему, получаем: a = 3, p = –1,  b = 2, c = –1.

Итак, многочлен 3x3 – x2 – 3x + 1 разлагается на множители:

3x3 – x2 – 3x + 1 = (x – 1)(3x2 + 2x – 1).

6. Теорема о корнях многочлена

Разложение многочлена на множители иногда удаётся провести, если один из его корней угадан с помощью теоремы о рациональных корнях, доказанной в § 2.1.4. После того, как корень x = α угадан, многочлен Pn (x) представим в виде Pn (x) = (x – α) · Pn – 1 (x), где Pn – 1 (x) − многочлен степени на 1 меньше, чем Pn (x).

Пример 5

Разложить на множители многочлен x3 – 5x2 – 2x + 16.

Данный многочлен имеет целые коэффициенты. По следствию теоремы о рациональных корнях (см. § 2.1.4) если целое число является корнем этого многочлена, то оно является делителем числа 16, то есть если у данного многочлена есть целые корни, то это могут быть только числа ±1, ±2, ±4, ±8, ±16.

Проверкой убеждаемся, что число 2 является корнем этого многочлена, то есть

x3 – 5x2 – 2x + 16 = (x – 2) · Q (x),
где Q (x) − многочлен второй степени. Следовательно, исходный многочлен разлагается на множители, один из которых (x – 2).

7. Разложение относительно параметра

Суть этого метода легче всего понять на примере.

Пример 6

Разложить на множители многочлен x4 – 10x2 – x + 20.

Преобразуем данный многочлен:

x4 – 10x2 – x + 20 = x4 – 5 · 2x2 – x + 25 – 5 = 25 – 5(1 + 2x2) + x4 – x

Рассмотрим теперь многочлен a2 – a(1 + 2x2) + x4 – x, который при a = 5 совпадает с данным. Полученный многочлен является квадратным, его корни легко найти по теореме Виета:

a2 – a(1 + 2x2) + x4 – x = a2 – a(1 + 2x2) + x(x3 – 1) = a2 – a(1 + 2x2) + x(x – 1)(x2 + x + 1).
Следовательно, a1 = x(x – 1), a2 = x2 + x + 1. Значит, исходный многочлен разлагается на множители a2 – a(1 + 2x2) + x4 – x = (a – (x2 – x))(a – (x2 + x + 1)). Вернемся к многочлену, данному в условии задачи, подставив a = 5. Получим:
x4 – 10x2 + x + 20 = (5 – x
2
 + x)(5 – x2 – x – 1) = (x2 – x – 5)(x2 + x – 4).





Метод разложения на множители для тоновой и цветовой коррекции

5 — 2008

Алексей Горяев, типография «Интеллект»

Метод разложения на множители

Разложение на множители снимков с большим динамическим диапазоном

Метод разложения на множители и повышение четкости

Широкие возможности

В графических редакторах, как платных, так и бесплатных, как правило, предусмотрены различные инструменты для уменьшения шума, усиления четкости, рисования и создания специальных эффектов. Число таких инструментов постоянно увеличивается, но большинство из них относительно мало востребованы. При этом неизменной популярностью у профессионалов пользуются такие инструменты, как «уровни» (Levels) и «тоновые кривые» (Curves).

К сожалению, во многих случаях эти инструменты тоновой и цветовой коррекции недостаточно эффективны. Рассмотрим такой пример. Представленное на рис. 1 изображение снято на цифровой фотоаппарат Сanon EOS 350. Экспозиция выставлена правильно, но фотография далека от идеала из-за плохого освещения под зонтом. Попробуем исправить данное изображение. Как показывает рис. 2, команда Auto levels не дает результата. Использование функции Levels (рис. 3) приводит к потере деталей на платье невесты. Редактирование тоновых кривых Curves (рис. 4) привело к частичной потере контраста, но все-таки дало сносный результат. Еще один фотошоповский фильтр Shadow/Highlight также обеспечил приемлемый результат, хотя и вызвал появление артефактов у контуров (рис. 5).

Конечно, улучшить результат коррекции можно, используя выделения, но это требует больше времени, а хороший метод должен быть простым и эффективным. Таким методом является разложение на множители.

Рис. 1

 

Рис. 2

 

Рис. 3

 

Рис. 4

 

Рис. 5

Метод разложения на множители

Метод разложения на множители предполагает разделение изображения на три слоя: «Тени» (информация о полутонах), «Цвета» и «Детали» (рис. 6). При этом в изображение не вносятся изменения, но появляются новые возможности коррекции.

Рис. 6

 

Рис. 7

Когда все слои включены, вы видите исходный снимок. Чтобы сделать снимок светлее, попробуйте отключить слой теней (рис. 7). Если вам не нужен такой сильный эффект, то в слое теней можно подредактировать тоновую кривую. Сравните рис. 4, 5 и 7 — выводы очевидны.

Разложение на множители снимков с большим динамическим диапазоном

Об изображениях с большим динамическим диапазоном (High Dynamic Range, HDR) можно узнать в Интернете, например на следующих ресурсах: http://www.cambridgeincolour.com/tutorials/high-dynamic-range.htm, http://en.wikipedia.org/wiki/High_dynamic_range_imaging и http://www.hdrsoft.com. Этой темой интересуются и многие любители комбинированной съемки (см. http://www.flickr.com/groups/hdr).

Если кратко, то под HDR понимается съемка сюжета с разными экспозициями, а затем получение одного изображения, содержащего объединенную информацию о светах и тенях. В результате получаются необычные высококонтрастные сюжеты, что и объясняет популярность технологии HDR.

Разработано несколько программ для изготовления HDR-снимков путем создания одного файла из снимков с разной экспозицией.

На рис. 8 представлены снимки, выполненные фотокамерой Sony Alpha 100 с объективом Minolta

Рис. 8а

 

Рис. 8б

 

Рис. 8с


35-70 F4 при малой, средней и большой экспозиции. Результат объединения снимков при малой и большой экспозиции содержит полную информацию о тенях, но без коррекции будет выглядеть так же, как снимок с малой экспозицией.

На рис. 9 показан результат коррекции с помощью фильтра Photomatix (http://www.hdrsoft.com), на рис. 10 — с помощью гамма-коррекции (Gamma=2), а на рис. 11 — с помощью разложения на множители и отключения слоя тени. Как несложно убедиться, встроенный в Photoshop фильтр Shadow/Highlights бесполезен для данного снимка.

