Ряд обратных квадратов: Сумма ряда обратных квадратов (Basel problem)

Сумма ряда обратных квадратов (Basel problem)

В истории математики имеется много случаев, когда кто-либо ставил задачу перед математическим миром в целом, и эта задача оставалась нерешенной в течение десятилетий или даже веков. Часто в процессе решения такой задачи появлялись новые области математики.

Этот пост – рассказ об одном из таких случаев, так называемой Basel problem (задаче о сумме ряда обратных квадратов, Базель – город в Швейцарии), впервые поставленной в качестве вызова европейским математикам в 1644 году. Она сопротивлялась всем попыткам ее решить до тех пор, пока молодой Леонард Эйлер в 1734 году не нашел ответ. Как увидит читатель, решение Эйлера – работа удивительной изобретательности, хотя уровень математики не превосходит в ней начального курса алгебры.

Задача

Basel problem формулируется просто: требуется найти точное значение следующей бесконечной суммы:

   

Как и для всех остальных бесконечных рядов, для этого ряда возникает вопрос, сходится ли он к конечному значению. Тот факт, что его члены становятся бесконечно малыми, не является достаточным для обеспечения сходимости. Например, следующий ряд

   

имеет бесконечную сумму, т.е. расходится, несмотря на то, что его члены становятся сколь угодно малыми (этот ряд называется гармоническим, и доказательство его расходимости приведено ниже).

Тем не менее, для ряда обратных квадратов ранее было показано, что он сходится к числу, меньшему 2, только не было известно точное значение, к которому он сходится.

Два соперника и их учитель делают безуспешную попытку

Первыми математиками мирового уровня, пытавшимися решить Basel problem, были швейцарцы, братья Якоб Бернулли (1654-1705) и Иоганн Бернулли (1667-1748). Задача названа так, потому что Базель — их родной город. Бернулли были среди первых, кто понял и начал применять новое исчисление, о котором они узнали от Готфрида Лейбница (1646-1716), — одного из его авторов. К 1690 году они считались ведущими европейскими математиками. К сожалению, к этому времени они стали ожесточенными, непримиримыми соперниками, и казалось, испытывали практически убийственную ненависть друг к другу. Каждый из них мог бы лгать, воровать, пошел бы на плагиат, если бы это помогло ему казаться лучше другого. Соперничество не прекратилось даже со смертью Якоба — Иоганн пытался выдать некоторые неопубликованные работы своего покойного брата за свои собственные, и он также отказался помочь опубликовать трактат Якоба по теории вероятности, опасаясь, что это поднимет репутацию брата. По крайней мере, Иоганн, вполне возможно, был просто… нехорошим человеком — когда его собственный сын Даниил позже выиграл математический приз, за который Иоганн также боролся, он выгнал Даниила из дома и лишил его наследства.

В течение многих лет братья Бернулли пытались решить задачу о сумме ряда обратных квадратов, что, вероятно, частично было обусловлено желанием победить соперника, но они не добились успеха. Лейбниц также работал над проблемой в течение многих лет и не получил никакого результата.

Вступление Эйлера

Леонард Эйлер (1707–1786) родился в Базеле, и так случилось, что его отец знал Иоганна Бернулли. Когда Леонарду было 14 лет, его отец попросил Иоганна, чтобы тот учил юношу математике. Иоганн нехотя согласился, но затем быстро обнаружил, что его новый ученик имеет способности, превосходящие все те, какие он когда-либо видел. Вскоре роли поменялись, и Иоганн учился у Эйлера. Иоганн посоветовал отцу Леонарда отказаться от идеи сделать Леонарда министром, предложив ему стать математиком. К чести его, отец согласился.

Через несколько лет Эйлер занял пост в Академии в Санкт-Петербурге, в России. Именно там, в 1734 году, Эйлер нашел решение Basel problem. В результате его сразу же стали считаеть ведущим математиком Европы.

Решение

Для начала рассмотрим алгебраическое уравнение, степень которого я произвольно полагаю равной четырем:

   

Предположим, что его корни и . Тогда мы можем разложить полином на линейные множители следующим образом:

   

Если ни один из этих корней не равен нулю, мы можем записать также

   

Далее, имеются некоторые полиномы бесконечной степени, например,

   

Эти особые бесконечные ряды были открыты Ньютоном, и довольно легко вывести такие разложения с помощью математического анализа. Здесь я буду считать его известным. Мы знаем нули синуса, это Первой идеей Эйлера было предположение, что теорема о разложении на множители верна для бесконечных полиномов, т.е.

   

Заметим, что каждая пара множителей и перепишем равенство

   

Теперь Эйлер получил, что бесконечная сумма равна бесконечному произведению!? (также обратите внимание на знаменатели в этом произведении — в них имеются квадраты натуральных чисел, что намекает о присутствии где-то здесь ряда обратных квадратов).

Хотя произведение состоит из бесконечного числа множителей, мы можем выяснить, какой коэффициент будет при каждой степени . Рискуя обидеть читателя, я все же объясню: рассмотрим конечное произведение

   

Каждый элемент при раскрытии скобок в произведении, скажем , равен произведению слагаемых, взятых из каждой скобки слева по одному. Так, Эйлер увидел, что в нашем бесконечном произведении член, содержащий , будет равен

   

Однако, поскольку бесконечное произведение равно бесконечному ряду для , коэффициент при должен быть равен . Приравняем коэффициенты и умножим полученное равенство на , получим

   

Итак, через 90 лет был найден ответ. Он остается одним из самых странных, самых удивительных результатов в математике. Мы связываем постоянную с кругами, а Basel problem содержит обратные квадраты. И что здесь вдобавок делает синус из тригонометрии? Когда Иоганн Бернулли увидел решение Эйлера, он должен был сказать: “Был бы только мой брат жив, чтобы увидеть это’’. Возможно, Иоганн смягчился с годами.

Это не все, что установил Эйлер в своей исторической работе. Используя подобные методы, он показал, что

   

и

   

Оставался очевидный вопрос: а что с нечетными степенями натуральных чисел? Оказывается, что подобные методы не работают для нечетных степеней. В течение всей своей жизни Эйлер много раз пытался найти эти суммы, но ему этого сделать не удалось. В конце концов он просто сказал: “Задача представляется сложной’’. Когда Эйлер сказал о математической задаче, что она сложная, обычным математикам, вероятно, не стоит заботиться о ее решении. И конечно же, сегодня, спустя 200 с лишним лет, эти суммы не найдены.

Следствия

Практики могут задать вопрос, оправданы ли все эти усилия, принесшие результат, не имеющий никакой очевидной пользы. Простой ответ состоит в том, что эта задача из теории чисел, а в теории чисел подобные вопросы просто не возникают. Менее циничным ответом будет тот, что теория чисел иногда находит свой путь в реальный мир. Хорошим примером тому является теорема Ферма, открытая им в 1640 году, так называемая малая теорема Ферма. На этом абстрактном результате основан алгоритм криптографии, который применяется в Интернете для передачи секретной информации, такой как номера кредитных карт. Без него электронная коммерция была бы невозможна.

Что касается задачи о сумме ряда обратных квадратов, то позже оказалось, что она тесно связана с гипотезой Римана, которая сегодня считается одной из самых важных нерешенных проблем в математике. Эта гипотеза была предложена в 1859 году. Она считается верной, но до сих пор ее еще никто не доказал. Нам нужен новый Леонард Эйлер.

Приложение. Расходимость гармонического ряда

Как было написано выше, это ряд:

   

Якоб Бернулли доказал, что эта сумма бесконечна. Якоб заметил, что ряд может быть разделен на группы слагаемых:

   

Он предположил, что сумма слагаемых в каждой группе единица или больше. Если так, то сумма гармонического ряда бесконечна, поскольку она равна сумме бесконечного числа слагаемых, каждое из которых единица или больше (групп бесконечно много). Чтобы доказать предположение, рассмотрим одну группу без первого слагамого:

   

Число слагаемых в этой группе равно . Наименьшее слагаемое — последнее, так что

   

или

   

Добавляя к обеим частям равенства, получаем требуемый результат.

Перевод статьи The Basel Problem.

Ряд обратных квадратов — Вики

Ряд обратных квадратов — бесконечный ряд:

112+122+132+142+152+…{\displaystyle {\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}+\dots }

Задача нахождения суммы этого ряда долгое время оставалась нерешённой.{-s}}}\cdot \dots }

Произведение в правой части берётся по всем простым числам.

