Золотая спираль фибоначчи: Золотая спираль Фибоначчи в Timing Solution: timing_solution — LiveJournal

Содержание

Спираль Фибоначчи — Uşaq Bilik Portalı

Числа Фибоначчи названы в честь Леонардо Фибоначчи из города Пизы (современная Италия). На самом деле эти числа были известны задолго до Фибоначчи ещё в древней Индии, где они использовались в метрическом стихосложении.


Леонардо Фибоначчи первым ввёл эту числовую последовательность в западноевропейской математической науке в своей важной книге «Liber Abaci» («Книга абака») в 1202 году. Он использовал эту последовательность чисел, когда пытался объяснить рост популяции кроликов.


Числа Фибоначчи и золотое сечение


Как известно, последовательность Фибоначчи начинается с 1 и 1, после чего каждое новое число является результатом сложения двух предыдущих чисел:


1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, …


Если разделить два последовательных числа в этом ряду, например 144/89, в конечном итоге получится число 1,618, которое называется «Золотое число» или «Золотое сечение».


Пропорция золотого сечения считается эстетически приятной и из-за этого многие художники и архитекторы, в том числе Сальвадор Дали и Ле Корбюзье использовали её в своих работах.


Последовательность Фибоначчи и Золотое сечение тесно взаимосвязаны. Отношение последовательных чисел Фибоначчи сходится и приближается к золотому сечению, а выражение замкнутой формулы для последовательности Фибоначчи включает Золотое сечение.


Спираль Фибоначчи или золотая спираль — это последовательность соединенных четвертей окружностей, вписанных внутри массивов квадратов со сторонами равными числам Фибоначчи. Квадраты идеально подходят друг к другу из-за природы последовательности Фибоначчи, в которой следующее число равно сумме двух перед ним (см.предыдущий рисунок). Любые два последовательных числа Фибоначчи имеют отношение, очень близкое к золотому сечению, которое составляет примерно 1.618034. Чем больше пара чисел Фибоначчи, тем ближе это приближение. Спираль и результирующий прямоугольник называются золотым прямоугольником.


Числа Фибоначчи описывают различные явления в искусстве, музыке и природе. Числа спиралей на большинстве шишек и ананасах равны числам Фибоначчи. Расположение листьев и ветвей на стеблях многих растений соответствуют числам Фибоначчи. На пианино количество белых (8) клавиш и черных (5) клавиш в каждой октаве (13) являются числами Фибоначчи. Длины и ширины много прямоугольных предметов, таких как учетные карточки, окна, игральные карты и пр. соответствуют последовательным числам ряда Фибоначчи.


Числа Фибоначчи в природе


Подсолнухи являются отличными примерами последовательности Фибоначчи, потому что семена в центре цветка организованы в два набора спиралей — короткие, идущие по часовой стрелке от центра, и более длинные — против часовой стрелки. Если считать спирали последовательно, то, видимо, всегда найдутся числа Фибоначчи.


Последовательность Фибоначчи можно также увидеть в форме или разделении ветвей дерева. Основной ствол будет расти до тех пор, пока он не создаст ветвь, которая создает две точки роста. Затем один из новых стеблей разветвляется на два, в то время как другой находится в состоянии покоя. Такая картина ветвления повторяется для каждого из новых стеблей. Корневая система и даже водоросли также демонстрируют эту закономерность.


Неудивительно, что спиральные галактики также следуют знакомой схеме Фибоначчи. Млечный Путь имеет несколько спиральных рукавов, каждый из которых представляет логарифмическую спираль около 12 градусов.


Числа Фибоначчи в теле человека


Есть много примеров соотношений частей тела человека на основе последовательности Фибоначчи, например рука и, в частности, кости пальца.


Каждая кость указательного пальца, от кончика до основания запястья, больше предыдущей примерно на коэффициент Фибоначчи 1,618, что соответствует числам Фибоначчи 2, 3, 5 и 8.


Имеется много примеров, когда последовательность Фибоначчи появляется вокруг нас, и мы не обращаем внимания на это математическое чудо, которое кажется таинственным фактором, приносящим универсальную форму гармонии элементам математического музыкального искусства природы.

 

19.10.2020

«Золотая спираль»

«Тот, кто придерживается золотой середины, избежит и нищеты лачуг, и зависти дворцов»
(Цитата древнеримского поэта)

Форма «Золотой спирали»

Структура «Золотой спирали» символизирует две хорошо известные в сакральной геометрии фигуры: спираль Золотого сечения (фи) и спираль Фибоначчи. Она основана на форме круга на поле, известного как “Hackpen Hill Formation” («Образование у Хэкпен-Хилл»), который появился на пшеничном поле в Англии в 1999 году.

Фи (золотое сечение) – «ключ к физике космоса» (Платон)

Фи – это постоянная, влияние которой даже более глубоко и загадочно, чем пи. Как и число пи, фи – это число, не имеющее математического решения. Знаки после запятой просто продолжаются до бесконечности, не повторяясь. Особенность этого числа в том, что его можно найти во всех известных органических структурах. Пропорция фи есть везде, от строения костей человека до спирального расположения семян подсолнуха и завитков раковин моллюсков, она лежит в основе всех биологических структур и кажется геометрической схемой самой жизни.
Платон называл пропорцию фи «ключом к физике космоса». Число фи – 1,6180339+, и, хотя у него нет арифметического решения, его можно легко получить при помощи циркуля и угольника.

Как найти золотое сечение

Вот два простых метода вычисления золотого сечения.
Первый метод
Если взять два одинаковых квадрата и поставить сторона к стороне, получится прямоугольник 1х2. Разделите один из квадратов пополам и проведите диагональ в полученном прямоугольнике (с соотношением сторон 1х0.5). Сумма длины этой диагонали и короткой стороны малого прямоугольника будет равна фи, 1,6180339+, если принять сторону квадрата за 1. (Эта формула точно описывает пол Камеры Царя в Великой пирамиде).
Второй метод
Второй метод нахождения золотого сечения – разделение отрезка АВ в точке С так, чтобы весь отрезок целиком был длиннее его первой части в той же пропорции, в какой первая часть длиннее остатка. АВ/АС=АС/СВ=1,6180339+ (обратите внимание на фрактальную и голографическую природу этого соотношения…)

Золотое сечение в архитектуре

Пропорция фи присутствует в архитектуре Великой пирамиды, в треугольнике, возникающем из высоты, половины основания и апофемы, то есть диагонали. Другими словами, основное сечение пирамиды дает нам золотое сечение. Если принять длину половины основания за 1, длина апофемы даст нам фи, а высота – квадратный корень из фи. Золотое сечение снова и снова встречается в Гизе и часто оказывается сложным и сбивающим с толку (о геометрии постройки Великой пирамиды написаны целые тома).

Ряд Фибоначчи и золотое сечение

Существует математическая прогрессия, известная как ряд Фибоначчи, и она имеет особое отношение к числу фи и пирамидам в Гизе. Принципы этого ряда впервые изложил средневековый математик Леонардо Фибоначчи. Этот ряд использовали для описания роста растений. Вот эта последовательность: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 и так далее. Для того, чтобы получить каждое следующее число в этом ряду, надо сложить два предыдущих: 1+1=2, 1+2=3, 2+3=5, 3+5=8, 5+8=13 и так далее. 

У этой последовательности очень интересное соотношение с числом фи: если разделить каждый член этого ряда на предыдущий, полученные результаты будут стремиться к трансцендентному числу 1,6180339+. (Я не заставлю вас проводить эти расчеты. Просто смотрите…)
1/1=1 2/1=2 3/2=1.5 5/3=1.66 13/8=1.625 21/13=1.615 34/21=1.619 55/34=1.617 89/55=1.6181
Чем дальше вы будете продолжать считать, тем ближе будете подходить к числу фи. Конечно, вы никогда не дойдете до него, потому что у него нет арифметического решения, но вы будете бесконечно приближаться к нему.
Эту последовательность можно изобразить графически, в виде так называемой спирали Фибоначчи. Эта спираль почти идентична логарифмической спирали фи, известной как спираль золотого сечения. Разница заключается в том, что спираль Фибоначчи – это интерпретация (при помощи целых чисел) арифметически невозможной спирали золотого сечения, у которой нет ни конца, ни начала. У спирали Фибоначчи есть определенное начало.

Спираль Фибоначчи и пирамиды в Гизе

Фотосъемка с воздуха показывает, что пирамиды в Гизе расположены на линии, четко соответствующей спирали Фибоначчи. Эта спираль проходит прямо через середину каждой из пирамид.

золотая спираль — это… Что такое золотая спираль?

золотая спираль
мат. golden spiral

Большой англо-русский и русско-английский словарь. 2001.

  • золотая середина
  • золотая точка

Смотреть что такое «золотая спираль» в других словарях:

  • Спираль — Архимедова спираль …   Википедия

  • Золотая пропорция — Вырезав квадрат со стороной а из прямоугольника, построенного по принципу золотого сечения, мы получаем новый, уменьшенный прямоугольник с тем же свойством Золотое сечение (золотая пропорция, деление в крайнем и среднем отношении, гармоническое… …   Википедия

  • Фибоначчи — (Fibonacci) Фибоначчи первый крупный математик средневековой Европы Десятичная система счисления, арабские цифры, числа, последовательность, уровни, ряд, линии и спираль Фибоначчи Содержание >>>>>>>>> …   Энциклопедия инвестора

  • Флаг Коркино — Флаг Коркинского городского поселения Коркино Коркинский район Челябинская область Россия …   Википедия

  • СОЗВЕЗДИЕ — группа звезд, названная в честь религиозного или мифического персонажа либо животного, либо в честь какого либо примечательного объекта древности или современности. Созвездия это своеобразные памятники древней культуры человека, его мифологии,… …   Энциклопедия Кольера

  • Часы прибор для измерения времени — Содержание: 1) Исторический очерк развития часовых механизмов: а) солнечные Ч., b) водяные Ч., с) песочные Ч., d) колесные Ч. 2) Общие сведения. 3) Описание астрономических Ч. 4.) Маятник, его компенсация. 5) Конструкции спусков Ч. 6) Хронометры …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • Часы — Содержание. 1) Исторический очерк развития часовых механизмов: а) солнечные Ч., b) водяные Ч., с) песочные Ч., d) колесные Ч. 2) Общие сведения. 3) Описание астрономических Ч. 4.) Маятник, его компенсация. 5) Конструкции спусков Ч. 6) Хронометры …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • Культура Воронежа — Воронеж является культурным центром Воронежской области. В городе развивается театральное искусство, для воронежцев и гостей города работают много музеев, библиотек, выставочных залов, дворцов культуры и клубов. В городе действуют 5 кинотеатров,… …   Википедия

  • Математика гармонии — Эта статья предлагается к удалению. Пояснение причин и соответствующее обсуждение вы можете найти на странице Википедия:К удалению/22 ноября 2012. Пока процесс обсуждени …   Википедия

  • Занусси — Занусси, Кшиштоф Кшиштоф Занусси Krzysztof Zanussi Кшиштоф Занусси (2010) Дата рождения …   Википедия

  • Занусси Кшиштоф — Кшиштоф Занусси Krzysztof Zanussi Кшиштоф Занусси (2007) Дата рождения: 17 июня 1939 (69 лет)(19390617) …   Википедия

Числа Фибоначчи. Золотой прямоугольник и спираль Архимеда

3. Ряд чисел Фибоначчи

Связь ряда Фибоначчи с золотым сечением была впервые установлена И. Кеплером.