Рис. 9

 

Рис. 10

 

Рис. 11

На рис. 12 приведен пример коррекции снимка, сделанного фотокамерой Canon EOS 350 с объективом Industar 61 (50 мм, F 2,8). Исходное изображение (см. рис. 12 а) с глубиной цвета 16 бит на канал получено из формата RAW. Рис. 12 б демонстрирует пример коррекции путем отключения слоя теней, а рис. 12 в — результат применения фильтра Photomatix.

Рис. 12а

 

Рис. 12б

 

Рис. 12в

 

Метод разложения на множители и повышение четкости

Нередко мы хотим сделать снимок ярче, удалить кажущийся «туман» между камерой и объектом. На рис. 13 представлен снимок девушки, сделанный фотокамерой Canon EOS 350 с объективом Yupiter 37 (135 мм, F 3,5). При разложении на множители для черно-белого снимка формируются два слоя: тени и детали (рис. 14). Сделаем слой теней ярче с помощью «уровней», а слой деталей — более контрастным с помощью «кривых» (рис. 15). Результат коррекции представлен на рис. 16.

Рис. 15а

 

Рис. 15б

Широкие возможности

Вариантов и идей применения описанного подхода множество. Например, слой цветов можно эффективно использовать для выделения по цветовому признаку. Слой с деталями предоставляет широкие возможности для рисования, которые намного лучше, чем инструменты большинства графических редакторов. Посмотрим, как можно интересно откорректировать рассмотренный выше портрет девушки. Для выделения глаз к слою «Детали» (рис. 17) применена кривая вроде той, что изображена на рис. 15. Результат показан на рис. 18.

 

* * *

В заключение отметим, что метод разложения не вносит изменений в исходный снимок, но дает массу новых возможностей для обработки. При этом кривые Curve превращаются в очень гибкий инструмент работы. Основное достоинство метода — независимая регулировка яркости и контраста. Хочется надеяться, что со временем он станет таким же популярным, как и инструменты «кривые» и «уровни».

В заключение покажем, что можно сделать за две минуты, используя грубое выделение и кривую для слоя теней (рис. 19).

Рис. 19

КомпьюАрт 5’2008

НОУ ИНТУИТ | Лекция | Простые числа

Аннотация: Эта лекция имеет несколько целей: ввести простые числа и их приложения в криптографии, обсудить некоторые алгоритмы проверки простоты чисел и их эффективность, обсудить алгоритмы разложения на множители и их приложения в криптографии, описать китайскую теорему об остатках и ее приложения, ввести квадратичное сравнение, ввести возведение в степень по модулю и логарифмы.

Асимметрично-ключевая криптография, которую мы обсудим в лекциях 14-15, базируется на некоторых положениях теории чисел, включая теории, связанные с простыми числами, разложением на множители составных объектов в простые числа, модульном возведение в степень и логарифмах, квадратичных вычетах и китайской теореме об остатках. Эти проблемы будут рассмотрены здесь, в чтобы упростить понимание лекциии 14-15.

12.1. Простые числа

Асимметрично-ключевая криптография широко использует простые числа. Тема простых чисел — большая часть любой книги по теории чисел. Эта лекция обсуждает только несколько понятий и фактов, чтобы открыть путь к лекциях 14-15.

Определение

Положительные целые числа могут быть разделены на три группы: число 1, простые числа и составные объекты, как это показано на рис. 12.1.


Рис. 12.1. Три группы положительных целых чисел

Положительное целое число — простое число тогда и только тогда, когда оно точно делимо без остатка на два целых числа — на 1 и на само себя. Составной объект — положительное целое число больше с чем двумя делителями.

Простое число делимо без остатка только на себя и 1.

Пример 12.1

Какое наименьшее простое число?

Решение

Наименьшее простое число — 2, оно делится без остатка на 2 (само на себя) и 1. Обратите внимание, что целое число 1 — не простое число согласно определению, потому что простое число должно быть делимо без остатка двумя различными целыми числами, не больше и не меньше. Целое число 1 делимо без остатка только на себя; поэтому 1 — это не простое число.

Пример 12.2

Перечислите простые числа, меньшие, чем 10.

Решение

Есть четыре простых числа меньше чем 10: 2, 3 5 и 7. Интересно, что процент простых чисел в диапазоне 1-10 — 40%. С увеличением диапазона процент уменьшается.

Взаимно простые числа

Два положительных целых числа a и b являются взаимно простыми (coprime), если НОД (a, b) = 1, потому что число 1 является взаимно простым с любым целым числом. Если p — простое число, тогда все числа от 1 до p–1 являются взаимно простыми к p. В «Модульная арифметика» мы обсуждали множество Zn*, чьи элементы — все числа, взаимно простые с n. Множество Z * является тем же самым, за исключением того, что модуль (p) — простое число.

Количество простых чисел

После того как понятие простых чисел было определено, естественно возникает вопрос: число простых чисел конечно или бесконечно? Возьмем число n. Сколько есть простых чисел меньших, чем это число, или равных n?

Число простых чисел

Число простых чисел бесконечно. Приведем нестрогое доказательство: предположим, что множество простых чисел конечно (ограничено), и пусть p — наибольшее простое число. Перемножим все простые числа, входящие в это множество, и получим результат . Целое число (P + 1) не может иметь простого делителя (p – наибольшее простое число). Тогда этот делитель должен быть одним из множителей, входящих в P. Это значит, что q делит P. Если q также делит (P + 1), то q делит (P + 1) – P = 1. Единственное число, которое делит 1, — это сама 1, которая не является простым числом. Поэтому q должно быть большим, чем p, и ряд простых чисел не исчерпывается принятым конечным множеством.

Число простых чисел бесконечно.

Пример 12.3

Как тривиальный пример, предположим, что единственные простые числа находятся в множестве {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17}. Здесь P = 510510 и P + 1 = 510511. Однако 510511 состоит из следующих простых чисел ; ни одно из этих простых чисел не было в первоначальном списке. Эти три простых числа больше, чем 17.

Число простых чисел, меньших n

Чтобы рассмотреть вторую возможность, введем функцию , которая определяет число простых чисел, меньших или равных n. Ниже показаны значения этой функции для различного .

Но если n является очень большим, как мы можем вычислить ? Для ответа мы можем использовать только приближение, которое показано ниже:

Гаусс обнаружил верхний предел; Лагранж обнаружил нижний предел.

Пример 12.4

Найдите количество простых чисел, меньших, чем 1 000 000.

Решение

Приближение дает диапазон от 72 383 до 78 543. Фактическое число простых чисел — 78 498.

Проверка на простое число

Следующий вопрос, который приходит на ум: как мы можем определить для данного числа n, является ли оно простым числом? Мы должны проверить, делимо ли без остатка это число всеми простыми числами, меньшими, чем . Мы знаем, что этот метод неэффективен, но он хорош для начала.