История

Впервые рассуждения о ряде обратных квадратов историки обнаружили в диссертации итальянского математика Пьетро Менголи (Novae quadraturae arithmeticae seu de additione fractionum, 1644 год, опубликована в 1650), но тогда задача не вызвала общего интереса. Менголи определил, что ряд сходится, и нашёл сумму первых 10 членов[3]:

19683291270080≈1,54977.{\displaystyle {\frac {1968329}{1270080}}\approx 1{,}54977.}

Позднее найти сумму ряда безуспешно пытались многие выдающиеся математики, в том числе Лейбниц, Стирлинг, де Муавр, Христиан Гольдбах, братья Якоб и Иоганн Бернулли. Они также вычислили несколько значащих цифр суммы ряда. Гольдбах показал, что сумма заключена в интервале (41/25; 5/3), Стирлинг в трактате «Methodus Differentialis» (1730) сумел вычислить довольно точное значение суммы: 1,644934066, однако никто не мог точно определить, с чем это значение может быть связано[3][4][5].

Леонард Эйлер

Якоб Бернулли призвал в своей книге «Арифметические предложения о бесконечных рядах» (1689): «Если кому-либо удастся найти то, что до сих пор не поддавалось нашим усилиям, и если он сообщит это нам, то мы будем очень ему обязаны»[2][6]. Но при жизни Якоба Бернулли решение так и не появилось.

Первым успеха добился Эйлер, спустя почти полвека после обращения Бернулли. Скорее всего, о данной проблеме Эйлеру рассказал Иоганн Бернулли, брат Якоба. Эйлер сообщил об открытии в заметке «О суммах обратных рядов» (De summis serierum reciprocarum, 1735 год)[7] для журнала «Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae» Петербургской академии наук. Найденное им значение суммы Эйлер также сообщил письмом своему другу Даниилу Бернулли, сыну Иоганна Бернулли[8]:

Недавно я нашёл, и совсем неожиданно, изящное выражение для суммы ряда, связанного с квадратурой круга… А именно, шестикратная сумма этого ряда равна квадрату периметра круга, диаметр которого 1.{2}}{6}},} используя уже известное в тот период приближённое значение числа π{\displaystyle \pi }, и убедился, что оба значения, в пределах точности счёта, совпадают. Впоследствии (1743) Эйлер опубликовал ещё два разных способа суммирования ряда обратных квадратов[11].

Сходимость ряда

Чтобы убедиться, что ряд обратных квадратов сходится, достаточно доказать, что сходится следующий ряд[12]:

1+11⋅2+12⋅3+13⋅4+14⋅5+…{\displaystyle 1+{\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{2\cdot 3}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}+{\frac {1}{4\cdot 5}}+\dots }

Этот ряд мажорирует ряд обратных квадратов, потому что каждое слагаемое в нём (кроме первого) больше, чем в ряде обратных квадратов. Его можно представить в виде телескопической суммы:

1+(1−12)+(12−13)+(13−14)+…{\displaystyle 1+\left(1-{\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}\right)+\left({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}\right)+\dots }

Частичная сумма Sn{\displaystyle S_{n}} этого ряда равна 2−1n,{\displaystyle 2-{1 \over n},} поэтому ряд сходится, и его сумма равна 2.{2}}{6}}.}

Изложенный метод основан на разложении синуса в бесконечное произведение, однако Эйлер не дал этому разложению должного обоснования, ограничившись ссылкой на то, что и левая, и правая части, рассматриваемые как многочлены, имеют одни и те же корни: 0,±π,±2π,±3π,±4π…{\displaystyle 0,\pm \pi ,\pm 2\pi ,\pm 3\pi ,\pm 4\pi \dots } Иоганн и Даниил Бернулли указали на некорректность такого вывода, поскольку он применим только к многочленам конечной степени, а не к бесконечным рядам. В связи с этим Эйлер опубликовал ещё несколько способов суммирования, обоснованных более строго и приводящих к тому же результату[11]. Тем не менее указанное разложение оказалось верным и было впоследствии доказано[17].

Второй метод Эйлера

В 1741 году Эйлер учёл указанную выше критику своего первоначального метода и опубликовал другой метод суммирования, основанный на интегрировании рядов[18]. Для этого рассматривается интеграл вида

E=∫01arcsin⁡x1−x2 dx=∫01arcsin⁡x darcsin⁡x=π28.{2}}}+\dots }

Некоторые применения

Сумма ряда обратных квадратов, она же ζ(2),{\displaystyle \zeta (2),} появляется во многих задачах теории чисел.

Сумма делителей натурального числа N{\displaystyle N} растёт в среднем[28] как линейная функция ζ(2)⋅N{\displaystyle \zeta (2)\cdot N}.

Вероятность того, что два случайным образом выбранных натуральных числа в интервале от 1 до N{\displaystyle N} окажутся взаимно простыми, с ростом N{\displaystyle N} стремится к 1/ζ(2).{\textstyle 1/\zeta (2).} Другими словами, средняя плотность взаимно простых чисел в числовом ряду[29] равна 1/ζ(2).{\textstyle 1/\zeta (2).}

Пусть Q(x){\displaystyle Q(x)} — количество свободных от квадратов натуральных чисел в промежутке от 1 до x.{\displaystyle x.} Для него имеет место приближённая формула[30][31][32]

Q(x)≈xζ(2){\displaystyle Q(x)\approx {\frac {x}{\zeta (2)}}}

Накопленная функция Эйлера[en]

Φ(n):=∑k=1nφ(k),n∈N,{\displaystyle \Phi (n):=\sum _{k=1}^{n}\varphi (k),\quad n\in \mathbf {N} ,}

где φ(n){\displaystyle \varphi (n)} — функция Эйлера, имеет следующую асимптотику[33]:

Φ(n)∼12ζ(2)⋅n2+O(nlog⁡n).{2}+O\left(n\log n\right).}

Примечания

  1. Стюарт, Иэн. Невероятные числа профессора Стюарта = Professor Stewart’s incredible numbers. — М.: Альпина нон-фикшн, 2016. — С. 222—223. — 422 с. — ISBN 978-5-91671-530-9.
  2. 1 2 3 4 Дербишир, 2010, с. 90—92, 103—109.
  3. 1 2 Sofo, Anthony. The Basel Problem with an Extension (неопр.). Дата обращения: 3 августа 2020.
  4. ↑ Leonhard Euler biography (неопр.). Дата обращения: 16 апреля 2016.
  5. ↑ Euler et le problème de Bâle (неопр.). Дата обращения: 5 августа 2020.
  6. Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения. — Изд. 2-е, исправленное. — М.: Наука, 1975. — С. 40.
  7. Leonhard Euler. De summis serierum reciprocarum (неопр.). Дата обращения: 17 апреля 2016.
  8. Наварро, Хоакин. До предела чисел (неопр.). Дата обращения: 10 августа 2016.
  9. 1 2 История математики, том III, 1972, с. 337.
  10. ↑ Дербишир, 2010, с. 92.
  11. 1 2 Вилейтнер Г. История математики от Декарта до середины XIX столетия. — М.: ГИФМЛ, 1960. — С. 143—144. — 468 с.
  12. 1 2 Воробьёв Н. Н. Теория рядов. — 4-е изд. — М.: Наука, 1979. — С. 52. — 408 с. — (Избранные главы высшей математики для инженеров и студентов втузов).
  13. 1 2 Айгнер, Циглер, 2006, с. 49.
  14. ↑ Borwein, Borwein, Dilcher, 1989
  15. ↑ Антонио Дуран, 2014, с. 109—114.
  16. 1 2 Кохась К. П., 2004.
  17. ↑ Фихтенгольц Г. М., 1966, с. 374—376.
  18. ↑ Фихтенгольц Г. М., 1966, с. 671.
  19. 1 2 3 Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — Изд. 3-е. — М.: Наука, 1963. — Т. III. — С. 443, 451. — 656 с.
  20. ↑ Фихтенгольц Г. М., 1966, с. 484.
  21. ↑ Фихтенгольц Г. М., 1966, с. 495—496.
  22. ↑ Robin Chapman.
  23. Wästlund, Johan. Summing inverse squares by euclidean geometry (неопр.).
  24. ↑ Why is pi here? And why is it squared? A geometric answer to the Basel problem на YouTube
  25. Жуков А. В. Вездесущее число «пи». — 2-е изд. — М.: Издательство ЛКИ, 2007. — С. 145. — 216 с. — ISBN 978-5-382-00174-6.
  26. 1 2 Отрадных Ф. П. Математика XVIII века и академик Леонард Эйлер. — М.: Советская наука, 1954. — С. 33. — 39 с.
  27. Leonhard Euler, Institutiones calculi integrals
  28. Арнольд В. И. Динамика, статистика и проективная геометрия полей Галуа. — М.: МЦНМО, 2005. — С. 70. — 72 с.
  29. Cohen E. Arithmetical functions associated with arbitrary sets of integers (англ.) // Acta Arithmetica. — 1959. — Vol. 5. — P. 407—415. (см. также замечание к статье: Errata. Замечание касается «Corollary 3.3» на с. 413).
  30. Jia C.-H. The distribution of square-free numbers (англ.) // Science in China. Series A — Mathematics, Physics, Astronomy & Technological Science. — 1993. — Vol. 36, iss. 2. — P. 154—169. — doi:10.1360/ya1993-36-2-154.
  31. Pappalardi F. A Survey on k-freeness // Number Theory. Proceeding of the Conference in Analytic Number Theory in Honor of Prof. Subbarao (англ.) / Vol. Eds.: S. D. Adhikari, R. Balasubramanian, K. Srinivas. — Mysore: Ramanujan Mathematical Society, 2002. — P. 77—88. — 161 p. — (Lecture Notes Series: Number 1). — ISBN 9788190254510.
  32. Sinha K. Average orders of certain arithmetical functions (англ.) // Journal of the Ramanujan Mathematical Society. — 2006. — Vol. 21, iss. 3. — P. 267—277.
  33. Weisstein, Eric W. Totient Summatory Function (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Литература