Ряд чисел 1,1,2,3,5,8,13,21,34,34,55,89,144,233,377… известен как ряд Фибоначчи. Это последовательность натуральных чисел, каждый член которой, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих членов.

Ее описал в 1202 году итальянский купец и математик Леонардо из Пизы по прозвищу Фибоначчи. С тех пор такая последовательность чисел называется рядом Фибоначчи, а ее члены-числами Фибоначчи.

Отношение смежных чисел ряда приближается к отношению золотого деления,так 21:34=0,617, а 34:55=0,618.

Золотое сечение в живописи


Последовательность Фибоначчи тесно связана с определением спирали Архимеда.

Спираль Архимеда – спираль с равномерным увеличением шага и витка. Рассмотрим «золотой прямоугольник».

4. «Золотой прямоугольник»


Как видим, части в нем располагаются согласно вышеупомянутой последовательности. К тому же, если провести линии через углы этих квадратов в порядке возрастания, то мы получим не что иное, как уже известную спираль Архимеда.

5. Спираль Архимеда

В природе существует множество примеров того, как гармонично может воплощаться последовательность Фибоначчи. (Семена подсолнуха, сосновые шишки, ячейки ананаса, лепестки цветка). Приложение 3.

Каждый рисующий определяет отношение величин и отличает среди них «золотое сечение».

Приступая к новой работе, каждый художник начинает всегда с того, что мысленно пытается определить на холсте ту основную точку, куда должны стягиваться все сюжетные линии картины.

Эта же точка-главная и смысловая-должна присутствовать и в фотографии, как бы разворачивая действие вокруг главного объекта в кадре, поэтому скульпторы, архитекторы, художники использовали и используют их в своих произведениях.

Пропорции «золотого сечения» создают впечатление гармонии красоты (приложение 4).

Переходя к примерам «золотого сечения» в живописи, нельзя не остановить внимания на портрете Моны Лизы (Джоконды) Леонардо да Винчи. Его личность одна из загадок истории.

Сам Леонардо да Винчи говорил: «Пусть никто, не будучи математиком, не дерзнет читать мои труды».

Портрет Моны Лизы долгие годы привлекает внимание исследователей, которые обнаружили, что композиция рисунка основана на золотых треугольниках.

Все исследователи сходятся в том. Что именно золотое сечение и есть главная причина красоты женского лица.

Перейти к разделу: 6. Золотое сечение в фотографии и правило третей

Что такое золотое сечение и правда ли оно повсюду

Что такое золотое сечение

Это соотношение двух неравных чисел, при котором большее так же относится к меньшему, как сумма этих чисел к большему. Золотое сечение равно примерно 1,618, или 1,62, если округлить, и обозначается греческой буквой φ, «фи» — от имени древнегреческого скульптора Фидия. Считается, что он использовал такие пропорции при оформлении Парфенона.

Наиболее известные графические представления золотого сечения — это прямоугольник с соотношением сторон примерно 62:48 и построенная в нём спираль.

«Золотой прямоугольник» можно разделить на такие же, только меньшего размера. Изображение: Dicklyon / Wikimedia Commons

«Золотая спираль» (красная), вписанная в «золотой прямоугольник». Изображение: Silverhammermba & Jahobr / Wikimedia Commons

Золотое сечение тесно связано с числами Фибоначчи. Это ряд чисел, каждое из которых равняется сумме двух предыдущих: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 и так далее. Чем дальше продолжается этот ряд, тем ближе соотношение соседних чисел в нём к 1,618. Например, 3/2=1,5; 8/5=1,6, а 34/21= 1,619.

Почему золотое сечение так популярно

Впервые им заинтересовались ещё древнегреческие математики Пифагор и Евклид. Они считали, что на числах построено всё мироздание и с их помощью можно объяснить любой феномен. Неудивительно, что элегантное соотношение так заинтересовало античных мыслителей.

Вслед за ними золотым сечением увлеклись многие выдающиеся учёные и деятели искусства. Например, Леонардо да Винчи, Альбрехт Дюрер, Иоганн Кеплер, Ле Корбюзье, Сальвадор Дали и Ричард Пенроуз.

Его считают «божественной пропорцией»

Название «золотое сечение» придумал немецкий математик XIX века Мартин Ом. До него это соотношение именовали «божественной пропорцией».

Из‑за приписываемых характеристик золотое сечение старались применять как можно чаще. Так, во времена Возрождения это число считалось идеальным способом для выбора размера. «Золотой прямоугольник», например, нередко использовали при создании книг и картин. А линию пояса называли границей золотого сечения человеческого тела.

Некоторые и поныне считают эту пропорцию секретом привлекательности и примером универсальной гармонии, приятной человеческому глазу. Например, о золотом сечении любят говорить пластические хирурги. А ещё это число популярно как никакое другое в математике.

Его можно встретить в природе

Числа Фибоначчи и спирали, подобные золотому сечению, часто обнаруживаются в природе. Например, в количестве лепестков у цветов или форме растений.

Часть растения эониума. Фото: Max Ronnersjö / Wikimedia Commons

Его обнаруживают в произведениях архитектуры и искусства

Например, «божественные пропорции» находят в Парфеноне и египетских пирамидах. Также широко распространено заблуждение, что «Мона Лиза» написана в соответствии с числом φ.

Почему универсальность золотого сечения — миф

Однако при тщательном изучении становится понятно, что эта пропорция не так уж всеобъемлюща.

Божественность золотого сечения преувеличивается

Золотому сечению придают больше значения, чем есть в действительности. Красивые узоры и налёт таинственности сделали из обычного геометрического соотношения математический миф, который, к примеру, очень любят нумерологи.

Чаще всего вещи причисляют к золотому сечению с большими допущениями. Ни о какой точности и математической универсальности в таком случае говорить не приходится. Поэтому при желании можно обнаружить «божественные пропорции» где угодно.

В природе золотое сечение не так уж распространено

Его находят далеко не везде. Например, у маков всегда четыре лепестка, а в ряд Фибоначчи четвёрка не входит. Также нередко встречается четырёхлистный клевер. Раковины морских моллюсков похожи на спираль золотого сечения, но всё-таки другие . У них больше витков, и расстояние между ними меньше. Ни у одного моллюска коэффициент скручивания раковины и близко не равен 1,62. Это видно даже невооружённым глазом:

Спираль морского моллюска. Изображение: Florian Elias Rieser / Wikimedia Commons

Спираль Фибоначчи, близкая к золотому сечению. Изображение: Jahobr / Wikimedia Commons

В человеческом теле же столько точек, от которых можно производить измерение, что при желании реально найти золотое сечение где угодно. Вот только с большой вероятностью у разных людей «божественную пропорцию» придётся искать в разных местах, так как мы можем сильно отличаться друг от друга.

В искусстве оно тоже встречается не так уж часто

Изучение 565 картин выдающихся художников показало , что в среднем соотношение сторон в работах составляет 1,34. Это явно не дотягивает до золотого сечения. Учёные не находят его даже в произведениях Леонардо да Винчи.

Археологические исследования не подтверждают и того, что древние греки могли использовать золотое сечение при постройке Парфенона. Из более чем 100 памятников древнегреческой архитектуры это число нашлось в пропорциях только четырёх объектов: башни, алтаря, гробницы и надгробия. Не могли пользоваться золотым сечением и древние египтяне, не обладавшие достаточным уровнем технологий, чтобы точно высчитывать пропорции.

Кому золотое сечение может быть полезно на самом деле

Современная математика использует золотое сечение и числа Фибоначчи при описании фракталов — фигур, которые проявляют самоподобие.

Фрактальная форма кочана капусты Романеско. Фото: Ivar Leidus / Wikimedia Commons

Знание о числе φ играет важную роль в изучении хаоса и изменяющихся (динамических) систем. Оно помогает понять, как природа развивается и самоорганизуется.

Также числа Фибоначчи полезны при решении некоторых сложных задач. Например, с помощью этих чисел советский математик Юрий Матиясевич доказал , что не существует универсального алгоритма решения уравнений с как минимум двумя неизвестными.

Читайте также 💆‍♂️👩‍🔬

Золотая спираль — Вики

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Спираль Дюрера и золотая спираль, вписанные в последовательность вложенных друг в друга золотых прямоугольников: зелёная спираль — спираль Дюрера — составлена из четвертинок окружностей внутри квадратов, в то время как красная спираль является золотой спиралью, особым видом логарифмической спирали. Перекрывающиеся секции показаны жёлтым цветом. Длина части спирали внутри большего квадрата находится к длине спирали внутри следующего квадрата в золотой пропорции

Золотая спираль или спираль Фибоначчи — логарифмическая спираль, коэффициент роста которой равен φ4, где φ — золотое сечение. Коэффициент роста логарифмической спирали показывает во сколько раз изменился полярный радиус спирали при повороте на угол 360°.[1] Свое название эта спираль получила из-за связи с последовательностью вложенных друг в друга прямоугольников с отношением сторон, равным φ, которые принято называть золотыми. Золотую спираль можно как вписать в систему таких прямоугольников, так и описать вокруг нее. Популярность золотая спираль приобрела из-за того, что известная с начала XVI века и применяющаяся в искусстве[2] спираль, построенная по методу Дюрера[3][4], оказалась хорошей аппроксимацией для золотой спирали (см. рисунок)

Формула

Спираль Фибоначчи аппроксимирует золотую спираль с использованием четвертинок окружности в квадратах с размерами квадратов, равных числам Фибоначчи. На рисунке показаны квадраты с размерами 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21.

Уравнение для золотой спирали в полярной системе координат то же самое, что и для других логарифмических спиралей, но со специальным значением коэффициента роста — φ4:

r=aφ±2θπ{\displaystyle r=a\varphi ^{\pm {\frac {2\theta }{\pi }}}},

где a — произвольная положительная вещественная константа, а φ=5+12{\displaystyle \varphi ={\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}} — золотое сечение.{\circ }}.

Приближения золотой спирали

Литовская монета

Существует несколько похожих спиралей, которые близки, но не совпадают в точности с золотой спиралью[5], с которой их часто путают.

Как уже было написано выше, при вписывании золотой спирали в последовательность вложенных друг в друга золотых прямоугольников, она аппроксимируется спиралью, построенной по методу Дюрера. Золотой прямоугольник можно разделить на квадрат и подобный ему прямоугольник, его, в свою очередь, разделить тем же образом, и продолжать этот процесс произвольное число раз. Если в эти квадраты вписать соединенные между собой четвертинки окружностей, то получается спираль, изображенная на первом рисунке.

Ещё одной аппроксимацией является спираль Фибоначчи, которая строится подобно вышеописанной спирали, за исключением того, что начинают с прямоугольника из двух квадратов и добавляют потом к большей стороне прямоугольника квадрат такой же длины. Поскольку отношение между соседними числами Фибоначчи стремится к золотой пропорции, спираль всё больше приближается к золотой спирали по мере добавления квадратов (см. второй рисунок).