Пример 12.5

Действительно ли 97 — простое число?

Решение

Наибольшее ближайшее целое число — . Простые числа меньше чем 9 — 2, 3, 5 и 7. Проверим, делимо ли без остатка 97 любым из этих номеров. Ответ: не делимо, так что 97 — простое число.

Пример 12.6

Действительно ли 301 — простое число?

Решение

Наибольшее ближайшее целое число. Мы должны проверить 2, 3, 5, 7, 11, 13 и 17. Числа 2, 3 и 5 не делят 301, но 7 — делит. Поэтому 301 — не простое число.

Решето Эратосфена

Греческий математик Эратосфен изобрел метод, как найти все простые числа, меньшие, чем n.

Метод назван решетом Эратосфена. Предположим, что мы хотим найти все числа, меньшие, чем 100. Мы записываем все числа между 2 и 100. Поскольку , мы должны видеть, делим ли без остатка любой номер меньше чем 100 на числа 2, 3, 5 и 7. Таблица 12.1 показывает результат.

Таблица 12.1. Решето Эратосфена
2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Процесс состоит в следующем:

  1. Вычеркнуть все числа, делимые без остатка на 2 (кроме самого 2).
  2. Вычеркнуть все числа, делимые без остатка на 3 (кроме самого 3).
  3. Вычеркнуть все числа, делимые без остатка на 5 (кроме самого 5).
  4. Вычеркнуть все числа, делимые без остатка на 7 (кроме самого 7).
  5. Оставшиеся числа – простые.

Показательные уравнения: разложение | Логарифмы

Продолжаем изучать показательные уравнения: разложение на множители — следующий шаг в изучении их методов решения.

Один из способов разложения на множители — вынесение общего множителя за скобки — для решения показательных уравнений мы уже применяли. Перейдём к способу группировки и формулам сокращённого умножения.

   

ОДЗ: x∈R.

Группируем первое слагаемое с третьим, второе — с четвёртым

   

Из первых скобок выносим общий множитель три в степени икс, из вторых — -9 (при вынесении «-» за скобки знак каждого слагаемого в скобках изменится на противоположный):

   

Теперь вынесем за скобки общий множитель разность двух в степени икс и восьми:

   

Это — уравнение типа «произведение равно нулю». Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Приравниваем к нулю каждый множитель:

   

Пришли к простейшим показательным уравнениям:

   

   

   

Ответ: 2; 3.

   

ОДЗ: x∈R.

Сгруппируем 1-е слагаемое с 4-м, а 2-е — с 3-м:

   

Замечаем, что в  первых скобках есть  разность кубов двух выражений.

   

Выражение в первых скобках раскладываем по формуле разности кубов, из вторых скобок выносим общий множитель — произведение -21 и двух в степени икс:

   

   

   

   

Общий множитель — разность 2 в степени икс и 4 — выносим за скобки:

   

   

Получили уравнение типа «произведение равно нулю». Приравниваем к нулю каждый из множителей:

   

   

   

   

   

Это — показательное уравнение, сводящееся к квадратному. Замена

   

приводит к уравнению

   

Оба его корня

   

удовлетворяют условию t>0. Обратная замена

   

   

   

Ответ: 0; 2; 4.

   

ОДЗ: x∈R.

Перепишем уравнение в виде

   

В левой части полный квадрат разности:

   

Выражение, стоящее в скобках, приравниваем к нулю

   

откуда

   

   

   

Корни этого квадратного уравнения —

   

Ответ: -2; 3.

Последнее уравнение — однородное показательное уравнение. Его можно решить иначе. Решение однородных показательных уравнений начнем изучать в следующий раз.

Метод декомпозиции — обзор

В этом разделе рассматривается идея метода декомпозиции локального дробного оператора. Метод декомпозиции, предложенный Адомианом, использовался для нахождения приближенных решений линейных уравнений в частных производных [126, 127]. Также был рассмотрен метод декомпозиции локального дробного оператора для нахождения недифференцируемых решений локальных дробных уравнений в частных производных [125, 128, 129].

Таким образом, для n ≥ 0 следующая формула повторения читается как

(5.36) Φnμ = Lε − nRεΦnμ, Φ0μ = Iμ.

В итоге получаем следующий результат:

(5.37) Φμ = limn → ∞∑n = 0∞Φnμ.

Следующим шагом является рассмотрение местного дробного дифференциального уравнения в частных производных:

(5.38) ∂2εΦ (μ, η) ∂η2ε = 2∂2εΦ (μ, η) ∂μ2ε − 1,

при следующих начальных условиях -граничные условия

(5.39) Φ (μ, 0) = Eεμε, 0≤μ≤1,

(5.40) ∂εΦ (μ, 0) ∂με = 0,0≤μ≤1,

(5.41 ) Φ (l, η) = Φ (0, η) = 0, η> 0,

(5.42) ∂εΦ (l, η) ∂με = ∂εΦ (0, η) ∂με = 0, η> 0.

Далее мы рассматриваем итерационную формулу, а именно:

(5.43) Φn + 1μ, η = Lη − 2ε2∂2εΦnμ, η∂μ2α,

вместе с начальным значением

(5.44) Φ0μ, η = Eεμε + Lη − 2ε1 = Eεμε + η2εΓ1 + 2ε.

Используя (5.43) и (5.44), приближения выглядят как

(5.45) Φ1μ, η = Lη − 2ε2∂2εΦ0μ, η∂μ2α = 2η2εΓ1 + 2εEεμε,

(5.46) Φ2μ, η = Lη − 2 ∂2εΦ1μ, η∂μ2α = 4η4εΓ1 + 4εEεμε,

(5.47) Φ3μ, η = Lη − 2ε2∂2εΦ2μ, η∂μ2α = 8η6εΓ1 + 6εEημε,

(5.48) Φ4μ,

(5.48) Φ4μ, ∂μ2α = 16η8εΓ1 + 8εEεμε,

(5.49) Φnμ, η = 2nη2nεΓ1 + 2nεEεμε.

Наконец, решение, содержащее недифференцируемые члены, дается формулой

(5.50) Φμ, η = limn → ∞∑n = 0nΦnμ, η = Eεμε∑n = 0n2nη2nεΓ1 + 2nε + η2εΓ1 + 2ε.

Ниже мы рассматриваем следующее локальное уравнение с частными производными дробного порядка:

(5.51) ∂2εΦη, μ∂μ2ε + ∂εΦη, μ∂με + Φη, μ = ∂5εΦη, μ∂η5ε,

и его начальные значения читаем как

(5.52) Φ0, μ = Eε (με),

(5.53) ∂εΦ0, μ∂ηε = 0.