  • Айгнер М., Циглер Г. Доказательства из Книги. Лучшие доказательства со времён Евклида до наших дней. — М.: Мир, 2006. — С. 49. — 256 с. — ISBN 5-03-003690-3.
  • Дербишир, Джон. Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике. — Астрель, 2010. — С. 90—92, 103—109. — 464 с. — ISBN 978-5-271-25422-2.
  • Дуран, Антонио. Поэзия чисел. Прекрасное и математика. — М.: Де Агостини, 2014. — 160 с. — (Мир математики: в 45 томах, том 27). — ISBN 978-5-9774-0722-9.
  • Математика XVIII столетия // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1972. — Т. III.
  • Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — изд. 6-е. — М.: Наука, 1966. — Т. II. — С. 461—462, 490, 496, 671. — 800 с. — ISBN 5-9221-0155-2.
  • Borwein J. М., Borwein P. В., Dilcher K. Pi, Euler numbers, and asymptotic expansions // Amer. Math. Monthly. — 1989. — № 96. — P. 681—687.

Ссылки

Базельская проблема в математике, которую не могли решить 90 лет | Математика не для всех

Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня поговорим об одной известной математической задаче, которая носит наименование «базельской». Дело в том, что её придумал в 1689 году профессор из Базеля Якоб Бернулли, а решить смог только в 1735 году легендарный Леонард Эйлер.

А первые рассуждения о подобной задаче датируются вообще 1644 годом! Сам Бернулли говорил, что «мы будем обязаны тому, кто найдет её решение»

Сама по себе задача не имела практического значения, но, как часто это бывает, в ходе её решения были исследованы и развиты ранее не известные разделы математики, имеющий прикладное значение. Посмотрим же, что было «камнем преткновения» для математиков начала 18 века. Поехали!

Источник: https://www.vladtime.ru/uploads/posts/2016-08/1470309503_leonhard_euler2.jpg

Источник: https://www.vladtime.ru/uploads/posts/2016-08/1470309503_leonhard_euler2.jpg

Базельская задача

Проблема состояла в нахождении бесконечной суммы ряда обратных квадратов:

Хоть, на первый взгляд и понятно, что данная сумма будет сходиться, ведь при увеличении знаменателя каждое слагаемое будет всё больше и больше стремиться к нулю, решение этой задачи оказалось далеко не тривиальным.

Помогла Эйлеру, как это ни странно, тригонометрия, а именно известное, благодаря Ньютону, разложение синуса в бесконечную сумму:

Далее Эйлер обратился к многочленам. Посмотрите на график синуса на рисунке ниже:

Эйлер небезосновательно заключил, что синус можно записать как многочлен, корни которого мы знаем: Пи, -Пи, 2Пи, -2Пи и т.д. Гениальность Эйлера в том, как он записал это равенство:

Если Вы попробуете подставить вместо x точки, в которых синус равняется нулю (Пи, -Пи, 2Пи, -2Пи и т.д.), то всегда получите верное равенство!

Если Вы попробуете подставить вместо x точки, в которых синус равняется нулю (Пи, -Пи, 2Пи, -2Пи и т.д.), то всегда получите верное равенство!

Итак, синус с одной стороны равен бесконечной сумме, а с другой так же равен бесконечному произведению. Так приравняем же их!

Ниже подробнее

Ниже подробнее

Пояснения к рисунку выше: Эйлер решил приравнять коэффициенты при равных степеня слева и справа. Например, рассмотрим второе слагаемое ряда слева. Коэффициент при нем равен -1/(3!) = -1/6.

Справа для простоты можно раскрыть три скобки и заметить закономерность:

Теперь понятно? Осталось приравнять:

И получить изумительно красивый ответ. Математиков 18 века он и вовсе шокировал: появление числа Пи в отрыве от геометрии было событием знаменательным!

И получить изумительно красивый ответ. Математиков 18 века он и вовсе шокировал: появление числа Пи в отрыве от геометрии было событием знаменательным!

Эйлер решил задачу для произвольных четных степеней в знаменателе, а вот на нечетных степенях остановился после долгих попыток, сказав, что «Задача представляется сложной«.2>6$%, и от $%1.65$% оно отличается на сколько-то тысячных. Тогда $%n=10$% должно дать хорошую точность. Пробуем (уже без «нелегальной» информации), и оно подходит. К слову сказать, $%n=9$% даёт оценку, которая чуть превышает нужную.

Здравствуйте

Математика – это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

1. Базельская задача

Для гармонического ряда аналогичная итерация дает сумму

14.3927257228, отчего гармонический ряд еще называют медленно расходящимся рядом.

Эйлер вычислил несколько первых знаков, после чего, обладая сверхъестественными способностями к вычислениям, увидел, что сумма базельского ряда равна
π 2 /6
После чего он строго доказал, что так оно и есть. Сделал он это еще в 1735 году, в Петербурге. Ход его рассуждений можно проиллюстрировать следующим образом: возьмем за основу известный ряд Тейлора:

Из школьного курса мы знаем, что при x=0, ± π, ± 2π, ± 3π . синус равен нулю.
Если рассмотреть в качестве примера алгебраическое уравнение 4-й степение:

Пусть его корни равны b, c, d и e. Тогда его можно разложить на линейные множители:

Ряд Тейлора, являясь многочленом, по основной теореме алгебры, можно аналогично представить в виде произведения одночленов:

Правая часть этого равенства преобразовывается к виду:

Если каждое выражение в скобках приравнять к нулю:

x 2 – π 2 = 0
Далее:
x 2 = π 2
Далее:
x 2 / π 2 = 1
Далее:
1 – x 2 / π 2 = 0
После чего правая часть становится равной:

При этом

Делим обе части равенства на x и получаем

Поскольку

имеем:
K ‘ =1
Получаем ряд:

После перемножения и расрытия скобок в правой части:

Делим обе части на -x 2 /π 2 и получаем:

что и требовалось доказать. Для 4-й степени:

Для 6-й степени:

ζ(8) = π 8 / 9450
ζ(10) = 691*π 10 / 638512875
ζ(12) = 2*π 12 / 18243225
ζ(14) = 3617*π 14 / 325641566250
.

Для положительных целых четных значений, кратных двум, Эйлер нашел упрощенную формулу с использованием чисел Бернулли:

или так

В 1755 году Эйлер опубликовал Наставления к дифференциальному исчислению, в которых подвел итог доказательству Базельской задачи.

На данный момент существует много ее различных доказательств, например, есть варианты, в которых используется только интегральное исчисление.

Ряд, состоящий из величин, обратных простым числам, расходится, причем еще медленнее, чем гармонический, примерно к ln(ln(p)) :

Сумма же гармонического ряда оценивается как ln(n+1) 2. Так появилась знаменитая дзета-функция Эйлера:

Он смог вычислить ее для любого четного значения S. Для нечетных функций простых формул до сих пор не найдено.
Таблица для первых 5 целых значений дзета-функции, с точностью до 12 знаков после запятой:
2 = 1.644934066848
3 = 1.202056903159
4 = 1.082323233711
5 = 1.036927755143
6 = 1.017343061984

Дзета-функция определена не только для целых, но и рациональных чисел. Например, для s=1.1 она равна 10.58448, для s=1.0001 она равна 10000.577222.
В положительной области определения дзета-функция выглядит так:

Вообще, глядя на уравнение дзета-функции, можно сделать вывод, что она существует только для S > 1. Попробуйте подставить S 1.
На самом деле дзета-функция существует для любого значения, кроме 1, причем не только целого. В области слева от 1 дзета-функция выглядит так:

В начале отрицательной области определения дзета-функция выглядит так:

Для вычисления дзета-функции в области 1
Формула:

Между дзета-функцией и эта-функцией существует связь:

Например, чтобы вычислить дзета-функцию для 0.5, сначала с помощью ряда вычисляем эта-функцию для 0.5. Зная значения эта-функции, можно с помощью последней формулы вычислить аналогичные значения для дзета-функции. Так, например η(1/2)=0.604. . Отсюда ζ(1/2)= -1.460.
Еще более странным выглядит алгоритм для вычисления дзета-функции для отрицательных значений. Эйлер в 1749 году предложил выразить ζ(1-x) через ζ(x). Т.е. например чтобы вычислить дзета-функцию ζ(-15), надо вычислить ζ(16) и подставить его в формулу, которая выглядит так:

Эта формула работает для целых S. Дзета-функция равна нулю всегда, когда S – отрицательное четное число. Эти нули еще называют тривиальными нулями дзета-функции.