Спирали в природе

В природе встречаются приближения к логарифмическим спиралям с коэффициентом роста равным φk. Так раковины моллюсков Nautilus pompilius и окаменелых аммонитов хорошо описываются при k = 2, а раковины некоторых улиток при k = 1.[6] Отношение длин трех витков спирали уха у человека равно φ[7], что соответствует спирали с k = 1. Рукава спиральных галактик, несмотря на существующие утверждения[8], если и описываются логарифмической, то не золотой спиралью. В данном случае, описание ею является проявлением случайной близости. Недавний анализ спиралей, встречающихся в роговичном эпителии мышей, показал, что там встречаются как золотая, так и другие логарифмические спирали.[9]

См. также

Примечания

  1. ↑ Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. М.: Наука, 1977, с. 884.
  2. ↑ Прохоров А. Золотая спираль, Квант, 1984, №9.
  3. ↑ Аракелян. Г. Математика и история золотого сечения, М.: Логос, 2014, с. 50.
  4. ↑ Albrecht Durer (1525): Unterweysung der Messung mit dem Zirkel und Richtscheyt, in Linien Ebnen und gantzen Corporen. Verlag Dr. Alfons Uhl (Reprint 2000), Nordlingen, ISBN 3 921503 65 5 (Engl. Transl.: The Painter’s Manual, Abaris Books, New York 1977).
  5. ↑ Madden, 1999, с. 14–16.
  6. ↑ А.Н. Ковалев, Еще раз о золотых спиралях // Академия Тринитаризма, М., Эл № 77-6567, публ.23545, 13.07.2017 http://www.trinitas.ru/rus/doc/0016/001f/3352-kv.pdf
  7. Петухов С. В. Матричная генетика, алгебры генетического кода, помехоустойчивость. — Москва: Регулярная и хаотическая динамика, 2008. — С. 107.
  8. ↑ Gazale, 1999, с. 3.
  9. ↑ Rhee, 2015, с. 22–38.

Литература

  • David Darling. The Universal Book of Mathematics: From Abracadabra to Zeno’s Paradoxes. — John Wiley & Sons, 2004. — ISBN 9780471270478.
  • Ivars Peterson. Sea Shell Spirals. — Society for Science & the Public, 2005-04-01.
  • Keith Devlin. The myth that will not go away. — May 2007.
  • Jerry Rhee, Talisa Mohammad Nejad , Olivier Comets, Sean Flannery, Eine Begum Gulsoy, Philip Iannaccone , Craig Foster. Promoting convergence: The Phi spiral in abduction of mouse corneal behaviors // Complexity. — 2015. — Т. 20, вып. 3. — С. 22–38. — doi:10.1002/cplx.21562.
  • Midhat Gazale. Gnomon: From Pharaohs to Fractals. — Princeton University Press, 1999. — ISBN 9780691005140.
  • Charles B. Madden. Fractals in Music: introductory mathematics for musical analysis. — High Art Press, 1999. — ISBN 0-9671727-6-4.
  • Klaus Mainzer. Symmetries of Nature: A Handbook for Philosophy of Nature and Science. — Walter de Gruyter, 1996. — ISBN 3-11-012990-6.
  • Priya Hemenway. Divine Proportion: Φ Phi in Art, Nature, and Science. — Sterling Publishing Co, 2005. — ISBN 1-4027-3522-7.

Числа фибоначчи (1) — Исследовательская работа

Управление образования администрации г. Новочебоксарск

МОУ «Основная общеобразовательная школа № 1 имени Бабакина Г.О.»

Исследовательская работа

Числа Фибоначчи

Выполнил: Андреев Денис ученик 8 «А» класса

Руководитель: Майорова А.А.

учитель математики и информатики

г. Новочебоксарск

2009

Содержание

Введение 3

1. Теоретическое обоснование темы 4

    1. Определения последовательности чисел и спиралей 4

    2. Виды спиралей 5

      1. Прямолинейные ломанные спирали 5

      2. Криволинейные спирали 7

    3. Числа Фибоначчи 8

2. Практическая часть 8

2.1 Спираль Архимеда 8

2.2 Трёхмерная спираль 9

2.3. Числа Фибоначчи 10

3. Золотая спираль в природе 11

3.1 Золотой прямоугольник 13

3.2 Золотая спираль 14

4. Заключение 15

5. Литература 16

Приложение 1. Трёхмерная спираль 17

Приложение 2. Золотая спираль 18

Приложение 3. Примеры спиралей встречающихся

в природе и технике 19

Введение

Математика (греческое mathematike, от mathema – наука), наука, в которой изучаются пространственные формы и количественные отношения.

Математика включает в себя алгебру и геометрия. Раздел геометрии, в котором свойства геометрических образов (точек, линий, поверхностей) устанавливаются средствами алгебры, называется аналитической геометрией. Аналитической геометрией пользовался Ж. Лагранж при построении аналитической механики и Г. Монж в дифференциальной геометрии. В настоящее время аналитическая геометрия не имеет самостоятельного значения как наука, однако её методы широко применяются в различных разделах математики, механики, физики и других наук.

Объект исследования:

раздел математики – «Аналитическая геометрия».

Предмет исследования: числа Фибоначчи,

спирали,.

Цель исследования:

 изучить виды спиралей, возможность их построения с помощью числовой последовательности; э

кспериментальное получение спиралей.

Гипотеза исследования:

последовательности чисел можно применять для описания некоторых видов спиралей, что позволяет эффективно подготовиться к изучению понятия «Последовательности» и раздела математики «Аналитическая геометрия».

 В соответствии с поставленной целью и выдвинутой гипотезой были определены частные

задачи исследования:

  1. Изучить литературу по данной теме.

  2. Изобразить прямолинейные ломанные спирали на треугольной, шестиугольной и квадратной сетках.

  3. Рассмотреть различные последовательности чисел, которые описывают самопересекающиеся и криволинейные спирали.

  4. Провести эксперименты по получению спирали Архимеда, трёхмерной спирали.

  5. Найти примеры спиралей, встречающихся в природе и жизни человека.

Методы исследования:

  1. Теоретический – аксиоматический метод.

  2. Эмпирический – эксперимент и сравнение.

1. Теоретическое обоснование темы

1.1. Определения последовательности чисел и спиралей

Числовая последовательность – это числовая функция f , заданная на множестве N натуральных чисел [1].

Например:

1) баллы, которыми учитель оценивает знания ученика, можно представить последовательностью из пяти чисел: 1, 2, 3, 4, 5;

2) средняя скорость приземного ветра (в м/с) в городе Ачинске с 22 по 29 января 2007 года, может быть представлена последовательностью из восьми чисел: 4, 3, 3, 6, 3, 6, 4, 3.

3) средняя скорость ветра (в м/с) по направлениям частей света (С, СВ, В, ЮВ, Ю, ЮЗ, З, СЗ) в городе Новочебоксарск, в июле месяце, можно представить последовательностью из восьми чисел: 2,8; 3; 3,3; 2,8; 3; 3,2; 3,3; 3,1;

4) если считать, что человек бессмертен, то его возраст от рождения можно представить числовой последовательностью: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, … .

Любые записанные подряд n чисел (среди которых могут быть и повторяющиеся) образуют числовую последовательность длины n. Ее обозначают а1, а2, …, аn. Т.е. каждое число последовательностей снабжено номером, соответствующим тому месту, которое оно занимает в записи числовой последовательности. Число аk , записанное на kм месте, называют k-м членом этой последовательности. Например, на 5-м месте, в примере 2, находится число 3, поэтому а5 = 3. Число записанное на n-м месте, т.е. аn, называют обычно общим членом последовательности.

Последовательность чисел занумерованных конечным отрезком (примеры 1, 2, 3) натуральных чисел называется конечной числовой последовательностью, а занумерованных в семи натуральными числами (пример 4) – бесконечной [1].

Бесконечная числовая последовательность считается заданной, если известно правило, по которому для любого n можно найти значение n-го члена последовательности, т.е. если задан ее общий член.

Таким образом, задать последовательность – это значит задать некоторую функцию на множестве натуральных чисел.

Последовательности чисел можно описать с помощью спирали, например 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, … Каждое из этих чисел показывает расстояние, проходимое по линии квадратной, треугольной, шестиугольной сетки до очередного поворота; каждый поворот делается против хода часовой стрелки [4].

Спираль – это кривая, которая огибает некоторую центральную точку или ось, постепенно приближаясь или удаляясь от нее, в зависимости от направления обхода кривой [2].

Примеры спиралей, встречающихся в природе и жизни человека, даны в Приложении 4.

1.2. Виды спиралей

1.2.1. Прямолинейные ломанные спирали

Я записал периодически повторяющуюся числовую последовательность и решил изобразить их на тетрадном листе в клеточку.

П
ример 1.
Числовая последовательность: 2, 1, 3, 2, 4, 3, 5, 4, 6, 5, 7, 6, 8 …

Вид спирали:

Другую конечную числовую последовательность я решил построить на треугольной сетке.

Пример 2. Числовая последовательность: 5, 3, 4, 2, 3, 1, 2.

Вид спирали:

Следующую числовую поверхность я изобразил на шестиугольной сетке.

Пример 3. Числовая последовательность: 1, 1, 4, 3, 4, 5, 6, 7, 6, 9, 8, …

В
ид спирали:

А что получится, если одну и ту же последовательность чисел изобразить на разных сетках.

П
ример 4.
Я взял последовательность чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, … и изобразил ее на прямоугольной, треугольной и шестиугольной сетках:

а) прямоугольная сетка

б) треугольная сетка

в
) шестиугольная сетка

Я определил сходство и различия построенных изображений:

— три спирали имеют одинаковую числовую последовательность;

— спирали на треугольной и шестиугольной сетках наклонены по отношению к спирали на прямоугольной сетке на 600 против хода часовой стрелки;

— спираль на шестиугольной сетке не состоит из прямых линий, в отличие от спиралей на прямоугольной и треугольной сетках.

1.2.2. Криволинейные спирали

В
иды криволинейных спиралей [3]:

Один из способов начертить криволинейную спираль – использовать линии компаса или часового циферблата, откладывая от центра по соответствующим направлениям величины, например в миллиметрах [4]. Я использовал эти способы и определил вид полученных спиралей.

  1. Числа Фибоначчи

Последовательность чисел Фибоначчи была открыта (на самом деле, повторно) Леонардо Фибоначчи де Пиза, математиком тринадцатого века. Когда Эллиотт описывал свою теорию, он, в частности, ссылался на последовательность Фибоначчи, как математическую основу Закона волн [9]. В последовательности Фибоначчи: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233…, сумма любых чисел, расположенных рядом, дает следующее число.

Если рассмотреть сосновые шишки, цветки подсолнуха, колючки ананаса, то можно увидеть, что у них есть спирали идущие по часовой стрелке и против часовой стрелки. При этом количество спиралей будут соседними числами последовательности Фибоначчи. Например, у ананаса 8 и 13, у подсолнуха 21 и 34, у сосновой шишки 5 и 8.


Решетчатое расположение листьев, семян, лепестков и чешуек многих видов растений называется филлотаксисом. Это свойство я использовал на практике.


2. Практическая часть

2.1. Спираль Архимеда

Спираль Архимеда – это плоская кривая, описываемая точкой, равномерно движущейся по прямой, в то время как эта прямая равномерно вращается в плоскости вокруг одной из своих точек.