Соответствующие локальные алгоритмы дробной итерации становятся

(5.54) Φk + 1η, μ = Lη − 5ε∂2εΦkη, μ∂μ2ε + ∂εΦkη, μ∂με + Φkη, μ, k≥0,

, где

(5.55) Φ0η, μ = Eε (με).

Компоненты алгоритма приведены ниже:

(5.56) Φ0η, μ = Eε (με),

(5.57) Φ1η, μ = Lη − 5ε∂2εΦ0η, μ∂μ2ε + ∂εΦ0η, μ∂με + Φ0η, μ = Lη − 5ε3Eε (με) = 3η5εΓ (1 + 5ε) Eε (με),

(5.58) Φ2η, μ = Lη − 5ε∂2εΦ1η, μ∂μ2ε + ∂εΦ1η, μ∂με + Φ1η , μ = Lη − 5ε6η5εΓ (1 + 5ε) Eε (με) = 6η10εΓ (1 + 10ε) Eε (με),

(5.59) Φ3η, μ = Lη − 5ε∂2εΦ2η, μ∂μ2ε + ∂εΦ2η, μ ∂με + Φ2η, μ = Lη − 5ε9η10εΓ (1 + 10ε) Eε (με) = 9η15εΓ (1 + 15ε) Eε (με),

(5.60) Φnη, μ = 3nη3nεΓ (1 + 3nε) Eε (με),

и т. Д.

6.3 Классическая декомпозиция | Прогнозирование: принципы и практика (2-е изд)

Классическая декомпозиция

Классический метод декомпозиции зародился в 1920-х годах. Это относительно простая процедура, которая является отправной точкой для большинства других методов декомпозиции временных рядов. Есть две формы классической декомпозиции: аддитивная декомпозиция и мультипликативная декомпозиция. Они описаны ниже для временного ряда с сезонным периодом \ (m \) (e.g., \ (m = 4 \) для квартальных данных, \ (m = 12 \) для ежемесячных данных, \ (m = 7 \) для ежедневных данных с недельным графиком).

В классической декомпозиции мы предполагаем, что сезонная составляющая постоянна из года в год. Для мультипликативной сезонности значения \ (m \), которые образуют сезонную составляющую, иногда называют «сезонными индексами».

Аддитивное разложение

Шаг 1
Если \ (m \) — четное число, вычислите компонент цикла тренда \ (\ hat {T} _t \), используя \ (2 \ times m \) — MA.Если \ (m \) — нечетное число, вычислите компонент цикла тренда \ (\ hat {T} _t \), используя \ (m \) — MA.
Шаг 2
Рассчитайте ряд без тренда: \ (y_t — \ hat {T} _t \).
Шаг 3
Чтобы оценить сезонную составляющую для каждого сезона, просто усредните значения без тренда для этого сезона. Например, для ежемесячных данных сезонная составляющая для марта представляет собой среднее значение всех мартовских значений без тренда в данных. Эти значения сезонных составляющих затем корректируются, чтобы обеспечить их прибавку к нулю.Сезонная составляющая получается путем объединения этих ежемесячных значений и последующего воспроизведения последовательности данных для каждого года. Это дает \ (\ hat {S} _t \).
Шаг 4
Компонент остатка рассчитывается путем вычитания оценочных сезонных компонентов и компонентов цикла тренда: \ (\ hat {R} _t = y_t — \ hat {T} _t — \ hat {S} _t \).

Мультипликативное разложение

Классическое мультипликативное разложение аналогично, за исключением того, что вычитания заменяются делениями.

Шаг 1
Если \ (m \) — четное число, вычислите компонент цикла тренда \ (\ hat {T} _t \), используя \ (2 \ times m \) — MA. Если \ (m \) — нечетное число, вычислите компонент цикла тренда \ (\ hat {T} _t \), используя \ (m \) — MA.
Шаг 2
Рассчитайте ряд без тренда: \ (y_t / \ hat {T} _t \).
Шаг 3
Чтобы оценить сезонную составляющую для каждого сезона, просто усредните значения без тренда для этого сезона. Например, с месячными данными сезонный индекс для марта представляет собой среднее значение всех мартовских значений без тренда в данных.Затем эти сезонные индексы корректируются, чтобы обеспечить их прибавку к \ (m \). Сезонный компонент получается путем объединения этих ежемесячных индексов и последующего воспроизведения последовательности данных для каждого года. Это дает \ (\ hat {S} _t \).
Шаг 4
Компонент остатка рассчитывается путем деления оценочных сезонных составляющих и составляющих цикла тренда: \ (\ hat {R} _ {t} = y_t / (\ hat {T} _t \ hat {S} _t) \).

На рис. 6.8 показана классическая декомпозиция индекса электрического оборудования.Сравните это разложение с показанным на рисунке 6.1. Прогон значений остатка ниже 1 в 2009 году предполагает, что есть некоторая «утечка» компонента цикла тренда в компонент остатка. Оценка цикла тренда чрезмерно сгладила падение данных, и на соответствующие значения остатка повлияла плохая оценка цикла тренда.

  elecequip%>% разложить (type = "multiplicative")%>%
  autoplot () + xlab ("Год") +
  ggtitle ("Классическое мультипликативное разложение
    индекса электрооборудования »)  

Рисунок 6.8: Классическое мультипликативное разложение индекса новых заказов на электрическое оборудование.

Методы разложения | Urban Institute

Часто мы хотим объяснить разницу между двумя группами, в уровне заработной платы или бедности или в каком-либо другом интересующем нас результате. Наблюдаемые различия в средней заработной плате между группами, например, между мужчинами и женщинами или между расовыми и этническими группами, могут быть приписаны различиям в характеристиках между группами, например, в уровнях образования, и различиях в отдаче от характеристик или «коэффициентов» ( коэффициент образования представляет собой денежную «отдачу» от образования).

Знаковый метод отнесения частей наблюдаемого разрыва к характеристикам, с одной стороны, и коэффициентам, с другой, исходит от Блиндера (1973) и Оахаки (1973). Если мы предположим, что результаты каждой из двух групп описываются линейной регрессией результатов, y (логарифмическая заработная плата), по характеристикам, X , мы можем записать две модели линейной регрессии

y1 = X1b1 + u1 или E [y1 | X1] = X1b1, что означает E [y1] = E [X1] b1

y2 = X2b2 + u2 или E [y2 | X2] = X2b2, что означает E [y2] = E [X2] b2

, и мы можем спросить, была бы средняя заработная плата в группе 1 такой же, если бы она имела средние характеристики группы 2, путем расчета ожидаемых результатов с этими средними характеристиками, но их собственной доходностью для «контрфактической» средней заработной платы E [X2] b1 .Тогда часть разрыва в средней заработной плате из-за наблюдаемых характеристик может быть записана как сумма двух членов, где первый член измеряет разницу в средней заработной плате из-за разницы в средних характеристиках, а второй измеряет разницу в средней заработной плате. из-за различий в коэффициентах. Модификация этого метода может быть использована для логит- и пробит-моделей.