Дзета-функция является фундаментальной функцией современной математики. Она может проявляться в самых неожиданных местах.
Так, для S=3 она равна 1.2020569. Это число называется постоянной Апери.
Постоянная Эйлера

очень важна, т.к. она используется самым неожиданным образом во множестве дисциплин: в статистике. квантовой механике, анализе и теории чисел. Существует связь между этой константой и дзета-функцией:

Существует связь между дзета-функцией и функцией Мебиуса. Областью определения функции Мебиуса являются натуральные числа 1,2,3. Вычисляется функция Мебиуса по следующему алгоритму:
μ(1)=1.
μ(n)=0, если среди делителей числа n есть квадрат.
μ(n)=-1, если число n – простое или является произведением нечетного числа различных простых чисе.
μ(n)= 1 , если число n является произведением четного числа различных простых чисел:

Существует связь между дзета-функцией и числом делителей натуральных чисел:

Существует связь между дзета-функцией и числом простых делителей натуральных чисел:

Существует связь между дзета-функцией и вероятностью выбора взаимно-простых чисел. Пусть имеется отрезок из натуральных чисел [1;N]. Из него случайно выбираем k целых чисел. Вероятность того, что эти числа взаимно просты в совокупности:

В частности, два случайно выбранных числа взаимно просты с вероятностью 6/π 2

3. Тождество Эйлера

Еще более загадочная связь существует между дзета-функцией и простыми числами. Эта связь также была установлена Эйлером. Он нашел ее, применив к дзета-функции классический алгоритм просеивания – решето Эратосфена. Доказательство может быть проиллюстрировано следующим образом:
Исходно дзета-функция имеет вид:

Умножим обе части равенства на 1/2 S , получим:

Вычитая второе из первого, удаляем все элементы с делителем 2:

Умножим обе части равенства на 1/3 S , получим:

Вычитая последнее из предпоследнего, удаляем все элементы с делителем 3:

Применяя в дальнейшем метод просеивания, умножая последовательно на величину, обратную очередному простому числу – 5, 7, 11, 13 и т.д., в конце концов получим:

Разделив последнюю формулу на все множители, получим знаменитое тождество Эйлера, в левой части которого стоит сумма величин, обратных степеням всех натуральных чисел, а в правой части стоит произведение величин, обратных степеням всех простых чисел:

которое можно записать так:

или так:

Впервые тождество упоминается Эйлером в мемуаре Various observations about infinite series, изданном в Петербурге в 1737 году, и выглядело оно вот так:

4. О свойствах степенных рядов

У Эйлера есть работа (E352 по каталогу) о свойствах степенных рядов, которая по латински звучит как Remarques sur un beau rapport entre les series des puissances tant directes que reciproques. Ее английский перевод – Remarks on a beautiful relation between direct as well as reciprocal power series.
К моменту написания этой работы Эйлер уже определил свою знаменитую формулу для дзета-функции в виде обратного степенного ряда. Он также нашел явные формулу для четных натуральных степеней S. Но дзета-функция на тот момент была определена лишь для S > 1. В этой работе он расширяет область определения дзета-функцию на всю числовую область и выводит функциональное выражение, используя эта-функцию. Зная значение эта-функции, мы можем вычислить дзета-функцию в любой области значения, в том числе для S
Зная сумму одного из этих рядов, можно вычислить сумму другого ряда, точнее, если мы знаем сумму первого ряда для m, то сможем вычислить сумму второго ряда для : n = m+1.
Сумма первого ряда для m=1 равна 1/4 . В современных терминах это называется сумма Абеля, она определена для x, который по модулю меньше 1. Эта сумма получена исходя из того, что ряд

эквивалентен

Последнее выражение при x=1 равно 1/4.
Для других степеней аналогично:

Если подставить в правой части x=1, получим, что для второй степени сумма равна нулю, третьей – минус 2/16, четвертой – опять ноль, пятой – плюс 16/64, шестой – опять ноль и т.д.
В общем случае формула для вычисления n–й степени:

Каким образом Эйлер получил эти зависимости ? В качестве исходного ряда возьмем следующий:

Сначала умножим его на x, потом продифференцируем, и получим равенство для первой степени. Потом возьмем это равенство, умножим на x, опять продифференцируем, и получим равенство для второй степени, и т.д.

Далее Эйлер приводит формулы для расчета дзета-функции для четных положительных S. В общем виде формула выглядит так:

Здесь B – число Бернулли. Следующий код вычисляет первые несколько значений дзета-функцию по этой формуле с использованием чисел Бернулли:

Матем. просв., сер. 3, 2004, выпуск 8,

Наш семинар: математические сюжеты

Сумма обратных квадратов

Аннотация: В этой заметке мы рассказываем о том, как можно разными способами найти значение суммы
$$ 1+frac14+frac19+frac1<16>+frac1<25>+dotsb. $$
Вероятно, все изложенные здесь способы являются известными. Да и попытки устроить ревизию в этом хозяйстве уже тоже предпринимались.
Толчком к написанию этого текста послужило наблюдение, изложенное в параграфе 7, пополнению коллекции доказательств сильно помогли статья [12] и дискуссии в [18].

Полный текст: PDF файл (317 kB)
Список литературы: PDF файл HTML файл
Тип публикации: Научно-популярный, образовательный материал

Образец цитирования: К. П. Кохась, “Сумма обратных квадратов”, Матем. просв., сер. 3, 8 , Изд-во МЦНМО, М., 2004,

Цитирование в формате AMSBIB

Кохась
paper Сумма обратных квадратов
serial Матем. просв., сер.

Закон обратных квадратов — Справочник химика 21

    Солнечное излучение. Средний поток солнечного излучения, падающего на единицу площади поверхности, расположенной нормально к направлению солнечных лучей в верхних слоях земной атмосферы, или так называемая солнечная постоянная, равен приблизительно 1395 Вт/м2 [22, 23]. Это положение подтверждено Драмметером и Хассом [24]. Они получили на 50-сантиметровой сфере значение солнечной постоянной 1340—1450 Вт/м . Таким образом, тело в верхних слоях земной атмосферы будет поглощать 1395 Вт/м при условии, что его поглощательная способность равна единице. Очевидно, что Солнце излучает конечное количество энергии, и плотность лучистого потока, соответствующего этой энергии, подчиняется закону обратных квадратов [c.47]
    Для нанесения марок иногда помещают в осветительную систему или внутрь спектрографа проволочные сетки с заданным коэффициентом пропускания, используют спектральные мультиплеты с известным соотношением яркостей или получают ряд спектров от точечного источника, удаленного на разные расстояния от щели. В последнем случае освещенность в спектре предполагается изменяющейся по закону обратных квадратов. Нужно, однако, следить, чтобы источник был достаточно мал по сравнению с расстоянием от него до щели, а также чтобы почернения не искажались воздействием отраженного от стен лаборатории и рассеянного вне спектрографа света. [c.306]

    Хотя концентрированные ионные растворы представляют непреодолимые трудности для электростатической теории, куло-новский закон обратного квадрата имеет много важных следствий. Например, кулоновское притяжение между зарядами настолько велико, что отклонения от электронейтральности в растворах электролитов невозможны. Этот вывод справедлив, несмотря на то что на малых расстояниях межионные силы отклоняются от закона Кулона. [c.87]

    И сама модель применимы лишь в пределе бесконечного разбавления, сильные отклонения от поведения идеального раствора можно с уверенностью приписать закону обратного квадрата, управляющего силами между ионами на больших расстояниях. В той же модели можно найти проявление этих сил дальнодействия в других свойствах раствора при больших разбавлениях, что в особенности относится к проводимости. [c.88]

    Другой частью ранней работы Бора было развитие специальной динамической модели атома водорода и изучение правил для определения разрешенных уровней энергии. Модель этого простейшего атома состояла из электрона и протона, описывающих, в согласии с классической механикой, орбиты вокруг их общего центра инерции под влиянием взаимного отталкивания, соответствующего закону обратных квадратов Кулона. Разрешенные круговые орбиты определялись просто требованием (дополнительный постулат квантовой теории), чтобы момент количества движения системы был бы целым числом, кратным й — й/2тг. Это дает для энергии выражение [c.15]

    Так как отдельные кольцевые зоны отражателя не одинаково участвуют в формировании пуска лучей, то осевая сила излучения не остается неизменной на различных расстояниях от отражателя. Только начиная с определенного расстояния /о все кольцевые зоны отражателя дадут свою составляющую в осевую силу излучения, которая при дальнейшем увеличении расстояния будет оставаться постоянной. Это расстояние /о называется дистанцией формирования пучка. Закон обратных квадратов для расчета облученности поверхности [см. формулу (1. 15)] можно применять только начиная с дистанции формирования. Фотометрические из.мерения излучения с отражателями также следует проводить только за пределами расстояния /о, которое иногда называют фотометрическим расстоянием. [c.172]