Наглядно представить спираль Архимеда можно следующим образом: представим, что по радиусу равномерно вращающегося диска с постоянной скоростью ползет муха. Траектория движения мухи будет спиралью Архимеда [5].

Для проведения эксперимента я взял цилиндр и закрепил его на листе бумаги, лежащем на столе. Намотал на этот цилиндр нить. На конце этой нити сделал петлю, вставил в нее карандаш и, натягивая нить, смотал ее с цилиндра. Конец карандаша на листе бумаги описал спираль.

Из проведённых экспериментов я выявил, что расстояние между витками зависит от диаметра, с которого сматывается или наматывается нить. Чем меньше диаметр, тем меньше расстояние между витками, а отношение диаметра цилиндра к расстоянию между витками  0,3:

№ спирали

Диаметр цилиндра, d

(мм)

Расстояние между витками, h

(мм)

Отношение

d/h

1

12

43

0,28  0,3

2

22

83

0,27  0,3

3

42,5

142

0,299  0,3

Результаты эксперимента представлены в Приложении 1.

2.2. Трехмерная спираль

Трехмерную спираль я «сконструировал» следующим образом [6]. Вырезал из бумаги прямоугольный треугольник ( АВС). Взял круговой цилиндр и приклеим к его поверхности треугольник АВС по катету ВС так, чтобы этот катет совпадал с образующей цилиндрической поверхности. Затем обернул бумажным треугольником цилиндр, плотно прижимая бумагу к поверхности цилиндра; при этом гипотенуза АВ превратилась в трехмерную спираль. Возможны два варианта оборачивания треугольника вокруг цилиндра. Один вариант соответствует левой, а другой правой спирали.

Результаты эксперимента представлены в Приложении 1.

2.3. Числа Фибоначчи

Я сконструировал устройство для моделирования расположения листьев (семян, лепестков, чешуек) в растениях [8]. Для этого из плотного листа бумаги свернул трубу, на поверхность которой нанесена вертикальная градусная разметка. По спирали, как показано на рисунке, сделал отверстия, в которые вставил «листья».

На цилиндре из листа формата А4 с сеткой 1см  1 см я нашел три направления спиралей. Их количество 5, 8 и 13. Эти числа являются соседними числами Фибоначчи.

На цилиндре из листа формата А3 с сеткой 0,5 см  0,5 см я выявил также три направления спиралей. Их количество 13, 21 и 34. Эти числа опять же являются соседними числами Фибоначчи.

Результаты эксперимента представлены в Приложении 2.

3. Золотая пропорция в природе.

Просто удивительно, сколько постоянных можно вычислить пpи помощи последовательности Фибоначчи, и как ее члены проявляются в огромном количестве сочетаний. Однако не будет преувеличением сказать, что это не просто игра с числами, а самое важное математическое выражение природных явлений из всех когда-либо открытых. Приводимые ниже примеры показывают некоторые интересные приложения этой математической последовательности.

  1. П
    рирода
    . Раковина закручена по спирали. Если ее развернуть, то получается длина, немного уступающая длине змеи. Небольшая десятисантиметровая раковина имеет спираль длиной 35. Спирали очень распространены в природе.

ОБ:ОА=ОВ:ОБ=ОГ:ОВ=…=1.618

(ОБ+ОГ)ОВ+ОА)=…=1.618

Еще Гете подчеркивал тенденцию природы к спиральности. Винтообразное и спиралевидное расположение листьев на ветках деревьев подметили давно. Спираль увидели в расположении семян подсолнечника, в шишках сосны, ананасах, кактусах и т.д. Совместная работа ботаников и математиков пролила свет на эти удивительные явления природы. Выяснилось, что в расположении листьев на ветке семян подсолнечника, шишек сосны проявляет себя ряд Фибоначчи, а стало быть, проявляет себя закон золотого сечения. Паук плетет паутину спиралеобразно. Cпиралью закручивается ураган. Испуганное стадо северных оленей разбегается по спирали. Молекула ДНK закручена двойной спиралью. Гете называл спираль «кривой жизни».

Cреди придорожных трав растет ничем не примечательное растение – цикорий. Приглядимся к нему внимательно. От основного стебля образовался отросток. Тут же расположился первый листок.

Отросток делает сильный выброс в пространство, останавливается, выпускает листок, но уже короче первого, снова делает выброс в пространство, но уже меньшей силы, выпускает листок еще меньшего размера и снова выброс. Если первый выброс принять за 100 единиц, то второй равен 62 единицам, третий – 38, четвертый – 24 и т.д. Длина лепестков тоже подчинена золотой пропорции. В росте, завоевании пространства растение сохраняло определенные пропорции. Импульсы его роста постепенно уменьшались в пропорции золотого сечения.

В ящерице с первого взгляда улавливаются приятные для нашего глаза пропорции – длина ее хвоста так относится к длине остального тела, как 62 к 38.

И в растительном, и в животном мире настойчиво пробивается формообразующая тенденция природы – симметрия относительно направления роста и движения. Здесь золотое сечение проявляется в пропорциях частей перпендикулярно к направлению роста.

Яйцо птицы

  1. Человеческое тело.

Цейзинг проделал колоссальную работу. Он измерил около двух тысяч человеческих тел и пришел к выводу, что золотое сечение выражает средний статистический закон. Деление тела точкой пупа – важнейший показатель золотого сечения. Пропорции мужского тела колеблются в пределах среднего отношения 13 : 8 = 1,625 и несколько ближе подходят к золотому сечению, чем пропорции женского тела, в отношении которого среднее значение пропорции выражается в соотношении 8 : 5 = 1,6. У новорожденного пропорция составляет отношение 1 : 1, к 13 годам она равна 1,6, а к 21 году равняется мужской. Пропорции золотого сечения проявляются и в отношении других частей тела – длина плеча, предплечья и кисти, кисти и пальцев и т.д.

Справедливость своей теории Цейзинг проверял на греческих статуях. Наиболее подробно он разработал пропорции Аполлона Бельведерского. Подверглись исследованию греческие вазы, архитектурные сооружения различных эпох, растения, животные, птичьи яйца, музыкальные тона, стихотворные размеры. Цейзинг дал определение золотому сечению, показал, как оно выражается в отрезках прямой и в цифрах. Когда цифры, выражающие длины отрезков, были получены, Цейзинг увидел, что они составляют ряд Фибоначчи, который можно продолжать до бесконечности в одну и в другую сторону. Следующая его книга имела название «Золотое деление как основной морфологический закон в природе и искусстве». В 1876 г. в России была издана небольшая книжка, почти брошюра, с изложением этого труда Цейзинга.

Следует отметить, что, узнав о данных пропорциях человеческого тела, мне захотелось лично измерить некоторые из них на практике – большинство результатов совпало с представленными ниже.

3.1 Золотой прямоугольник.

Стороны золотого прямоугольника находятся в пропорции 1.618 к 1. Чтобы построить золотой прямоугольник, нужно начать с квадрата со сторонами в 2 единицы и провести линию от середины одной из его сторон к одному из углов у противоположной стороны.

Треугольник EDB — прямоугольный. Пифагор, около 550 г. до н. э., доказал, что квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов его катетов. В этом случае, следовательно, X2 = 22 + 12, или X2 = 5. Длина гипотенузы ЕВ тогда равна корню квадратному из 5. Следующий шаг в построении золотого прямоугольника заключается в продолжении линии CD до точки G так, чтобы EG равнялась корню квадратному из 5, или 2.236 единиц длины, как показано на рис. 3-5. После завершения построения, стороны прямоугольника будут соотноситься как золотая пропорция, поэтому и прямоугольник AFGC, и BFGD являются золотыми прямоугольниками.

Произведения в искусстве значительно улучшены с использованием знания золотого прямоугольника. Притягательность его ценности и употребления были особенно сильны в древнем Египте и Греции и во времена Ренессанса, т. Е. во всех важных периодах цивилизации. Леонардо да Винчи придавал огромное значение золотой пропорции. Он также находил ее приятной в своих соотношениях и говорил: «Если предмет не имеет правильного облика, он не работает». Многие из его картин обладают правильным обликом, потому что он использовал золотое сечение для того, чтобы усилить их привлекательность.

В то время как пропорция фи использовалась сознательно и продумано художниками и архитекторами по своим собственным причинам, она, очевидно, действительно оказывает влияние на обозревателей таких форм. Экспериментаторы определили, что люди находят соотношение 0.618 эстетически приятным. Например, людей просили выбрать один прямоугольник из группы прямоугольников различных типов, и средний выбор в основном был близок к форме золотого прямоугольника. Когда просили пересечь одну полоску другой так, как им больше нравится, люди в основном применяли одну полоску для деления другой в соотношении фи. Окна, рамы картин, здания и книги часто приблизительно соответствуют золотому прямоугольнику.

В то время как Золотое сечение и Золотой прямоугольник представляют статические формы естественной и сотворенной человеком красоты и деятельности, представление эстетически привлекательного динамизма, организованного движения роста и развития может быть выполнено только самой прекрасной формой во Вселенной — Золотой спиралью.

3.2. Золотая спираль.

Золотой прямоугольник можно использовать для построения золотой спирали. Любой золотой прямоугольник, как на рисунке, приведённом ниже, можно разделить на квадрат и меньший золотой прямоугольник, как показано на рисунке. Этот процесс теоретически можно продолжать до бесконечности. Эти получающиеся прямоугольники, которые мы нарисовали и которые, как оказалось, скручиваются внутрь, промаркированы A, B, C, D, E, F и G.

Пунктирные линии, которые сами находятся в золотом соотношении одна к другой, рассекают прямоугольники по диагонали и точно обозначают теоретический центр скручивающихся квадратов. Приблизительно из центральной точки мы можем начертить спираль, соединяя точки пересечения каждого скручивающегося квадрата в порядке возрастания размера. Так как квадраты скручиваются внутрь и наружу, их точки соединения выписывают золотую спираль. Для построения золотой спирали может применяться такой же процесс, но с использованием скручивающихся треугольников.

Паук Epeira прядет свою паутину в виде логарифмической спирали. Бактерии размножаются в логарифмической прогрессии, которую можно начертить в виде логарифмической спирали. Метеориты, врезаясь в поверхность Земли, формируют впадины, которые соотносятся с логарифмической спиралью. Сосновые шишки, морские коньки, раковины улиток, раковины моллюсков, волны океана, папоротники, рога животных и расположение семян подсолнуха и маргаритки — все они образуют логарифмические спирали.

Облака циклона и галактики открытого космоса скручиваются в логарифмические спирали. Даже человеческий палец, который составлен из трех фаланг, находящихся по отношению друг к другу в золотой пропорции, принимает спиральную форму умирающего листа, когда сжимается. Таким образом, золотая спираль развертывается перед нами в символической форме, как один из величественных замыслов природы, образ жизни в бесконечном расширении и сжатии, статический закон, управляющий динамическим процессом, подкрепленный и изнутри, и снаружи пропорцией 1.618, Золотым сечением.

Таким образом, будучи мерой, законом природы, золотое сечение становится и мерой человеческого творчества, мерой всей человеческой жизни – именно поэтому я считаю тему последовательности Фибоначчи актуальной в настоящее время.