Родственный метод из Джона, Мерфи и Пирса (1993) начинается с тех же двух моделей линейной регрессии, где y 1 и y 2 являются выходной переменной в двух выборках, таких как журнал почасовой заработной платы, X 1 и X 2 — наблюдаемые объясняющие переменные (характеристики), b 1 и b 2 — векторы оценочных коэффициентов или «отдачи» от характеристик (наблюдаемые «цены»), а u 1 и и 2 — остатки (неизмеренные цены и количества).Группа 1 может состоять из мужчин, а группа 2 — из женщин, или группа 1 может состоять из белых рабочих, а группа 2 — из чернокожих.

Если F1 (.) и F2 (.) обозначают кумулятивные функции распределения остатков, тогда pi1 = F1 (ui1 | Xi1) — это ранг отдельного остатка в распределении остатков модели 1, и мы можем записать ui1 = F1-1 (pi1 | Xi1) , где F1-1 (.) — это функция, обратная кумулятивной функции распределения. Если F (.) — это эталонное распределение остатков (например, среднее распределение остатков по обеим выборкам), а b — это оценка контрольных коэффициентов (например, коэффициенты из объединенной модели по всей выборке), Затем мы можем определить гипотетические результаты с различными количествами между группами, но с фиксированными ценами (коэффициентами) и фиксированным остаточным распределением, гипотетические результаты с различными количествами и разными ценами, но с фиксированным остаточным распределением, а также результаты с различными количествами, разными ценами и фиксированным остаточным распределением. варьирующееся остаточное распределение (это просто первоначально наблюдаемые значения результатов).

Различия в сводной статистике по группам затем можно отнести к различиям в наблюдаемых количествах, различиях в наблюдаемых ценах (или доходах от изменений в количествах) и различиях в ненаблюдаемых количествах и ценах.


Список литературы

Блиндер, Алан С. 1973. «Дискриминация в оплате труда: сокращенная форма и структурные оценки». Журнал людских ресурсов 8: 436–55.

Джун, Чинху, Кевин М. Мерфи и Брукс Пирс.1993. «Неравенство в заработной плате и рост отдачи от профессиональных навыков». Журнал политической экономии 101 (3): 410–42.

Оахака, Рональд. 1973. «Разница в заработной плате мужчин и женщин на городских рынках труда». Международный экономический обзор 14: 693–709.

Метод временного разложения для выявления венозных эффектов в целевой фМРТ

  • 1.

    Менон, Р.С., Огава, С., Танк, Д.В. и Угурбил, К. Градиент Теслы напомнил характеристики эха вызванных световой стимуляцией изменений сигнала в первичная зрительная кора человека. Magn. Резон. Med. 30 , 380–386 (1993).

    CAS PubMed Google Scholar

  • 2.

    Тернер Р. Сколько коркового вещества может дренировать вена? Последующее разбавление связанных с активацией изменений оксигенации церебральной крови. NeuroImage 16 , 1062–1067 (2002).

    PubMed Google Scholar

  • 3.

    Бьянчиарди, М., Фукунага, М., van Gelderen, P., de Zwart, J. A. & Duyn, J. H. Отрицательные сигналы BOLD-fMRI в крупных венах головного мозга. J. Cereb. Blood Flow Metab. 31 , 401–412 (2011).

    PubMed Google Scholar

  • 4.

    Kay, K. et al. Критическая оценка качества данных и венозных эффектов при фМРТ субмиллиметрового диапазона. NeuroImage 189 , 847–869 (2019).

    PubMed Google Scholar

  • 5.

    Olman, C. A., Inati, S. & Heeger, D. J. Влияние крупных вен на пространственную локализацию с GE BOLD при 3 T: смещение, а не размытие. NeuroImage 34 , 1126–1135 (2007).

    PubMed Google Scholar

  • 6.

    Шмуэль, А., Якуб, Э., Чаймов, Д., Логотетис, Н. К. и Угурбил, К. Функция пространственно-временного точечного рассеяния сигнала фМРТ в сером веществе человека при 7 теслах. NeuroImage 35 , 539–552 (2007).

    PubMed PubMed Central Google Scholar

  • 7.

    Ченг, К. Исследование зрительной коры головного мозга человека с помощью функциональной магнитно-резонансной томографии с высоким пространственным разрешением. NeuroImage 164 , 4–9 (2018).

    PubMed Google Scholar

  • 8.

    Угурбил К. Что возможно с визуализацией функции человеческого мозга и связности с использованием функциональной магнитно-резонансной томографии. Фил. Пер. R. Soc. 371 , 20150361 (2016).

    Google Scholar

  • 9.

    Якуб, Э. и Вальд, Л. Л. Расширяя пространственно-временные границы МРТ и фМРТ. NeuroImage 164 , 1–3 (2018).

    PubMed Google Scholar

  • 10.

    De Martino, F. et al. Влияние МРТ сверхвысокого поля на когнитивную и компьютерную нейровизуализацию. NeuroImage 168 , 366–382 (2018).

    PubMed Google Scholar

  • 11.

    Дюмулен, С.О., Фракассо, А., ван дер Цвааг, В., Сьеро, Дж. К. В. и Петридоу, Н. МРТ в сверхвысоком поле: продвижение системной нейробиологии к мезоскопической функции человеческого мозга. NeuroImage 168 , 345–357 (2018).

    PubMed Google Scholar

  • 12.

    Лоуренс, С. Дж. Д., Формизано, Э., Макли, Л. и де Ланге, Ф. П. Ламинарная фМРТ: приложения для когнитивной нейробиологии. NeuroImage 197 , 785–791 (2017).

    PubMed Google Scholar

  • 13.

    Якуб, Э., Харел, Н. и Угурбил, К. ФМРТ с высоким полем позволяет выявить столбцы ориентации у людей. Proc. Natl Acad. Sci. США 105 , 10607–10612 (2008).

    CAS PubMed Google Scholar

  • 14.

    de Zwart, J. A. et al. Временная динамика импульсного отклика BOLD фМРТ. NeuroImage 24 , 667–677 (2005).