    Прежде чем начать градуировку, необходимо проверить, с какого расстояния начинает выполняться закон обратных квадратов, т. е. мощность дозы, создаваемой источником, уменьшается обратно пропорционально квадрату расстояния. Для этого ионизационную камеру устанавливают на расстоянии примерно 30—50 см от источника и записывают показания прибора. Затем увеличивают расстояние в 2, 3 и 4 раза. Если [c.293]

    После того как будет установлено минимальное расстояние мин) с которого начинает выполняться закон обратных квадратов, камера размещается на таком расстоянии от источника, чтобы стрелка отклонилась до последнего деления шкалы измерительного прибора. Это расстояние не должно быть меньше / мин- [c.294]

    Аналогичным образом камера размещается на двух-трех различных расстояниях от эталонного препарата, на которых выполняется закон обратных квадратов, и измеряется число импульсов за определенный промежуток времени (например, за = 0,5 мин). Запись ведется по следующей форме (табл. 7. 6). [c.297]

    В качестве примера дается таблица, где указаны расстояния от препарата, на которых должны быть размещены контрольные кассеты с пленкой типа рентген XX. Эти расстояния рассчитаны для препарата активностью 10 мг-экв радия, который наиболее целесообразно использовать. Время экспозиции = 30 мин. Мы видим, что минимальное расстояние кассеты от источника составляет 4,5 см, следовательно, чтобы соблюдался закон обратных квадратов, линейные размеры источника не должны превышать 5—6 мм  [c.306]

    Сила электромагнитного и гравитационного взаимодействий убывает с расстоянием по закону обратного квадрата, что объясняется чисто геометрическими соображениями. Электромагнитное взаимодействие проявляется как в микромире, так и в макроявлениях. Гравитационное взаимодействие пренебрежимо мало в микромире и играет главную роль в астрономических явлениях. При описании ранней стадии существования Вселенной или космических катастроф, подобных взрыву сверхновой звезды, следует учитывать все четыре вида фундаментальных взаимодействий. [c.700]


3. Степенные ряды, разложенные по степеням (х-а)

Теорема Абеля. Если степенной ряд (2) сходится при некотором х=х0, то он сходится абсолютно при всех х, для которых: .

Из теоремы Абеля следует, что областью сходимости степенного ряда, разложенного по степеням (х-а), является интервал сходимости (аR; R) с центром в т. х=а. Внутри интервала степенной ряд сходится абсолютно, вне интервала – расходится. На концах интервала ряд может как сходиться, так и расходиться. Если R=0, то степенной ряд сходится только в одной точке: в т. х=а. Если R=∞, то ряд сходится при всех х. Радиус и интервал сходимости находится аналогично рядам, разложенным по степеням х.

Пример 4. Исследовать сходимость ряда

Решение. Имеем коэффициенты степенного ряда:

Найдем радиус сходимости по формуле (4):

Ряд сходится только при х-5=0, т.е. только в точке х=5.

Пример 5. Исследовать сходимость ряда

Решение. Имеем коэффициенты степенного ряда:

Найдем радиус сходимости по формуле (4):

Следовательно, ряд сходится, если -1<x-2<1, т.е. интервал сходимости (1; 3). Исследуем сходимость ряда на концах интервала.

При х=3 получим ряд с положительными членами (ряд из обратных квадратов) .

Для исследования его сходимости можно применить интегральный признак сходимости Коши. Имеем:

Интеграл сходится (является конечной величиной), поэтому сходится и данный ряд.

При х=1 получим знакочередующийся ряд:

Для исследования его сходимости применим признак Лейбница. Все условия теоремы Лейбница выполнены:

  1. члены ряда монотонно убывают (по модулю): ;

  2. общий член ряда (по модулю) стремится к нулю:

Следовательно, ряд сходится. Причем этот ряд сходится абсолютно, так как ряд из абсолютных величин членов данного ряда (ряд из обратных квадратов) сходится.

Таким образом, область сходимости степенного ряда [1; 3].

4. Свойства степенных рядов

1. На любом отрезке, целиком лежащем внутри интервала сходимости, сумма степенного ряда f(x) есть непрерывная функция.

2. Степенной ряд можно почленно дифференцировать в интервале сходимости любое число раз, при этом после дифференцирования полученные ряды имеют тот же радиус сходимости.

3. Степенной ряд можно почленно интегрировать в интервале сходимости любое число раз, при этом после интегрирования полученные ряды имеют тот же радиус сходимости.

5. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

Всякая функция f(x), бесконечно дифференцируемая в окрестностях точки х=а, может быть разложена в сходящийся степенной ряд Тейлора:

При а=0 получаем ряд Маклорена:

Таблица стандартных разложений элементарных функций

в ряд Маклорена*

1.

2.

3.

4.

5.

Разложение справедливо: при α≥0 в интервале [-1;1];

при -1<α<0 в интервале ; при α≤0 в интервале.

Частные случаи:

6.1.

6.2.

6. ПРИЛОЖЕНИЯ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ

6.1. Вычисление значений функций

Для вычисления приближенного значения функции f(x) ее раскладывают в абсолютно сходящийся степенной ряд (например, в ряд Маклорена):

где Snn-ная частичная сумма (сумма первых n членов ряда):

Rn – остаток ряда:

Несколько первых n членов оставляют, а остаток ряда Rn отбрасывают. Чем больше взять членов ряда, тем точнее будет значение функции. Тогда

Для оценки ошибки найденного приближенного значения f(x) необходимо оценить сумму отброшенных членов (остаток ряда) Rn, причем эта сумма по модулю должна быть меньше заданной погрешности δ:

Rn│<δ.

Для знакочередующихся рядов остаток ряда Rn меньше первого из отброшенных членов:

Rn│<un+1.

Для рядов с положительными членами Rn высчитывают по различным формулам, конкретным для каждого ряда [1-6].

Пример 6. Пользуясь стандартным разложением cosx в ряд, вычислить cos18o с точностью до 0,0001.

Решение. Имеем:

Достаточно взять три члена знакочередующегося ряда, так как четвертый член меньше заданной точности: Каждый член ряда вычисляем с пятью знаками после запятой. Тогда за первые четыре знака после запятой можно ручаться:

Пример 7. Вычислить с точностью до 0,0001.

Решение. Воспользуемся стандартным разложением (x+1)α в ряд, полагая х=0,1, α=1/5. Имеем:

Для вычислений достаточно было взять три члена ряда, так как четвертый член меньше заданной точности 0,0001.

Суммируя числовые ряды…

Суммируя числовые ряды…
Здесь собраны несколько школьно-студенческих задачек примерно такого типа: чему равна сумма 1+1/3+1/9+1/27+…. =? Этот пример легко решить через формулу геометрической прогрессии 1/(1-1/3))=3/2. Можно привести такие суммы, которые равны бесконечности: 1+1/2+1/3+1/4+1/5+…., так называемый гармонический ряд, чья сумма (частичная) близка к логарифму числа слагаемых. Интересно, что вычитание этих двух расходимостей здесь дает в пределе константу, называемую постоянной Эйлера-Маскерони. Есть еще «странные ряды типа 1-1+1-1+1-1+1-, сумма которых считается по-разному (варианты: 1,0,1/2). Замечу, что если мы здесь будем рассматривать расходящиеся ряды, то делать будем это весьма неаккуратно.
1. Сумма обратных квадратов

Если загляните в справочник, то увидите ответ, ставший классическим:

(1)

Меня всегда поражало, как из натуральных чисел можно получить иррациональности. Каков путь вывода (1)? Оказывается, идея плодотворна и красива, восходя к теории рядов Фурье. Напомню себе и вам, что в этой теории вначале вводится множество базисных функций φk(x), заданных на промежутке [a;b], равно как и раскладываемая функция f(x) из достаточно широкого класса функций. Затем говорится, что f(x) есть линейная комбинация бесконечного числа слагаемых, а коэффициенты можно найти из скалярного домножения ряда на φk(x):

(2)

Тут очень много взято от линейной алгебры, в частности, базисность функций понимается как ортогональность друг другу (скалярное произведение φk(x) на φl(x) равно 0, если k не равно l). В противном случае коэффициенты ak было бы сложно найти. Классический тригонометрический ряд Фурье- это система φk(x)=coskx, k=0,1,2…, x[-;]. Правда, чтобы можно было раскладывать не только четные функции (есть теорема, что всякая непрерывная функция представляется единственным образом в виде суммы четной и нечетной функции), сюда еще добавляют синусы. Нормировка в знаменателе ak легко находится (уф, по причине слабой памяти и лени, приходится дублировать учебники):

(3)

Вернемся к нашей задаче. Если фиксировать x, что первое соотношение (2) есть просто числовой ряд. Таким образом, если f(x) подобрать так, чтобы ak=1/k2 или близко к этому, то сумма ряда находится просто вычислением функции в точке.