Заключение

  1. Изучена литература по данной теме.

  2. Изображены прямолинейные спирали на треугольной, шестиугольной и квадратной сетках.

  3. Рассмотрены различные последовательности чисел, которые описывают самопересекающиеся и криволинейные спирали.

  4. Найдены примеры спиралей, встречающихся в природе и жизни человека.

  5. Проведены эксперименты по получению спирали Архимеда и трёхмерных спиралей.

Литература

  1. Алгебра: учеб. для учащихся 9 кл. с углубл. Изучением математики / [Н.Я. Виленкин, Г.С. Сурвилло, А.С. Симонов, А.И. Кудрявцев]; под ред. Н.Я. Виленкина. – 6-е изд., дораб. – М.: Просвещение, 2005.–367с.

  2. Виноградов И.М. Аналитическая геометрия.- М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. – 176 с.

  3. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. – М.: Наука, 1969. – 272 с.

  4. Лэнгдон Н., Снейп Ч. С математикой в путь. – М.: Педагогика, 1987. – 47 с.

  5. Нагибин Ф.Ф., Канин Е.С. Математическая шкатулка: Пособие для учащихся. – 4-е изд., перераб. и доп. – М.: Просвещение, 1984. – 160 с.

  6. Тарасов Л. Этот удивительно симметричный мир.- М.: Просвещение, 1982. – 176 с.

  7. Цыпкин А.Г. Справочник по математике для средних учебных заведений. – 4-е изд., испр. И доп. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. – 432 с.

  8. Щетников А.И. Проблема филлотаксиса. /Математическое образование/ — 22 с.

  9. Энциклопедия для детей. Е. 11. Математика / Глав. Ред. М.Аксенова; метод. и отв. ред. В.Володин. – М.: Аванта+, 2004. – 688 с.

Приложение 1 Трёхмерная спираль


Приложение 2. Числа Фибоначчи


Компьютерная модель золотой спирали.


Приложение 3. Примеры спиралей встречающихся в природе и технике

М
лечный Путь,

рога горного барана,



морские раковины,

усики растений,

винт-пропеллер,


винтовая лестница, детские игровые комплексы и др.


Что такое Золотая спираль? Чтобы узнать, нарисуем один.

Пол Мироча

Это обсуждение является отрывком из семинара, организованного The Desert Lab 30 января 2021 года: «Фибоначчи и агавы», часть серии Видя математику в природе .


Как странная последовательность чисел, случайно обнаруженная Фибоначчи около 1200 года, является ключом к Золотой пропорции, Золотому прямоугольнику, Золотой спирали — и жизни, Вселенной и всему остальному.
Эти геометрические спирали встречаются в природе. Как только вы нарисуете один, вы увидите их повсюду.

Что такое Фибоначчи на самом деле?

Леонардо Пизанский, которого звали Фибоначчи, был средневековым математиком (1170 — ок. 1240). Он не проектировал падающую башню, но, скорее всего, вы слышали, как кто-то произносил имя Фибоначчи, возможно, в художественной галерее или на коктейльной вечеринке. Вы, наверное, слышали, что это часть сакральной геометрии, которая лежит в основе Жизни, Вселенной и всего остального.Но произвело ли на вас впечатление простое знание этого? И я нет.

Фраза, которую я люблю использовать в начале урока рисования или семинара, звучит так: «Вы не поймете чего-то по-настоящему, пока не (попытаетесь) это нарисовать». Давайте сделаем это.

Эта числовая последовательность действительно образует узоры и геометрию, которые можно найти повсюду в природе. Почему Вселенной так нравятся эти числа? Может быть, это потому, что природа постоянно меняется и растет, и это геометрия роста и формы.

Но сначала давайте займемся числами.

Числа Фибоначчи

Знаменитая числовая последовательность Фибоначчи была простой: чтобы получить следующее число в последовательности, сложите два предыдущих числа. Это был его ответ на популярную числовую загадку: предположим, пара кроликов, самец и самка, могут спариваться, и каждый месяц их потомство производит пару кроликов самца и самку. Сколько кроликов будет за год?

Ответ — 144, число Фибоначчи. Как мы увидим, эту последовательность и геометрию, которую она формирует, можно найти повсюду в мире природы.

Нечетный факт: Количество лепестков на цветке обычно является числом Фибоначчи. Что с этим?
Разберемся в другом посте.

Затем есть еще один номер


под названием Phi

Вот где это странно. Что математики обнаружили в последовательности Фибоначчи, так это то, что отношения последовательных чисел в последовательности Фибоначчи — то есть деление одного числа в последовательности на предыдущее — все ближе и ближе к особому числу, 1.618….

8 \ 5 = 1,6


377/233 = 1,61802575…

1.618… сокращенно называется Фи. Я поставил многоточие после него, потому что десятичные дроби идут до бесконечности). Поскольку Фи — иррациональное число, оно стремится к бесконечности, никогда не повторяется, становится все ближе к Фи, но никогда не достигает точной, определяемой величины. Чтобы вы могли увидеть этот кусочек бесконечности, я вычислил Фи на 100 000 разрядов.

1,618, одно из самых известных иррациональных чисел, также называется золотым сечением 1: 1.618…. Эта пропорция так восхищалась архитекторами, художниками и математиками на протяжении всей истории, что ее называли «золотой», даже «священной». Некоторые называют эти числа и их результирующую геометрию основой нашего восприятия красоты.

Чтобы доказать это, я представлю следующий 5-секундный видеоклип.

Одна из причин, по которой это соотношение вызывает такое восхищение, заключается в том, что оно находится в золотом прямоугольнике. Пропорции сторон этого прямоугольника: от 1 до 1,618 . И почему так восхищаются этой пропорцией?

Открыв его в природе, художники, философы, математики и архитекторы использовали это соотношение в своей работе.Они передавали эту секретную формулу через века, чтобы создать то, что считается наиболее гармоничным взаимоотношением между визуальными элементами. В этом что-то есть. Это динамическая форма — мозг пытается, но не может изобразить этот прямоугольник простыми числами. Это потому, что оно основано на иррациональном числе.

Это золотой прямоугольник: отношение его длинной стороны к короткой составляет 1,618…

До сих пор речь шла о прямых пропорциях. Но самое интересное — это то, как числа Фибоначчи, золотая пропорция и золотой прямоугольник содержатся в золотой спирали.

Швейцарский математик Якоб Бернулли был настолько впечатлен этой спиралью, что придал ей мистическое значение. Когда он умер в 1705 году, Бернулли попросил, чтобы эта Спираль была вырезана на его надгробии вместе с латинской фразой « eadem mutata resurgo » («Несмотря на то, что изменился, я снова восстану таким же»).

Рисование золотой спирали

Я собираюсь нарисовать это от руки карандашом по двум причинам:
1. Рисование только рукой и мозгом способствует более глубокому обучению.Рука — это продолжение вашего мозга.
2. Это помогает нашим навыкам рисования попрактиковаться в оценке основных форм. Он не должен быть идеальным или ровным. Грубые формы будут работать так же или лучше, чем использование линейки и циркуля для рисования.

Вот быстрый 1,5-минутный превью, как я рисую спираль. Тогда сделаем это вместе. После этого некоторые люди сообщают о кратковременной искре просветления.

Перемотка вперед видео прорисовки спирали

1.Нарисуйте крошечный квадрат в нижней правой четверти страницы. Подойдет и один лист бумаги для принтера. Это зерно фрактального узора.

2. Нарисуйте от руки еще один квадрат такого же размера наверху, разделяя верхнюю часть первого квадрата.

3. Нарисуйте справа еще один квадрат такой же высоты, как два сложенных квадрата. (Подсказка: это неуловимый золотой прямоугольник)

4. Нарисуйте еще один квадрат поверх предыдущего прямоугольника. Это делает еще один золотой прямоугольник.По мере добавления квадратов результирующая общая форма всегда будет золотым прямоугольником. Это называется «самоподобие» и представляет собой простую фрактальную геометрию. Каждый прямоугольник, который мы создаем таким образом, будет точно таким же — изменится только размер.

5. Нарисуйте еще один квадрат той же высоты, что и предыдущая стопка, и под ней. (Да, еще один золотой прямоугольник) Он становится однобоким, но это не имеет никакого значения.

6. Нарисуйте еще один квадрат под предыдущей группой с одной стороной той же ширины, что и предыдущий золотой прямоугольник.

6. Нарисуйте еще один квадрат под предыдущей группой с одной стороной той же ширины, что и предыдущий золотой прямоугольник.

9. Теперь, если вы разметите квадраты по их размеру, исходя из того, что первый квадрат равен 1 единице, вы получите: ЧИСЛА ФИБОНАЧЧИ! Когда вы добавляете квадраты, длина каждой стороны будет основываться на том, что первый квадрат равен единице. Длина сторон каждого нового квадрата всегда будет соответствовать последовательности Фибоначчи.

10. Если вы проведете диагональ каждого квадрата, вы начнете видеть каркас спирали.

Обратите внимание, что мы рисуем диагонали квадратов, генерируя еще одно важное иррациональное число, встречающееся в природе: квадратный корень из двух, 1,414 … Это также гипотенуза прямоугольного треугольника, центральная концепция пифагорейцев. Итак, оба этих загадочных числа присутствуют в Золотой спирали.

Открытие того, что диагональ квадрата является иррациональным, неопределимым числом, вызвало смену парадигмы среди древнегреческих философов.Основным принципом их мировоззрения было то, что Вселенная была счетной, определяемой целыми числами и дробями. Открытие иррационального сводило их с ума.

Легенда гласит, что около 500 г. до н.э. пифагорейцы выбросили Гиппаса из Метапонта за борт, потому что он опубликовал свое доказательство того, что квадратный корень из двух — длина диагонали квадрата или гипотенузы прямоугольного треугольника — является бесконечным бесчисленным десятичным числом. Может быть, с тех пор культура академических кругов изменилась — или академики теперь имеют более тонкие, но столь же эффективные средства разрешения споров.

В конце концов, пифагорейцы приняли это доказательство, и иррациональная природа гипотенузы стала дверью в тайный мистицизм, основанный на культе чисел.

Чтобы закончить этот рисунок, я нарисовал спираль оранжевым маркером.

Чтобы увидеть одну причину, по которой Золотая спираль так впечатлила Джейкоба Бернулли, обратите внимание ниже, что это фрактал, другими словами, «самоподобный». По мере того, как он растет, он всегда один и тот же. Это верно, будь то раковина улитки или спиральная галактика.


2-часовой семинар UA Tumamoc «Фибоначчи и агавы» был проведен онлайн 30 января 2021 года. Вы все еще можете приобрести билет с доступом к записи для этого и других мероприятий из серии онлайн-семинаров Desert Lab.

символ золотой спирали — что это значит?

Раскрытие информации для аффилированных лиц

От ураганов до цветов и сосновых шишек, спиральные узоры распространены в природе. Математика — это наука о закономерностях, поэтому неудивительно, что спирали вдохновляли математиков на протяжении веков.Одна из этих спиралей — золотая спираль, которую считают своего рода кодом, который управляет архитектурой Вселенной. Золотая спираль — это обширный и увлекательный предмет, сыгравший выдающуюся роль в истории и произведениях искусства.