    PubMed Google Scholar

  • 15.

    Ким, Дж. Х. и Ресс, Д. Надежность зависимого от глубины BOLD-гемодинамического ответа высокого разрешения в зрительной коре головного мозга человека и в окрестностях. Magn. Резон. Визуализация 39 , 53–63 (2017).

    PubMed PubMed Central Google Scholar

  • 16.

    Ли, А. Т., Гловер, Г. Х. и Мейер, К. Х. Дискриминация крупных венозных сосудов при динамической спиральной магнитно-резонансной функциональной нейровизуализации, зависящей от уровня кислорода в крови. Magn. Резон. Med. 33 , 745–754 (1995).

    CAS PubMed Google Scholar

  • 17.

    Сьеро, Дж. К. У., Петриду, Н., Хугдуин, Х., Луйтен, П. Р. и Рэмси, Н. Ф. Кортикальная глубинно-зависимая временная динамика BOLD-ответа в мозге человека. J. Cereb. Blood Flow Metab. 31 , 1999–2008 (2011).

    PubMed PubMed Central Google Scholar

  • 18.

    Огава, С., Ли, Т. М., Наяк, А. С. и Глинн, П. Чувствительный к оксигенации контраст в магнитно-резонансном изображении мозга грызунов в сильных магнитных полях. Magn. Резон. Med. 14 , 68–78 (1990).

    CAS PubMed Google Scholar

  • 19.

    Havlicek, M. & Uludağ, K. Динамическая модель ламинарного BOLD-ответа. NeuroImage 204 , 116209 (2020).

    CAS PubMed Google Scholar

  • 20.

    Хандверкер, Д. А., Гонсалес-Кастильо, Дж., Д’Эспозито, М. и Бандеттини, П. А. Постоянная проблема понимания и моделирования гемодинамических вариаций в фМРТ. NeuroImage 62 , 1017–1023 (2012).

    PubMed PubMed Central Google Scholar

  • 21.

    Тейлор, А. Дж., Ким, Дж. Х. и Ресс, Д. Характеристика функции гемодинамического ответа в большей части коры головного мозга человека. NeuroImage 173 , 322–331 (2018).

    PubMed PubMed Central Google Scholar

  • 22.

    Friston, K. J. et al. Связанная с событием фМРТ: характеристика дифференциальных ответов. NeuroImage 7 , 30–40 (1998).

    CAS PubMed Google Scholar

  • 23.

    Haacke, E. M. et al. 2D и 3D градиентное эхо-функциональное изображение головного мозга с высоким разрешением: вклад вен в сигнал в исследованиях моторной коры. ЯМР Биомед. 7 , 54–62 (1994).

    CAS PubMed Google Scholar

  • 24.

    Улудаг, К., Мюллер-Бирл, Б. и Угурбил, К. Интегративная модель для изменения сигнала, вызванного активностью нейронов, для функциональной визуализации градиента и спинового эха. Neuroimage 48 , 150–165 (2009).

    PubMed Google Scholar

  • 25.

    Ванделл Б. и Винавер Дж. Визуализация ретинотопных карт человеческого мозга. Vision Res. 51 , 718–737 (2011).

    PubMed Google Scholar

  • 26.

    Ванделл Б. и Винавер Дж. Компьютерная нейровизуализация и рецептивные поля населения. Trends Cog. Sci. 19 , 349–357 (2015).

    Google Scholar

  • 27.

    Goodyear, B.G. и Menon, R.S. Кратковременная визуальная стимуляция позволяет картировать глазное доминирование в зрительной коре с помощью фМРТ. Hum. Brain Mapp. 14 , 210–217 (2001).

    CAS PubMed PubMed Central Google Scholar

  • 28.

    Менон, Р. С. и Гудиер, Б. Г. Субмиллиметровая функциональная локализация в полосатом коре головного мозга человека с использованием ЖИВОГО контраста при 4 Тесла: последствия для функции распределения сосудистых точек. Magn. Резон. Med. 41 , 230–235 (1999).

    CAS PubMed Google Scholar

  • 29.

    Yu, X., Qian, C., Chen, D., Dodd, S.J. & Koretsky, A.P. Расшифровка ламинарно-специфичных нейронных входов с помощью фМРТ со строчной разверткой. Нат. Методы 11 , 55–58 (2014).

    PubMed Google Scholar

  • 30.

    Yu, X. et al. Прямая визуализация макрососудистых и микрососудистых вкладов в BOLD fMRI в слоях IV-V коры усов-бочонков крыс. NeuroImage 59 , 1451–1460 (2012).

    PubMed Google Scholar

  • 31.

    De Martino, F. et al. Функциональные ответы, зависящие от глубины коры головного мозга у людей при 7Т: улучшенная специфичность с 3D GRASE. PLoS ONE 8 , e60514 (2013).

    PubMed PubMed Central Google Scholar

  • 32.

    Fracasso, A., Luijten, P.Р., Дюмулен, С. О. и Петриду, Н. Ламинарная визуализация положительного и отрицательного BOLD в зрительной коре человека при 7Т. NeuroImage 164 , 100–111 (2018).

    PubMed Google Scholar

  • 33.

    Heinzle, J., Koopmans, P. J., den Ouden, H. E. M., Raman, S. & Stephan, K. E. Гемодинамическая модель для слоистых BOLD-сигналов. NeuroImage 125 , 556–570 (2016).

    PubMed Google Scholar

  • 34.

    Huber, L. et al. CBV-fMRI высокого разрешения позволяет картировать ламинарную активность и взаимосвязь корковых входов и выходов в человеческом M1. Нейрон 96 , 1253–1263.e7 (2017).

    CAS PubMed PubMed Central Google Scholar

  • 35.

    Лу, Х., Голей, X., Пекар, Дж. Дж. И Ван Зейл, П. С. М. Функциональная магнитно-резонансная томография, основанная на изменениях в заполнении сосудистого пространства. Magn. Резон.Med. 50 , 263–274 (2003).

    PubMed Google Scholar

  • 36.

    Markuerkiaga, I., Barth, M. & Norris, D. G. Модель кортикальных сосудов для исследования специфичности ламинарного сигнала BOLD. NeuroImage 132 , 491–498 (2016).

    PubMed Google Scholar

  • 37.

    Марквардт И., Шнайдер М., Гулбан О.Ф., Иванов Д.& Uludağ, K. Профили глубины коры яркоконтрастных ответов в V1 и V2 человека с использованием 7 T fMRI. Hum. Brain Mapp. 464 , 1155 (2018).

    Google Scholar

  • 38.