Итак, пусть f(x)=x2 (в знаменателе члена ряда ведь тоже квадрат, не так ли?), а базисная система классическая. Нужно интегрировать, причем, как водится, «по частям»:

gif» name=»object5″ align=absmiddle width=576 height=107>(4)

Распишем полностью f(x) и f(x=):

(5)

Отсюда следует и ответ, приведенный в справочнике. Можно буквально даром получить еще одну сумму (при x=0):

(6)
2. Вариации на тему обратных квадратов

1) (7)

При a=1 сумма вычисляется с помощью одного трюка: дробь представляется в виде разности двух дробей, и получается разность двух рядов, один из которых сдвинут влево на 1 член. Тот же трюк работает и для целого a=n (надо только начать суммирование с k>n). Однако, как насчет дробных типа ½ или иррациональных типа 2? Вот здесь и проявляется великая сила метода, чем всегда и славилась математика!

Итак, пусть f(x)=cos(ax), а все остальное прежнее. Рутинные выкладки смотри ниже:

(8)

Проверим на «вшивость» (7). В пределе a->0 должно получаться (1), собственно говоря, вот еще один легкий вывод (1), даже в чем-то проще, поскольку интегрировать здесь короче. Итак, все нормально:

(9)

2) (10)

Один путь- в лоб: взять f(x)=ch(ax) (гиперболический косинус) и проделать снова рутинные выкладки. Второй путь: рассуждать в терминах комплексных числах, сделав присвоение a=ib, и воспользоваться (7). Напомним, что cosb=(exp(ib)+exp(-ib))/2, chb=(exp(b)+exp(-b))/2.

Вероятно, следует сделать оговорку, что в (7) и, по-видимому, (10) параметр a дробный, нецелый.
3. Сумма обратных «сдвинутых» квадратов

Рассмотрим более сложную задачу, полагая знаменатель члена ряда квадратным трехчленом. Допустим, что он имеет вещественные корни, и можно записать:

(11)

Чтобы не усложнять себе жизнь, примем a,b неотрицательными. Нетрудно видеть, что задача сводится к однопараметрической:

(12)

Мы видим (12), что данный ряд непосредственно связан с гармоническим. Не утруждая себя доказательством перестановочности знаков интегрирования и суммирования, заметим, в частности, что при a=b s(a,b)=f(a), при a=0,b=1 s=1 и, вообще, при b=m, a=n- натуральных необходимо лишь просуммировать члены гармонического ряда с n-го по m-й. Что касается значений функции f(x), то они могут при a=n (желательно небольших по величине) быть вычислены сразу, ибо:

(13)

Из этого с большой долей уверенности можно утверждать, что вряд ли удастся получить аналитическое выражение для f(x), поскольку трудно было бы иметь тогда предельным переходом выражения (13). Тем не менее полезно проследить некоторые связи при a нецелом..

Введем обозначения:

(14)

В некоторых рядах, что встретятся нам, присутствует расходимость, но, тем не менее будем оперировать с ними смело, обычным образом, но держа неограниченность их суммы в уме. Путь, на котором мы будем стоять, заключается в интегрировании функции g(x), которая есть сумма геометрической прогрессии, и поиске значений первообразной при x=1. После однократного интегрирования получим выражение (15) для функции φ(p) и после повторного интегрирования – f(p):

(15,16)

Наиболее общими выражениями для s(a,b), следующими из двух представлений (12), будут:

(17)

В последнем выражении lnx возник из-за интегрирования по параметру p. Очевидно, для практического применения больше подходит первое выражение в (17). Важным частным случаем здесь является наличие комплексных корней у квадратного трехчлена, т.е. a=A-iB,b=A+iB, Можно принять, чтобы не возникало потом проблем со сходимостью интегралов, A>1 – это сильно не повлияет на рассуждения, поскольку всегда можно сдвинуть точку отсчета ряда, подсчитав отдельно сумму нескольких первых членов ряда. Итак, для комплекснозначных корней имеем (18):

(18)

Пора снять некий урожай с полученных формул. Для a=1,b-a=1/2 имеем формулу, для которой известен вывод через разложение в ряд Тейлора ln(1+1):

(19)

Для a=1,b-a=1/3 имеем уже трудно выводимую иным путем формулу:

(20)

Можно также получить полезную оценку расходимости интегралов:

(21)
4. Упрощение некоторых полиномов

Мы использовали прием (14)-(15), связанный с интегрированием. Но можно, дифференцируя, геометрическую прогрессию, получать точные значения для некоторых сумм. В этом можно убедиться на примере следующей задачи, подсмотренной мною в одном учебнике:

Вычислить (22)

Ход решения представлен ниже:

(23)

Итоговая формула получается после утомительных выкладок, громоздка и, очевидно, наибольший эффект от ее применения будет достигаться при больших N:

(24)

Самолично проверял справедливость ответа при x=1/3,N=2 (S=16/9). Первое слагаемое, таким образом, представляет собой сумму ряда при 05. О фрагментах гармонического ряда

Доказательство расходимости гармонического ряда можно построить, как это делается в учебниках, из применения критерия Коши – например, через:

(25)

Мы пойдем иным путем, без обращения к языку «ε-δ». Пусть S – конечная сумма всего ряда, SN – частичная сумма ряда:

(26)

Просуммируем ряд немного по-другому, оценим его сумму сверху и получим противоречие с (23) при N>1:

Известен факт, что гармонический ряд расходится по логарифмическому закону. Более того, можно записать при N→∞:

(27)

При доказательстве этого факта ниже мы постараемся получить ряд полезных «побочных» продуктов. Поэтому нам удобно перед этим ввести определение дзета-функции (функции Римана), обобщив тем самым ряд предыдущих результатов:

(28)

Хотя дзета-функция определена на множестве комплексных чисел, но нас интересует ее значения в целочисленных вещественных узлах z=s.

Само по себе (27) неудивительно. Ведь частичная сумма ряда есть нижняя сумма Дарбу для интеграла на почти бесконечном отрезке или нижняя сумма Дарбу для (в первом случае шаг равен 1, во втором – 1/N). Ну а интегрировать мы умеем…

Здесь имеет смысл подойти деликатнее, а именно, так:

(29)

Доказательство (27) и вычисление постоянной Эйлера сводится к вычислению суммы ряда (29). В справочниках приводится разложение логарифма в ряд Тейлора и, каким бы неуместным ни казался этот прием (с точки зрения построения здания математической дисциплины), воспользуемся им. И притом в таком варианте:

(30)

Позвольте мне не тратить время на доказательство того, что при фиксированном N функции φk ограничены или, что более сильно, стремятся к нулю при k→0. В правой части оказался знакопеременный ряд, и он подпадает под действие признака Лейбница сходимости рядов. К сожалению, этого недостаточно для искомого, поэтому придется для ясности выписать еще одну формулу:

(40)

Мы видим, что в худшем случае на каждом шаге к частичной сумме прибавляется обратный квадрат номера, а такой ряд, как показано выше, сходится.

Устремляя N к бесконечности, из (30), учтя определение (28), получаем элегантное соотношение, связывающее постоянную Маскерони с дзета-функциями:

(41)

Но и это не все. Давайте из (29) разложим логарифм немного иначе:

(42)

С некоторым сомнением, но возьму на себя смелость выписать просящееся на «язык» соотношение:

(43)

Почти наверняка, каких трудов стоило бы получить (41) и (43) из каких-то иных соображений, ведь даже не для всех k значения дзета-функции табулированы.

Теперь рассмотрим вопрос о сходимости такого фрагмента гармонического ряда, как сумма обратных простых: 1+1/2+1/3+1/5+1/7+…+1/p. Поскольку простые числа идут достаточно разреженно, то есть шанс, что этот ряд сходится. Однако, это не так. Доказательство основано на том, что: во-первых, всякое натуральное число есть произведение степеней простых чисел; во-вторых, сумма обратных произведений степеней простых есть произведение суммы обратных степеней простых:

(44)

Здесь на короткое время мы отойдем в сторону, чтобы получить известную формулу-определение дзета-функции. Наши рассуждения не изменятся, если суммировать будем не обратные, а степенные величины:

(45)

Логарифмируя (44), получим:

В виде исключения вышеприведенное доказательство изложим в более рафинированном виде. Достаточно доказать неограниченность суммы обратных простых:

Для затравки мы умеем уже в запасе неограниченность гармонического ряда:

Пусть на отрезке [1;N] находятся L простых (p1,p2,…,pL), и тогда для всякого n в указанном промежутке n=p1α1•p2α2•…•pLαL , причем 0≤αl≤α=log2N. Далее:

(46)

Таким образом, нужно выбрать С1, присвоить С2=expC1, подобрать соответствующее N(C2), а по нему вычислить L и выполнить присвоение K=L.