Посмотрите на золотую спираль — ее происхождение, значение и значение.

Что такое символ золотой спирали?

Золотая спираль — это узор, созданный на основе концепции золотого сечения — универсального закона, который представляет «идеал» во всех формах жизни и материи.Фактически, его часто приводят как пример связи между законами математики и устройством живых существ. Чем больше мы понимаем математику, лежащую в основе символа, тем больше мы ценим его появление в природе и искусстве.

В математике золотое сечение — это особое число, примерно равное 1,618 и представленное греческой буквой Φ (фи). Вы можете задаться вопросом, откуда взялась эта золотая спираль — и ответ на этот вопрос лежит в золотом прямоугольнике. В геометрии золотую спираль можно нарисовать из золотого прямоугольника, стороны которого пропорциональны золотому сечению.

В 1800-х годах немецкий математик Мартин Ом назвал специальное число 1.618 золотым , вероятно, потому, что оно всегда существовало в математике. Дальше во времени он был даже описан как божественный из-за того, что он часто встречается в естественном мире. Спиральный узор, созданный из золотого сечения, также называется золотой спиралью .

Золотая спираль против спирали Фибоначчи

Золотое сечение встречается во многих математических контекстах. Вот почему золотая спираль часто ассоциируется с последовательностью Фибоначчи — рядом чисел, тесно связанных с Фи.Технически последовательность начинается с 0 и 1 и продолжается бесконечно, и если вы разделите каждое число на его предшественник, результат будет сходиться к золотому сечению, примерно 1,618.

В математике существует несколько спиралей, и их можно измерить. Золотая спираль и спираль Фибоначчи очень похожи по форме, и многие используют их как синонимы, но это не одно и то же. Все можно объяснить математическими расчетами, и при измерении они не будут иметь одинаковой закономерности.

Говорят, что спираль Фибоначчи совпадает с золотой спиралью только в определенный момент, когда первая приближается к золотому сечению или 1,618. Фактически, чем выше числа Фибоначчи, тем ближе их отношение к Фи. Просто имейте в виду, что не каждая спираль, встречающаяся в природе, основана на числах Фибоначчи или золотом сечении.

Значение и символика золотой спирали

Символ золотой спирали на протяжении всей истории вдохновлял бесчисленное количество людей.Это было связано с основами жизни, духовности и творчества.

Золотая спираль уникальна по своим математическим свойствам и доказывает, что мы живем во вселенной, управляемой математическими законами. В то время как другие считают, что это просто очень странное совпадение, многие ученые и исследователи рассматривают его как свидетельство выдающегося математика или Творца. В конце концов, разумный замысел в природе сложен, и некоторым может показаться нелогичным думать, что он возник случайно.

Золотая спираль покорила воображение математиков, дизайнеров и художников своей красотой. Это отражено в некоторых из величайших произведений искусства и архитектуры. Он также был связан с красотой, поскольку многие считают, что красота основана на ее уникальных свойствах в математике и геометрии. Некоторые мистики считают, что этот символ также привнесет в жизнь баланс и гармонию.

Символ золотой спирали в истории

Очарование символа золотой спирали побудило многих художников использовать его в своих шедеврах.Есть большая вероятность, что вы уже видели этот символ в виде наклеек на различных формах искусства, от Парфенона до Моны Лизы. К сожалению, по этому поводу есть много запутанных утверждений, поэтому мы поможем вам решить, основаны ли они на мифах или математике.

Построенный между 447 и 438 годами до нашей эры, Парфенон в Афинах, Греция, является одним из самых эстетичных построек из когда-либо построенных. Многие предполагают, что он был построен на основе золотого сечения. Вы даже увидите несколько изображений лицевого фасада храма с золотой спиралью и золотым прямоугольником.

Нет сомнений в том, что древние греки включили математику и геометрию в свою архитектуру, но ученые не могут найти конкретных доказательств того, что они использовали золотое сечение при строительстве Парфенона. Многие считают это мифом, потому что большинство математических теорем были разработаны только после постройки храма.

Более того, необходимы точные измерения, чтобы сделать вывод, что в дизайне использовались золотое сечение и золотая спираль. По мнению экспертов, золотой прямоугольник следует обрамлять у основания ступеней, ведущих к Парфенону, а не у основания его колонн, как это обычно показано на нескольких иллюстрациях.Кроме того, строение находится в руинах, поэтому его точные размеры требуют некоторой оценки.

  • Картины Леонардо да Винчи

Леонардо да Винчи давно называют «божественным» художником, связанным с золотым сечением. Эту ассоциацию даже поддержал роман «Код да Винчи », поскольку сюжет включает в себя золотое сечение и числа Фибоначчи. Хотя все можно интерпретировать, многие предполагают, что художник намеренно использовал золотую спираль в своих работах для достижения баланса и красоты.

Использование Да Винчи золотого сечения очевидно в The Last Supper и The Annuciation , но Mona Lisa или La Joconde все еще вызывает споры. Говорят, что есть несколько архитектурных элементов и прямых линий, которые можно использовать в качестве ориентиров по сравнению с двумя другими картинами. Тем не менее, вы можете найти несколько интерпретаций золотых сечений на Моне Лизе с золотой спиралью в качестве накладок.

Мы, вероятно, никогда не узнаем намерения Да Винчи для своих шедевров, но многие находят это странное совпадение убедительным.Учитывая предыдущее использование художником, для него не будет неожиданностью использовать его и на указанной картине. Просто имейте в виду, что не на всех картинах да Винчи есть явные доказательства объединения золотого сечения и золотой спирали, поэтому трудно сделать вывод, что все его шедевры основаны на них.

Символ золотой спирали в наше время

Золотая спираль способствует нашему пониманию жизни и Вселенной. Вот некоторые из недавних открытий, касающихся символа:

Золотая спираль играет роль в геометрии фракталов, сложном узоре, который повторяется вечно.Американский математик Эдмунд Харрис прославился своей фрактальной кривой, основанной на золотой спирали, теперь известной как спираль Харриса. Говорят, что он стремился нарисовать ветвящиеся спирали, которые выглядят эстетично, но в итоге с помощью математического процесса он получил уникальную спираль.

Считается, что золотая спираль оказывает завораживающее влияние на движение человеческой руки. По словам анатома, движение человеческих пальцев повторяет узор золотой спирали. Вы даже найдете изображения сжатого кулака со спиральным символом в качестве наложения.

  • В дизайне и композиции

В настоящее время многие дизайнеры накладывают на изображение символ золотой спирали, чтобы проиллюстрировать пропорции золотого сечения в надежде достичь визуальной гармонии в своих работах. На их основе созданы некоторые современные логотипы и значки, в которых дизайнеры применяют так называемую концепцию «соотношений в соотношениях».

Природа полна спиралей, но настоящая золотая спираль в природе встречается редко. Интересно, что ученые обнаружили, что соколы летают по золотой спирали, приближаясь к своей добыче, вероятно, потому, что это энергоэффективный путь полета.

Вопреки распространенному мнению, раковина наутилуса не является золотой спиралью. При измерении эти два значения не будут совпадать, независимо от того, как они были выровнены или масштабированы. Кроме того, не все раковины наутилуса созданы равными, поскольку у каждой есть вариации и недостатки формы.

Спирали подсолнухов и сосновых шишек красивы, но это не золотые спирали. Фактически, их спирали даже не охватывают центр, в отличие от золотой спирали. Хотя у некоторых цветов количество лепестков соответствует числам Фибоначчи, обнаружено несколько исключений.

Эксперты также говорят, что наличие галактики или случайного грозового облака, которое соответствует части золотой спирали, не должно означать, что все галактики и ураганы основаны на золотом сечении.

Вкратце

Наша Вселенная наполнена спиралями, поэтому неудивительно, что многие заинтересовались математикой, стоящей за ними, и их значениями. Художники давно признали золотую спираль самой приятной для глаз. Это действительно один из самых вдохновляющих образцов в природе, который можно воплотить в творческие художественные выражения.

Золотая спираль

Золотая спираль

ЗОЛОТАЯ СПИРАЛЬ, СПИРАЛЬ ФИБОНАЧЧИ
и натуральные спирали

Фигура начинается с золотого прямоугольника ABCD , с AB = 1 и = золотое сечение; рисуем квадрат ABA’D ‘и получаем золотой прямоугольник A’B’C’D ‘ длина сторон которых и 1.
Этот процесс повторяется для получения прямоугольника A»B»C»D » и так далее, и так далее, а также внешние квадраты; золотой спираль состоит из следующих друг за другом четвертей окружностей, вписанных в каждый квадрат.

Пунктирные диагонали BD и CD ‘ пересекаются в точке O , которая является асимптотической точкой спирали, называемой «око Бога» (золотое сечение также называют «божественной пропорцией»!)

Линии АА ‘ и A’A » ‘ перпендикулярны и пересекаются в точках O .

Указанные числа — длины сторон квадратов.




Если вместо золотого прямоугольника мы начнем с прямоугольником Фибоначчи, с AB = F n-1 и BC = F n , где F n-1 и F n — два последовательных Фибоначчи чисел, мы получаем спираль, состоящую из четверти окружностей, которая называется Фибоначчи. спираль , которая приближается к золотой спирали, но не имеет Имущество «eadem mutata resurgo».


См. Также Падован спираль, коэффициент увеличения на каждом витке которой составляет шестую степень числа Падована, то есть около 5,4.


На этом сайте, можно найти объяснение того, что оболочка наутилус предположительно приближается к золотой спирали, но это, очевидно, противоречит прямому наблюдению: спираль наутилуса намного более точные и экспериментальные измерения показывают, что его коэффициент увеличения составляет около 3, что явно меньше 6. (b (theta))

Историю вопроса Пера см .:

.

Полярные координаты, кривые в полярных координатах и ​​равноугольная спираль

Спирали широко распространены в природе и веками вдохновляли математиков.


Спиральная галактика NGC 5194
[Изображение предоставлено НАСА]

Логарифмические спирали

Золотая спираль, о которой спрашивает Пер, является частным случаем логарифмической спирали.

Логарифмические спирали растут так, что угол прямой от центра спирали до касательной к кривой в этой точке остается постоянным. Вот почему их еще называют «равноугловыми» спиралями.

Чтобы понять, что это означает, 3 острых угла, отмеченных на следующем изображении папоротника, составляют примерно 80 °.


Папоротник равноугловой

Обычно мы используем функции в полярных координатах при описании спиралей.В противном случае, если мы используем обычные прямоугольные координаты, формулы станут очень сложными.

Формула логарифмической спирали с использованием полярных координат:

r = ae θ детская кроватка b

где

r — расстояние от начала координат (или «полюса»)

a — постоянная

θ — угол (в радианах) от горизонтальной оси. Таким образом, координаты точки на кривой в полярных координатах определяются как ( r , θ).

b — угол (в радианах — «равный» угол), который образует прямая от центра спирали с касательной к спирали. В приведенном выше случае папоротника b ≈ 1,4 радиана (≈ 80 °).

Вследствие того, как мы определили логарифмическую спираль, отношение расстояний от центра до каждого спирального рукава соседней пары постоянно.