    Moerel, M. et al. Соображения о чувствительности и специфичности для кодирования, декодирования и картирования слуховой коры в сверхвысоком поле с помощью фМРТ. NeuroImage 164 , 18–31 (2018).

    PubMed Google Scholar

  • 39.

    Olman, C.A. et al. ФМРТ, специфичная для слоя, отражает различные нейронные вычисления на разной глубине в V1 человека. PLoS ONE 7 , e32536 (2012).

    CAS PubMed PubMed Central Google Scholar

  • 40.

    Polimeni, J. R., Fischl, B., Greve, D. N. & Wald, L. L. Ламинарный анализ 7T BOLD с использованием наложенного пространственного паттерна активации в V1 человека. NeuroImage 52 , 1334–1346 (2010).

    PubMed PubMed Central Google Scholar

  • 41.

    Вулрич, М. В., Беренс, Т. Е. Дж. И Смит, С. М. Линейные базисы с ограничениями для моделирования HRF с использованием вариационного Байеса. NeuroImage 21 , 1748–1761 (2004).

    PubMed Google Scholar

  • 42.

    Полайн, Дж. Б. и Полдрак, Р. А. Границы в методах визуализации мозга — большая проблема. Фронт. Neurosci. 6 , 96 (2012).

    PubMed PubMed Central Google Scholar

  • 43.

    Cheng, K., Wagoner, R. A. & Tanaka, K. Столбцы с доминированием глаза человека, выявленные с помощью функциональной магнитно-резонансной томографии в сильном поле. Нейрон 32 , 359–374 (2001).

    CAS PubMed Google Scholar

  • 44.

    Брейнард, Д.H. Набор инструментов психофизики. Spat. Vis. 10 , 433–436 (1997).

    CAS PubMed Google Scholar

  • 45.

    Пелли, Д. Г. Программное обеспечение VideoToolbox для визуальной психофизики: преобразование чисел в фильмы. Spat. Vis. 10 , 437–442 (1997).

    CAS PubMed Google Scholar

  • 46.

    Стиглиани А., Вайнер К.S. & Grill-Spector, K. Возможности временной обработки в зрительной коре высокого уровня зависят от предметной области. J. Neurosci. 35 , 12412–12424 (2015).

    CAS PubMed PubMed Central Google Scholar

  • 47.

    Фишл, Б. FreeSurfer. NeuroImage 62 , 774–781 (2012).

    PubMed PubMed Central Google Scholar

  • 48.

    Дейл, А. М. Оптимальный экспериментальный план для связанной с событием фМРТ. Hum. Brain Mapp. 8 , 109–114 (1999).

    CAS PubMed PubMed Central Google Scholar

  • 49.

    Charest, I., Kriegeskorte, N. & Kay, K. N. GLMdenoise улучшает многомерный анализ паттернов данных фМРТ. NeuroImage 183 , 606–616 (2018).

    PubMed PubMed Central Google Scholar

  • 50.

    Кей, К. Н., Рокем, А., Винавер, Дж., Догерти, Р. Ф. и Ванделл, Б. GLMdenoise: быстрый автоматизированный метод шумоподавления данных фМРТ на основе задач. Фронт. Neurosci. 7 , 247 (2013).

    PubMed PubMed Central Google Scholar

  • 51.

    Хансен, К. А., Кей, К. Н. и Галлант, Дж. Л. Топографическая организация в области человеческого зрения и вблизи нее V4. J. Neurosci. 27 , 11896–11911 (2007).

    CAS PubMed PubMed Central Google Scholar

  • 52.

    Кей, К. Н., Дэвид, С. В., Пренгер, Р. Дж., Хансен, К. А. и Галлант, Дж. Л. Моделирование низкочастотных колебаний и временной шкалы гемодинамического ответа в фМРТ, связанном с событием. Hum. Brain Mapp. 29 , 142–156 (2008).

    PubMed Google Scholar

  • 53.

    Кей, К. Н., Населарис, Т., Пренгер, Р. Дж. И Галлант, Дж. Л. Определение естественных изображений по активности человеческого мозга. Nature 452 , 352–355 (2008).

    CAS PubMed PubMed Central Google Scholar

  • 54.

    Педрегоса, Ф., Эйкенберг, М., Чучу, П., Тирион, Б. и Грамфорт, А. Оценка HRF на основе данных для моделей кодирования и декодирования. NeuroImage 104 , 209–220 (2015).

    PubMed Google Scholar

  • 55.

    Фристон, К. Дж., Джозефс, О., Рис, Г. и Тернер, Р. Нелинейные реакции, связанные с событиями, в фМРТ. Magn. Резон. Med. 39 , 41–52 (1998).

    CAS PubMed Google Scholar

  • 56.

    Томпсон, С. К., Энгель, С. А. и Олман, К. А. Более крупные нейронные реакции производят ЖИРНЫЕ сигналы, которые начинаются раньше. Фронт. Neurosci. 8 , 159 (2014).

    PubMed PubMed Central Google Scholar

  • 57.

    Zhang, N., Yacoub, E., Zhu, X.-H., Ugurbil, K. & Chen, W. Линейность сигнала, зависящего от уровня оксигенации крови, в микроциркуляторном русле. NeuroImage 48 , 313–318 (2009).

    PubMed PubMed Central Google Scholar

  • 58.

    д’Авосса, Г., Шульман, Г. Л. и Корбетта, М. Идентификация церебральных сетей путем классификации формы ЖИРНЫХ ответов. J. Neurophysiol. 90 , 360–371 (2003).

    PubMed Google Scholar

  • 59.

    Shmuel, A., Augath, M., Oeltermann, A. & Logothetis, N.K. Отрицательный функциональный ответ МРТ коррелирует со снижением нейрональной активности в визуальной области обезьяны V1. Нат. Neurosci. 9 , 569–577 (2006).

    CAS PubMed Google Scholar

  • 60.

    Hastie, T. & Stuetzle, W. Основные кривые. J. Am. Стат. Доц. 84 , 502–516 (1989).

    Google Scholar

  • 61.

    Ван, Л., Мручек, Р. Э. Б., Аркаро, М. Дж. И Кастнер, С. Вероятностные карты визуальной топографии коры головного мозга человека. Cereb. Cortex 25 , 3911–3931 (2015).

    CAS PubMed Google Scholar

  • 62.

    Benson, N.C. et al. Набор данных ретинотопии тесла проекта коннектома человека 7: описание и анализ восприимчивого поля населения. J. Vis. 18, https://doi.org/10.1167/18.13.23 (2018).

  • 63.