В приведенном док-ве вопрос может вызвать значение const. Воспользуемся тем, что по крайней мере при |x|≤1/3 xl в степени βl по определению меньше N, то все следует из цепочки:

(47)

При выводе (47) достаточно было, однако, принять очевидное L

Доказать этот факт я самостоятельно не смог, равно как и интегральный закон распределения простых L(N). Однако приведу то малое, в чем я продвинулся:

Лемма:

(48)

► R(N) представляет собою N первых слагаемых гармонического ряда плюс какие-то его «разреженные» кусочки вплоть до 1/M, M=NL. Сколько всего слагаемых? Нетрудно видеть, что α (48) и каждое из них уникально. Например, если α1=1, α2=1, то (1+1/p1)(1+1/p2)=1+1/p1+1/p2+1/p1p2 имеем 4 слагаемых (α=2*2=4). Если R(N) сжать до «сплошного», то получится сумма s(α) из α слагаемых. Что касается величин αi, то ограничения (48) на них следуют из определения piαi≤N

iαi+1. Таким образом, первое неравенство доказано.

Нужно показать, что (s(α)≈lnα или, по крайней мере, s(α)E):

(49)

Будем рассуждать по индукции. При изменении N на 1 либо число простых не изменяется, либо, если N+1=pL+1, к сумме L слагаемых нужно добавить ln2. Поэтому докажем, что:

(50)

Что равносильно неравенству (51):

(51)

Но про φ(N), памятуя ln(1+x)

(52)

Для корректности, из-за «мигающего» ln2, эту оценку можно усилить, приняв L

Если бы легко было получить NНа этом я прощаюсь с читателем до лучших времен . Возможно, мне самостоятельно удастся получить ζ(3) и что-нибудь из велосипедов в магазине цепных дробей.
Matigor

Дата идеи и написания:

Фрагментарно 2004г., март 20052x>

2}{6}$$

5. Перейдите на google.com и выполните поиск о проблеме Базеля и дзета-функции Римана.


Вычисление Эйлером суммы обратных величин квадратов: мини-проект с первичным исходным кодом для студентов, изучающих исчисление II

 

Центральной темой большинства курсов по математическому анализу во втором семестре является бесконечный ряд . Студенты обычно учатся классифицировать бесконечные ряды как сходящиеся или расходящиеся с помощью длинного списка тестов на сходимость.2}=1+\frac{1}{4}+\frac{ 1}{9}+\frac{1}{16}+\cdots\] оказалось довольно сложной задачей.2/6\). Хотя вопросы, связанные со сходимостью рядов, рассматривались по-разному в 18 веке, сегодняшние стандартные тесты сходимости рядов широко используются на протяжении всего проекта. Для понимания самого доказательства не требуется никаких предварительных знаний, кроме степенного ряда для синуса и основ предварительного исчисления, таких как нахождение нулей функций и разложение полиномов на множители. Хотя этот проект предназначен для вводного курса исчисления, он также является идеальной отправной точкой для обсуждения дзета-функции Римана или теоремы Вейерштрасса о факторизации в курсе комплексного анализа или обсуждения производящих функций в курсе комбинаторики.2}\), с текстом из E 41.
[E 41 — это число Eneström в De Summis Serierum Reciprocarum Эйлера. Для получения дополнительной информации о числах Энестрема или для того, чтобы прочитать сам E 41 в его оригинальной латыни или в переводе, посетите Архив Эйлера.]

Полный проект Вычисление Эйлером суммы обратных величин квадратов (pdf) готов для использования учащимися, а исходный код LaTeX можно получить у автора по запросу.В конце студенческого проекта прилагается набор заметок для инструктора, объясняющих цель проекта и направляющих инструктора по целям каждого из отдельных разделов.

Этот проект является одиннадцатым в Серии мини-проектов от TRIUMPHS: Преобразование инструкций по математике для студентов с помощью первичных исторических источников , которые планируется опубликовать в Конвергенция , для использования в курсах, начиная от исчисления первого года обучения до анализа, номер от теории до топологии и многое другое.Ссылки на другие мини-PSP из этой серии приведены ниже, включая две дополнительные мини-PSP для расчета первого года обучения. Полная коллекция TRUMPHS также предлагает шесть других мини-PSP и еще одну полноразмерную PSP для использования студентами, изучающими математический анализ.

Благодарности

Разработка студенческого проекта «Вычисление Эйлером суммы обратных величин квадратов » была частично поддержана проектом «Трансформирование» «Обучение математике для студентов на основе первичных исторических источников» ( TRIUMPHS ) при финансовой поддержке Национального Программа научного фонда «Улучшение бакалавриата в области STEM» по грантам No.1523494, 1523561, 1523747, 1523753, 1523898, 1524065 и 1524098. Любые мнения, выводы и выводы или рекомендации, выраженные в этом проекте, принадлежат автору и не обязательно отражают точку зрения Национального научного фонда.

Каталожные номера

Бернулли, Дж. (1713). Ar s conjectandi, opus posthumum: accedit Tractatus de seriebus infinitis, et
epistola Gallice scripta de ludo pil reticularis
. Базиль: Impensis Thurnisiorum.

Эйлер, Л. (1740). De summis serierum reciprocarum.{2s+1} \sin(\pi z)\sin(\pi z (\sqrt{2}-1))}=0\,.{2н-1}. $$ Интересно, можно ли это использовать для определения суммы, отличной от положительного целого числа $s$.

Сумма обратных степеней 2

Сумма обратных степеней 2

 




Сумма обратных степеней 2


Это исследование требует альтернативных способов нахождения суммы обратных степеней двойки.   То есть найти S, когда

S — сходящийся бесконечный ряд.Найдите несколько способов показать эту сумму.

Предложения:

A.   Это геометрический ряд со знаменателем меньше 1.   Нужна подсказка?


B.    Показать с прямым доказательством. Нужна подсказка?


C.     В мире есть 10 типов людей — те, кто знает двоичную систему, и те, кто не знает.  

Нужна подсказка?


 

Д.Используйте подобные треугольники. Постройте ряд квадратов рядом друг с другом, каждый последующий квадрат имеет половину длины стороны предыдущего. Пусть AC = 1 , а CD будет равно S.

 

 

Нужна подсказка? (вероятно, нет…)


E. Другое?

 
 

ИНТУИТИВНО Разработайте задания, чтобы помочь учащимся средней школы понять, как эта сумма становится все ближе и ближе к 2 по мере добавления новых терминов.То есть, как тот факт, что эта сумма равна 2 , имеет для них смысл?

Например, справа первые 10 частичных сумм.

Нажмите ЗДЕСЬ, чтобы открыть файл Excel


     В чем ценность знания альтернативных доказательств этой суммы?

 

Возврат



 

 

Видео с вопросами

: Нахождение ряда Маклорена обратной тригонометрической функции

Стенограмма видео

Найдите ряд Маклорена арктангенса из пяти 𝑥.

Нам нужно найти ряд Маклорена для функции арктангенса пяти 𝑥, и есть несколько способов приблизиться к этому. У нас может возникнуть соблазн попытаться сделать это непосредственно из определения ряда Маклорена. И мы помним, что ряд Маклорена для функции 𝑓 от 𝑥 представляет собой сумму от 𝑛, равной нулю, до ∞ 𝑛-й производной от 𝑓 от 𝑥, оцененной в нуле, деленной на 𝑛 факториальных умножений 𝑥 в 𝑛-й степени. Таким образом, чтобы попытаться найти ряд Маклорена непосредственно из определения арктангенса пяти чисел 𝑥, нам нужно начать дифференцировать арктангаж пяти чисел 𝑥.

Итак, если бы мы попытались сделать это, мы бы начали с установки функции 𝑓 от 𝑥 равной арктангенсу пяти 𝑥. Тогда нам нужно было бы различать это. Фактически, мы могли бы сделать это, используя один из наших стандартных результатов обратной тригонометрической производной. Мы знаем, что для любой реальной константы 𝑘 производная арктангенса 𝑘𝑥 по отношению к 𝑥 равна 𝑘, деленная на единицу плюс 𝑘 в квадрате 𝑥 в квадрате. В нашем случае значение 𝑘 равно пяти, поэтому мы получаем, что 𝑓 простое число 𝑥 равно пяти, деленным на один плюс 25𝑥 в квадрате.

Если бы мы затем захотели продолжить нахождение ряда Маклорена, используя этот метод, нам нужно было бы дифференцировать пять, деленное на один, плюс 25 𝑥 в квадрате относительно 𝑥. А это значит, что нам даже нужно будет использовать частное правило, цепное правило или общее правило мощности. Так что, хотя это возможно, мы видим, что это будет становиться все более и более сложным. На самом деле есть более простой способ. Мы можем найти представление степенного ряда пяти, деленного на один плюс 25𝑥 в квадрате, используя то, что мы знаем о бесконечных геометрических рядах.Но тогда этот степенной ряд будет равен 𝑓 простому числу 𝑥. Поэтому, если мы проинтегрируем этот степенной ряд, мы получим представление степенного ряда для арктангенса пяти 𝑥.