Спиральные рукава с постоянным соотношением сторон

Соотношение

расстояние до первого плеча: расстояние до второго плеча

= 29:69

≈ 0.42

Другое соотношение

расстояние до второго плеча: расстояние до третьего плеча

= 69: 154

≈ 0,45

Видно коэффициенты практически одинаковые. (В реальной логарифмической спирали они точно такие же. Выбор начальной точки для папоротника не является точной наукой!)

Золотая спираль

Золотая спираль — это частный случай логарифмической спирали.

Мы можем записать общую логарифмическую спираль как функцию в полярных координатах, используя t следующим образом:

r ( t ) = ae t детская кроватка b

Примечание: Обычно мы используем θ для независимой переменной, но мы часто используем t , поскольку мы можем думать о спирали, прослеживаемой во времени.Кроме того, печатать проще!

Золотая спираль обладает особым свойством: на каждую 1/4 оборота (90 ° или π / 2 в радианах) расстояние от центра спирали увеличивается на золотое сечение φ = 1,6180.

Чтобы это произошло, cot b должна принимать значение (которое получается из решения нашей функции):

Используя это значение и взяв простой случай, когда a = 1, наша функция принимает вид:

r ( t ) = e 0.30635 т

С этого момента мы будем использовать отличный бесплатный инструмент для построения графиков GeoGebra.

Настройка золотой спирали с помощью GeoGebra

Теперь, если мы построим нашу функцию на обычных прямоугольных осях координат в GeoGebra, мы получим следующую экспоненциальную кривую. Обратите внимание, что r увеличивается с постоянно увеличивающейся скоростью (становится все круче) по мере увеличения t .

Но чтобы увидеть спираль, нам нужно построить кривую, используя полярные координаты и .

Чтобы преобразовать полярную форму (которая у нас есть) в прямоугольную форму (которая нам нужна для графика) в Geogebra, нам нужно настроить и построить следующую функцию:

a ( t ) = ( r ( t ) cos ( t ), r ( t ) sin ( t ))

Давайте подставим несколько важных значений, чтобы увидеть, что означает это выражение. Начиная с t = 0, получаем начальную точку кривой:

a (0) = ( r (0) cos (0), r (0) sin (0))

= (1 × 1, 1 × 0)

= (1, 0)

Итак, это означает, что мы начинаем 1 единицу от начала координат по положительной оси x .Вы можете увидеть начальную точку на следующем графике спирали.

Затем мы поворачиваем на четверть оборота и находим при t = π / 2,

a (π / 2) = ( r (π / 2) cos (π / 2), r (π / 2) sin (π / 2))

= (1,618 × 0, 1,618 × 1)

= (0, 1,618)

Обратите внимание, что теперь мы находимся на 1,618 единиц от начала координат до оси y . То есть φ = 1,6180 расстояния, с которого мы начали.

Еще один поворот на четверть оборота приводит к t = π, где:

a (π) = ( r (π) cos (π), r (π) sin (π))

= (-2.618 × 1, -2,618 × 0)

= (-2,618, 0)

Теперь мы находимся на расстоянии 2,618 единиц от начала координат по отрицательной оси x-, или φ = 1,6180 раз больше расстояния от начала координат, на котором мы находились в последней четверти оборота.

Примечание:

φ 2 = 2,6180

Мы могли бы определить нашу следующую позицию вдоль отрицательной оси y , просто умножив это последнее значение на φ = 1,6180, получив:

φ 3 = 4,23606 …

Таким образом, спираль разрезает ось и в точке (0, -4.236).

Еще одна четверть оборота приведет нас к φ 4 = 6,85410 … единиц по положительной оси y , то есть (6,854, 0).

Мы видим, что эти значения верны на спиральном графике выше.

Если продолжить, то получится спираль следующего вида (это 2 полных оборота, или 4π = 720 °):

В сторону, так как в этой задаче

детская кроватка b = 0,30635

, затем

b = arccot ​​0.30635 = 1,274 радиана или около 73 °

Это угол между нашими спиральными рукавами и линией, идущей от центра спирали. Вы можете видеть на графике над каждым спиральным плечом угол 73 ° с осью x (и осью y или любой линией от центра).

Аппроксимация золотой спирали дугами окружности

Мы можем получить спираль, которая очень похожа на Золотую спираль, используя дуги окружностей, размер которых увеличивается по золотому сечению, как показано ниже.

Мы начинаем с квадрата 1 × 1 и проводим дугу с центром C через 2 угла так, чтобы стороны квадрата касались дуги (то есть касались только один раз).

Затем мы помещаем квадрат со стороной φ = 1,6180 над нашим первым квадратом и строим еще одну дугу окружности с центром E, как и раньше:

Наш следующий квадрат идет слева и имеет стороны φ 2 = 2,6180 = 1 + φ.

Продолжаем узор (мы прошли еще один полный круг) и получаем спираль, которая очень похожа на нашу предыдущую Золотую спираль.

Насколько близко наше приближение?

В статье Википедии о Золотой спирали есть изображение, на котором утверждается, что вышеуказанная спираль и Золотая спираль очень близки по форме.

Вот это изображение:

Подпись к изображению гласит:

Приблизительные и истинные золотые спирали: зеленая спираль состоит из четверти окружностей, касающихся внутренней части каждого квадрата, а красная спираль — это золотая спираль, особый тип логарифмической спирали.Перекрывающиеся части отображаются желтым цветом. Длина стороны большего квадрата до следующего меньшего квадрата находится в золотом сечении.

Можем ли мы воссоздать это?

На изображении ниже красная кривая — первая часть золотой спирали, которую мы построили выше, тогда как зеленая кривая основана на приближении четверти оборота, над которым мы только что работали.

Точка F — это самая «правая» точка спирали, которая будет моей отправной точкой для дуги на четверть оборота.Точка J — наивысшая точка этой части спирали.

Точка A — это пересечение горизонтальной и вертикальной линий, проходящих через F и J соответственно, и это будет центр моей дуги.

Итак, дуга GF совсем не близка к соответствующему участку спирали FJ.

Давайте сделаем еще один шаг и посмотрим, будет ли следующая часть лучше.

Как видите, все хуже (как и ожидалось, поскольку мы отодвинулись от начала координат и спиральный рукав становится больше).

Ясно, что это никогда не сработает.

Однако в моей предыдущей «Золотой спирали» я использовал:

r ( т ) = e 0,30635 т

Константа a , имела значение 1.

Если мы хотим, чтобы наши аппроксимирующие дуги подходили для реальной Золотой спирали, нам нужно использовать значение (что, вероятно, неудивительно)

.

а = φ = 1,6 18 10 3399 ..

Это дает нам следующие кривые, похожие на график в Википедии.

Красная кривая — Золотая спираль,

r ( т ) = 1,618013 e 0,30635 т

Зеленая кривая — это набор дуг окружности.

Показана длина стороны квадратов (в пикселях), и мы можем видеть, что они находятся примерно в соотношении 1,618013 …

Золотая спираль в СМИ

Из Mathworld Вольфрама:

В эпизоде ​​4 сезона «Шедевр» (2008) криминальной драмы канала CBS-TV «Мыслить как преступник» агенты отдела поведенческого анализа ФБР сталкиваются с серийным убийцей, который использует последовательность чисел Фибоначчи для определения числа жертв. за каждый из его убийственных эпизодов.В этом эпизоде ​​персонаж доктор Рид также замечает, что места убийств лежат на графике золотой спирали, и переход к центру спирали позволяет Рейду определить местоположение базы операций убийцы.

Вот более интересная информация из Wolfram’s Mathworld:

Логарифмическая спираль

Для гиков — дизайн с использованием Golden Spiral

Многие считают, что рисунки с использованием золотого сечения и золотой спирали радуют глаз.

Даже Twitter недавно изменил дизайн своей главной страницы, используя «Золотую спираль».

Вот отличная статья парня, который построил золотую спираль без изображений. (В основном для тех, кто интересуется веб-дизайном)

Золотая спираль без изображений — с использованием CSS и jQuery

Как он предполагает в статье, хобот слона также близок к Золотой спирали.


Хобот слона — почти золотая спираль

Заключение

Золотая спираль — интересная тема, которой стоит заниматься не только из-за приятных дизайнов, но и из-за интересной математики, стоящей за ними.

Надеюсь, это поможет ответить на ваш вопрос, Пер!

См. 21 комментарий ниже.

Золотая спираль — Разум запутавшегося

Ты скучал по мне? Я знаю, что в этом году в моем разуме пока мало общего, но все, что я могу сказать, это то, что жизнь случается, и как только вы избавитесь от привычки публиковать сообщения, вам будет трудно снова начать. В любом случае, я здесь, и я очень рад, что могу поделиться с вами чем-то выдающимся.

Примерно в середине июня этого года со мной связалась Пилар Пулидо из Мадрида, Испания.Она разрабатывала класс, который должен был быть представлен на European CZT Gathering в сентябре, и хотела узнать, хочу ли я сотрудничать с ней. Курс, который она предложила, понравился мне, поэтому, конечно, я согласился, и началось наше трансатлантическое сотрудничество (я в Монро, Вашингтон, США, и Пилар в Мадриде, Испания). У Пилар возникла идея использовать математику для описания цепочек путаницы, и мы решили сосредоточиться на числах Фибоначчи и золотом сечении.

Было очень весело сотрудничать с другим CZT в девяти часовых поясах.Сначала мы просто писали по электронной почте. Затем мы перешли на Messenger и DropBox. Наконец, ближе к концу мы сделали звонки через Интернет. Нам просто нужно было не забыть назначить встречи на удобное для нас обоих время. В конце концов, мы оба остались очень довольны классом, и Пилар представила его в прошлом месяце на European CZT Gathering в Корке, Ирландия, где он был хорошо принят.

Вот некоторые основные моменты:


Пилар ведет класс в Корке

Мозаика класса

и образцы

После большого отклика на этот класс мы решили поделиться контентом класса с остальной частью сообщества Zentangle, так что вот краткое изложение класса и ссылка в конце на раздаточный материал класса.Наслаждаться!

Математические строки: числа Фибоначчи, золотое сечение и золотая спираль

Что такого особенного в некоторых предметах, что делает их эстетически приятными? Считается, что одним из ответов на этот вопрос является золотое сечение, также известное как фи и представленное греческой буквой Φ. Золотое сечение — это математическая взаимосвязь, которая существует в искусстве, формах, природе и узорах. Это соотношение составляет 1: 1,618 (округлено).

Нельзя говорить о золотом сечении, не упомянув также последовательность Фибоначчи.Что такое последовательность Фибоначчи? Это последовательность чисел, где каждое число в последовательности является суммой двух предыдущих.

1 + 1 = 2, 2 + 1 = 3, 3 + 2 = 5, 5 + 3 = 8, 8 + 5 = 13… ИЛИ 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144…

Отношение каждого числа к следующему в последовательности очень близко к золотому сечению.

Последовательность Фибоначчи и золотое сечение очевидны повсюду вокруг вас, от микроскопического до макроскопического ( см. Ссылку в конце этого блога для примеров ).Вот один пример, который вы можете попробовать сами. Протяни указательный палец. Обратите внимание, что длина первой и второй костей вместе равна длине третьей. 1 + 2 = 3 кажутся знакомыми?

Это соотношение длины (соотношение) позволяет вашим пальцам складываться в компактную спираль, образуя кулак.