    Gorgolewski, K.J. et al. Структура данных изображения мозга, формат для организации и описания результатов экспериментов по нейровизуализации. Sci. Данные 3 , 1–9 (2016).

    Google Scholar

  • 64.

    Кей К. Временное разложение через подгонку коллектора. Code Ocean https://doi.org/10.24433/CO.4779366.v1 (2020).

  • Произошла ошибка при настройке пользовательского файла cookie

    Этот сайт использует файлы cookie для повышения производительности. Если ваш браузер не принимает файлы cookie, вы не можете просматривать этот сайт.


    Настройка вашего браузера для приема файлов cookie

    Существует множество причин, по которым cookie не может быть установлен правильно. Ниже приведены наиболее частые причины:

    • В вашем браузере отключены файлы cookie. Вам необходимо сбросить настройки своего браузера, чтобы он принимал файлы cookie, или чтобы спросить вас, хотите ли вы принимать файлы cookie.
    • Ваш браузер спрашивает вас, хотите ли вы принимать файлы cookie, и вы отказались. Чтобы принять файлы cookie с этого сайта, нажмите кнопку «Назад» и примите файлы cookie.
    • Ваш браузер не поддерживает файлы cookie. Если вы подозреваете это, попробуйте другой браузер.
    • Дата на вашем компьютере в прошлом. Если часы вашего компьютера показывают дату до 1 января 1970 г., браузер автоматически забудет файл cookie. Чтобы исправить это, установите правильное время и дату на своем компьютере.
    • Вы установили приложение, которое отслеживает или блокирует установку файлов cookie. Вы должны отключить приложение при входе в систему или проконсультироваться с системным администратором.

    Почему этому сайту требуются файлы cookie?

    Этот сайт использует файлы cookie для повышения производительности, запоминая, что вы вошли в систему, когда переходите со страницы на страницу. Чтобы предоставить доступ без файлов cookie потребует, чтобы сайт создавал новый сеанс для каждой посещаемой страницы, что замедляет работу системы до неприемлемого уровня.


    Что сохраняется в файле cookie?

    Этот сайт не хранит ничего, кроме автоматически сгенерированного идентификатора сеанса в cookie; никакая другая информация не фиксируется.

    Как правило, в файле cookie может храниться только информация, которую вы предоставляете, или выбор, который вы делаете при посещении веб-сайта. Например, сайт не может определить ваше имя электронной почты, пока вы не введете его. Разрешение веб-сайту создавать файлы cookie не дает этому или любому другому сайту доступа к остальной части вашего компьютера, и только сайт, который создал файл cookie, может его прочитать.

    TDM: метод временной декомпозиции для удаления венозных эффектов из целевой фМРТ

    Abstract

    Наиболее функциональная магнитно-резонансная томография (фМРТ) проводится с использованием последовательностей импульсов градиентного эха. Хотя это дает высокую чувствительность к сигналам, зависящим от уровня оксигенации крови (жирный шрифт), получение градиентного эха в значительной степени зависит от венозных эффектов, которые ограничивают конечное пространственное разрешение и пространственную точность фМРТ. В то время как альтернативные методы сбора данных, такие как спин-эхо, могут использоваться для смягчения венозных эффектов, эти методы приводят к серьезному снижению отношения сигнал / шум и пространственного охвата, и их трудно реализовать без утечки нежелательных эффектов, не связанных со спиновым эхом, в данные.Более того, эвристические методы анализа, такие как маскирование вен или взятие проб из глубины коры с использованием фМРТ с высоким разрешением, могут быть полезны, но жертвуют информацией из многих частей мозга. Здесь мы описываем новый метод анализа, который совместим с традиционным получением градиентного эхо-сигнала и обеспечивает оценку безвенозной реакции по всему визуализируемому объему. Этот метод включает подгонку низкоразмерного многообразия, характеризующего вариации во времени отклика, наблюдаемых в данном наборе данных, а затем использование идентифицированных ранних и поздних временных периодов в качестве базовых функций для разложения ответов на компоненты, связанные с микрососудом (капилляры и малые венулы) и макрососудистым контуром ( вен) соответственно.Мы показываем, что этот метод Temporal Decomposition through Manifold Fitting (TDM) является надежным, последовательно вырабатывая значимые временные интервалы в отдельных сеансах сканирования фМРТ. Более того, мы показываем, что, удаляя поздние компоненты, TDM существенно снижает поверхностное смещение корковой глубины, присутствующее в BOLD-ответах градиент-эхо, и устраняет артефакты на картах корковой активности. TDM является общим: его можно применять к любому эксперименту по фМРТ, основанному на задачах, можно использовать для получения фМРТ со стандартным или высоким разрешением и даже можно использовать для удаления остаточных венозных эффектов от специализированных методов сбора данных, таких как спин-эхо.Мы предполагаем, что TDM — это мощный метод, который улучшает пространственную точность fMRI и дает представление о происхождении BOLD-сигнала.

    Без темплатный метод термического разложения для синтеза мезопористого MgO с нанокристаллическим каркасом и его применение в адсорбции диоксида углерода

    Щелочноземельные оксиды являются важными материалами для хранения диоксида углерода. Здесь мы представляем метод синтеза без темплата мезопористого оксида магния (MgO) через термическое разложение безводного ацетата магния .Определение характеристик кристаллической фазы, размера частиц, размера пор и площади поверхности для мезопористых образцов MgO было выполнено с использованием различных методов и методов, включая сканирующую электронную микроскопию (SEM), просвечивающую электронную микроскопию высокого разрешения (HRTEM), порошковую дифракцию рентгеновских лучей ( XRD) и адсорбционный анализ азота. Результаты показали, что мезопористый MgO, полученный из безводного ацетата магния, имел высокую площадь поверхности в диапазоне 120–136 м 2 г −1 и узкое распределение пор по размерам в диапазоне 3–4 нм. .Структура пор состоит из небольших первичных агрегатов наночастиц MgO с межчастичными связями. In situ спектроскопия пропускания FTIR была использована для исследования адсорбции CO 2 на мезопористом MgO. Это спектроскопическое исследование показало, что мезопористый MgO проявляет повышенную адсорбционную способность CO 2 по сравнению с коммерчески доступными наночастицами MgO. Это различие объяснялось в основном увеличением площади поверхности.Различия в составе поверхностных карбонатов / бикарбонатов наблюдались между мезопористыми и коммерческими образцами MgO и были связаны со структурными различиями для более мелких наночастиц.

    У вас есть доступ к этой статье

    Подождите, пока мы загрузим ваш контент.
    Метод разложения: Метод разложения интегралов: формула, примеры решений

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

    Пролистать наверх