Итак, давайте обсудим, как мы это сделаем. Мы знаем, что для вещественных констант 𝑎 и 𝑟, где 𝑎 не равно нулю, если абсолютное значение 𝑟 меньше единицы, то сумма от 𝑛 равна нулю до ∞ из 𝑎, умноженных на 𝑟 в 𝑛-й степени, сходится и равна 𝑎 разделить на один минус 𝑟. Мы также знаем, что если абсолютное значение 𝑟 больше единицы, то этот ряд будет расходящимся.Мы хотим использовать это, чтобы найти представление в виде степенного ряда нашей функции 𝑓 простого числа 𝑥. И мы видим, что 𝑓 простое число 𝑥 уже находится в этой форме. Нам просто нужно установить наше значение 𝑎 равным пяти, а наше значение 𝑟 равным минусу 25𝑥 в квадрате. Затем мы переписали 𝑓 простое число 𝑥 так, чтобы оно равнялось 𝑎, деленному на единицу минус 𝑟.

Теперь, используя то, что мы знаем о бесконечных геометрических рядах, мы можем переписать 𝑓 простое число 𝑥 как сумму от 𝑛, равную нулю до ∞ пяти отрицательных 25𝑥 в квадрате, возведенных в 𝑛-ю степень.Также стоит отметить, что поскольку это был геометрический ряд, мы знаем, что он будет сходиться, когда абсолютное значение отношения меньше единицы, и расходиться, когда абсолютное значение отношения больше единицы. Таким образом, мы могли бы использовать это, чтобы найти радиус сходимости нашего степенного ряда. Однако в этом вопросе мы не обязаны этого делать, поэтому мы можем проигнорировать эту часть нашей работы. Нам просто нужно помнить, что этот степенной ряд будет действителен только для значений 𝑥 внутри нашего радиуса сходимости.

Помните, что мы собираемся интегрировать этот степенной ряд, поэтому мы должны переписать наше слагаемое в форме, которую легко интегрировать. Мы начнем с распределения степени по скобкам. Это дает нам сумму от 𝑛, равной нулю до ∞ пяти умноженных на минус 25, возведенных в 𝑛-ю степень, умноженных на 𝑥 в степени двойки 𝑛. Далее мы упростим отрицательное число 25, возведенное в 𝑛-ю степень, до отрицательного числа, возведенного в 𝑛-ю степень, умноженное на пять в степени двойки 𝑛. Мы можем это сделать, потому что минус 25 — это минус пять в квадрате.Это дает нам сумму от 𝑛, равной нулю до ∞ пяти умноженных на минус единицу в 𝑛-й степени, умноженную на пять в степени двойки 𝑛, умноженную на 𝑥 в степени двойки 𝑛.

Наконец, мы знаем, что пять умножить на пять в степени двойки 𝑛 равно пяти в степени двойки 𝑛 плюс один. Итак, мы показали, что наша функция 𝑓 простое число 𝑥 равно сумме от 𝑛 равной нулю до ∞ отрицательной единицы в 𝑛-й степени, умноженной на пять в степени двойки 𝑛 плюс единица, умноженная на 𝑥 в степени двойки 𝑛, при условии, что этот степенной ряд сходится.И есть еще одна вещь, на которую стоит обратить внимание в этой силовой серии. Это должен быть ряд Маклорена для нашей функции 𝑓 простое число 𝑥. Это связано с тем, что любое представление степенного ряда с центром в точке для функции должно быть равно ее ряду Тейлора с центром в этой точке. И этот степенной ряд имеет центр в нуле, так что это должен быть ряд Маклорена. Теперь мы готовы использовать это, чтобы найти ряд Маклорена для арктангенса пяти 𝑥.

Для начала вспомним, что 𝑓 простое число 𝑥 — это производная от арктангенса пяти 𝑥 относительно 𝑥.Таким образом, арктангенс пяти 𝑥 должен быть равен интегралу от 𝑓 простого числа 𝑥 относительно 𝑥. Теперь, вместо интегрирования 𝑓 простого числа 𝑥, мы будем интегрировать разложение в ряд Маклорена, которое мы нашли для 𝑓 простого числа 𝑥. Это дает нам интеграл от суммы от 𝑛, равной нулю до ∞, от отрицательной единицы в 𝑛-й степени, умноженной на пять в степени двойки 𝑛 плюс один, умноженный на 𝑥 в степени двойки 𝑛 относительно 𝑥. А теперь нам нужно использовать известные нам правила нахождения интеграла степенного ряда.

Мы знаем, что вместо интегрирования степенного ряда мы можем интегрировать почленно почленно, пока мы находимся в радиусе сходимости.Другими словами, у нас есть сумма от 𝑛, равная нулю до ∞ интеграла от отрицательной единицы в 𝑛-й степени, умноженной на пять в степени двойки 𝑛 плюс один, умноженный на 𝑥 в степени двойки 𝑛 относительно 𝑥. И это выглядит довольно сложно. Однако отрицательная единица в 𝑛-й степени, умноженная на пять в степени двойки 𝑛 плюс один, является константой по отношению к 𝑥; если не будет меняться, как меняется 𝑥. Таким образом, единственная часть этого выражения, которая меняется при изменении 𝑥, это 𝑥 в степени двойки 𝑛. И мы знаем, как интегрировать это, используя правило мощности для интеграции.

Но перед тем, как использовать правило степени для интегрирования, стоит проверить, что у нас нет 𝑥 в степени отрицательной единицы. Ну, наши значения 𝑛 начинаются с 𝑛 равно нулю. Таким образом, наши показатели степени 𝑥 больше или равны нулю, поэтому мы можем использовать правило степени для интегрирования всех этих терминов. Итак, мы добавляем единицу к нашим показателям 𝑥, а затем делим на этот новый показатель. Наш показатель степени 𝑥 был равен двум 𝑛. Мы добавляем к этому единицу, чтобы получить два 𝑛 плюс один, поэтому нам нужно разделить на два 𝑛 плюс один.Это дает нам сумму от 𝑛, равной нулю до ∞ отрицательной единицы в 𝑛-й степени, умноженной на пять в степени двойки 𝑛 плюс один, деленный на два 𝑛 плюс один, все умноженное на 𝑥 в степени двойки 𝑛 плюс один.

И помните, нам нужно будет добавить константу интегрирования для каждого из этих терминов. Однако мы можем объединить все это в одну константу интегрирования, которую мы добавляем вне нашего ряда. Итак, теперь у нас есть представление в виде степенного ряда для арктангенса пяти 𝑥 с центром в 𝑥, равном нулю.Мы знаем, что это должна быть серия Маклорена для нашей функции. Осталось только найти значение нашей константы интегрирования 𝐶. Для этого мы заменим 𝑥 равным нулю, потому что мы знаем, что наш степенной ряд должен сходиться для 𝑥 равно нулю.

Подставив 𝑥 равно нулю в это выражение, мы получим арктангенс пяти умноженный на ноль равен сумме от 𝑛 равно нулю до ∞ отрицательной единицы в 𝑛й степени умноженной на пять в степени двойки 𝑛 плюс один деленной на два 𝑛 плюс один, умноженные на ноль в степени двойки 𝑛 плюс один.И затем мы добавляем в этот ряд нашу константу интегрирования, 𝐶. Итак, арктангенс пятикратного нуля — это арктангенс нуля. И мы знаем, что тангенс нуля равен нулю, так что это просто равно нулю.

Далее, чтобы оценить наш ряд, мы замечаем, что каждый член в нашем ряду имеет нулевой коэффициент. Итак, фактически каждый член этого ряда просто равен нулю. Таким образом, правая часть этого уравнения упрощается и дает нам 𝐶. Итак, мы показали, что 𝐶 должно быть равно нулю. Итак, используя тот факт, что 𝐶 равно нулю, и переставив наше слагаемое, мы показали, что арктанге пяти 𝑥 равен сумме от 𝑛 равно нулю до ∞ отрицательной единицы в 𝑛-й степени, умноженной на пять в степени два 𝑛 плюс один, умноженный на 𝑥 в степени двойки 𝑛 плюс один, разделенный на два 𝑛 плюс один.И это, конечно, верно только для значений 𝑥, где этот степенной ряд сходится.

Мы сделаем еще одну вещь, чтобы упростить эту силовую серию. Мы видим, что и пять, и 𝑥 имеют одинаковую степень, поэтому мы объединим это в пять 𝑥, возведенных в степень двойки 𝑛 плюс один. И это дает нам окончательный ответ. Мы смогли показать, что ряд Маклорена арктангенса пяти 𝑥 равен сумме от 𝑛 равной нулю до ∞ отрицательной единицы в 𝑛-й степени, умноженной на пять 𝑥, возведенной в степень двойки 𝑛 плюс один, все делится на два 𝑛 плюс один.

Ряд обратных квадратов: Сумма ряда обратных квадратов (Basel problem)

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.

Пролистать наверх