Золотое сечение также используется для определения золотого прямоугольника и золотой спирали.

Длина каждой стороны золотого прямоугольника определяется согласно золотому сечению.Отношение более короткой стороны к длинной составляет 1: 1,618. Если вы определите самый большой квадрат внутри золотого прямоугольника, то останется золотой прямоугольник меньшего размера. Этот процесс можно повторить с каждым золотым прямоугольником, и каждый квадрат сохраняет золотое сечение с предыдущим квадратом. Добавление четверти дуги к каждому квадрату приводит к золотой спирали.

Золотое сечение вместе с другими математическими вычислениями, кажется, важно для определения структуры нашей вселенной или, выражаясь языком Zentangle, как «струны», которые определяют, как некоторые вещи выглядят и действуют.Мы не всегда знаем об их существовании, потому что, как струны на плитке в стиле Zentangle, они исчезают под поверхностью, но они есть и прекрасно демонстрируют концепцию Zentangle о «элегантности ограничений».

Это Золотая спираль, которую мы выбрали в качестве «математической строки» для классного проекта.

Обратите внимание, что раздаточный материал для класса содержит более подробное объяснение золотого сечения, золотого прямоугольника, золотой спирали и чисел Фибоначчи, и я предоставил несколько ссылок на забавную и интересную информацию, которую можно найти в Интернете.Вам не нужно будет делать какие-либо математические вычисления для создания этого проекта, здесь нет теста!

Несколько слов о бумаге, использованной в классе.

Часть того, что делает эту классную работу, — это бумага. Это бумага Fabriano Pergamon, плотность: 230 г / м², цвет: слоновая кость. Это полупрозрачный пергамент с текстурированной поверхностью, обеспечивающий оптимальное сочетание непрозрачности и прозрачности для этого проекта. И да, эта бумага производится той же компанией, которая производит бумагу Fabriano Tiepolo, используемую для официальной плитки Zentangle®.

ПРИМЕЧАНИЕ: Вот хорошие новости, он доступен в Европе и Канаде (счастливое лицо). Вот плохие новости, нам не удалось найти источник в Соединенных Штатах (грустное лицо). Я не уверен, что он доступен в в других странах, я думаю, он также доступен в Австралии. Я все еще ищу источник или альтернативу в США. Если вам удастся найти источник, дайте мне знать (обратите внимание, что я уже связывался с компанией, которую Фабриано перечисляет на их сайте).

ОБНОВЛЕНИЕ БУМАГИ: Я нашел отличный заменитель пергамента Fabriano Pergamon.Вот подробности:
Пергамент Fedrigoni Pergamenata (производство в Италии)
Вес: 230 г / м2 (85 фунтов)
Цвет: слоновая кость (или натуральный), также бывает белого цвета

США Ссылки для заказа листов 27 x 39 дюймов:
Dolphin Papers
John Neal Bookseller

США Ссылка для заказа листов 8,5 x 11 дюймов:
Amazon

Следует также упомянуть, что я слышал, что Фабриано прекращает выпуск Pergamon, но не смог проверить. Однако я считаю, что Pergamenata также доступна в Европе и Канаде.

В раздаточном материале для класса представлены шаблоны золотой спирали, идущей в обоих направлениях, и из-за полупрозрачности бумаги Pergamon вы можете положить ее поверх шаблона и использовать как предварительно натянутую плитку.

Пергамонная бумага, наклеенная на шаблон.

Phicops — главный клубок


Мы решили использовать клубок Phicops для нашего проекта «Золотая спираль», потому что он очень хорошо работает со спиралью и имеет связь с золотым сечением. Это написал муж Лауры (Дива) Харм Б-рад.Историю Phicops, ее выход и связь с золотым сечением можно найти в блоге Лауры здесь.

Инструкции по рисованию Phicops с использованием шаблона «Золотая спираль» можно найти в Раздаточном материале для класса.

Конечно, с Золотой спиралью можно использовать и другие путаницы. Вот несколько примеров других запутанных спиралей с использованием Molygon, Echoism и Paradox.

Использование Molygon и Echoism в двойной спирали.

Использование Paradox на одной спирали.

Но подождите, это еще не все! А теперь сюрприз…
Одна из причин, по которой бумага Fabriano Pergamon была выбрана для этого проекта, — это сочетание непрозрачности и прозрачности. В дополнение к возможности видеть шаблон и использовать его как строку, можно также добавить цвет и узор на обратной стороне. Он будет едва заметен спереди при нормальном освещении, но волшебство случается, когда вы смотрите на рисунок, освещенный сзади.

Вот пример того, что я имею в виду.

Phicops, украшенный онамато и цветом.
Обратите внимание на тонкий песчаный водоворот на заднем плане, выполненный белой гелевой ручкой.

Цвет добавлен на оборотную сторону рисунка.
Примечание: при нормальном освещении он едва заметен, если
смотреть спереди (см. Выше)


При задней подсветке виден добавленный цвет на обратной стороне, а
гелевая ручка, поскольку это непрозрачные чернила, отображается как серая линия.

Вот еще два примера из класса в Корке. Спасибо Маргарите Самаме и Джоанне Куинси за разрешение показать здесь свои работы.

Рисунок Джоанны Куинси при обычном освещении (вверху)
Цветные детали и добавленные спутанности раскрываются при подсветке сзади (внизу)


Рисунок Маргурит Самама при нормальном освещении (вверху)
Детали клубка раскрываются при подсветке сзади (внизу).
Обратите внимание также на ее вариант Phicops.

Мы надеемся, что вы скачаете раздаточный материал для занятий и опробуете наш проект (даже если вам, возможно, придется найти замену бумаге). Мы решили предложить раздаточный материал бесплатно, но если вы хотите помочь нам в оплате затраты на разработку класса и обеспечение загрузки, вы можете отправить нам пожертвование через PayPal на lynn @ atanglersmind.com (вот ссылка, объясняющая, как это сделать.)

Щелкните ссылку ниже, чтобы загрузить раздаточный материал для класса в формате PDF. Вам нужно будет знать, как сохранить PDF-файл из браузера и операционной системы. (Примечание: этот PDF-файл был отформатирован для печати на бумаге формата Letter и A4)

MathStrings-Золотое сечение

Наконец, как и было обещано, вот несколько ссылок на интересные веб-сайты и забавные видеоролики на YouTube о числах Фибоначчи и золотом сечении.

https: //www.mathsisfun.com / numbers / nature-golden-ratio-fibonacci.html
На этом сайте есть забавная интерактивная демонстрация того, как последовательность Фибоначчи и золотое сечение помогают растениям упаковать максимальное количество семян в свои семенные головки.

https://io9.gizmodo.com/5985588/15-uncanny-examples-of-the-golden-ratio-in-nature
На этом сайте есть примеры последовательности Фибоначчи и золотого сечения в природе.

https://www.youtube.com/watch?v=ahXIMUkSXX0
https://www.youtube.com/watch?v=lOIP_Z_-0Hs
Веселые видеоролики YouTube о числах Фибоначчи и растениях.

Попробуйте этот проект, и мы гарантируем, что вы создадите рисунок божественных пропорций!

Благословения,

Линн и Пилар

Что такое последовательность Фибоначчи и почему она является секретом музыкального величия?

1 октября 2021 года, 16:12 | Обновлено: 1 октября 2021, 16:18

Последовательность Фибоначчи часто встречается в музыке и искусстве. Рисунок: Getty Images / Classic FM

Гении от Моцарта до Леонардо да Винчи использовали последовательность Фибоначчи.Но что это такое и почему из него получается отличная музыка?

Последовательность Фибоначчи получила прозвище «код природы», «божественная пропорция», «золотое сечение», «спираль Фибоначчи» и другие.

Что такое последовательность Фибоначчи?

Проще говоря, это ряд чисел:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610…

Следующее число в последовательности можно найти по после сложения двух чисел перед . Коэффициент для этой последовательности составляет 1.618 . Это то, что некоторые называют «божественной пропорцией» или «золотым сечением».

Когда вы строите квадраты из этих значений, получается красивая спираль:

Спираль Фибоначчи. Рисунок: Классический FM

Знакомо? Вы, наверное, видели это раньше …

Басовый ключ и спираль Фибоначчи. Рисунок: Классический фм

Эта последовательность, узор и спираль возникают во многих вещах, которые вы, возможно, никогда не замечали. Используется в искусстве и музыке; просто посмотрите, как Леонардо да Винчи использовал его в одной из своих самых известных картин, «Мона Лиза»:

Использование Леонардо да Винчи последовательности Фибоначчи в «Джоконде» (Мона Лиза).Рисунок: Getty Images / Classic FM

Последовательность Фибоначчи в музыке

Последовательность Фибоначчи играет большую роль в западной гармонии и музыкальных гаммах. Вот факты:

  • Фортепианная октава состоит из 13 нот. Восемь — белые клавиши, а пять — черные.
  • Шкала состоит из восьми нот, из которых третья и пятая ноты составляют основу основного аккорда
  • В шкале доминирующей является пятая нота, которая также является восьмой из всех 13 нот, составляющих вверх на октаву.
  • Восемь, разделенная на 13, равняется 0,61538 … приблизительное золотое сечение )

Начинаете видеть закономерность? Это все числа в последовательности Фибоначчи: 3, 5, 8, 13.

Последовательность Фибоначчи можно увидеть на клавиатуре фортепиано. Рисунок: Классический FM

Кто использовал последовательность Фибоначчи?

Композиторы и производители инструментов использовали последовательность Фибоначчи и золотое сечение на протяжении сотен лет для сочинения и создания музыки.

Моцарт, например, основал многие свои произведения на золотом сечении, особенно его сонаты для фортепиано.

  1. Традиционная соната состоит из двух частей:
    Экспозиция — где представлена ​​музыкальная тема
  2. Развитие и перепросмотр — где тема развивается и повторяется

А теперь самое интересное …

Моцарт расположил свои фортепианные сонаты так, чтобы количество тактов в развертке и перепросмотре , деленное на количество тактов в экспозиции , равнялось примерно 1.618 , золотое сечение.

В качестве примера возьмем первую часть сонаты для фортепиано № 1 до мажор Моцарта.

Золотое сечение в фортепианной сонате № 1 Моцарта. Рисунок: Классический FM

На приведенной выше диаграмме C — это первая часть сонаты в целом, B — это развитие и перепросмотр , и A — это экспозиция .

Экспозиция состоит из 38 баров, а development and recapitulation состоит из 62.Первая часть в целом состоит из 100 тактов.

62 делить на 38 равно 1,63 (приблизительно золотое сечение )

Эксперты утверждают, что Бетховен, Барток, Дебюсси, Шуберт, Бах и Сати (и это лишь некоторые из них) также использовали эту технику для написания своих сонат, но никто точно знает, почему это так хорошо работает.

Stradivari

Прославленный как мастер изготовления скрипок, Антонио Страдивари создал одни из самых красивых и звучных скрипок на свете.

Чтобы сохранить звук Страдивари, весь этот итальянский город молчит.

Есть причина, по которой покупка скрипки Страдивари обойдется вам в несколько миллионов фунтов — и ее ценность частично зависит от последовательности Фибоначчи и ее золотого Соотношение.

Страдивари использовал последовательность Фибоначчи и золотое сечение для создания своих скрипок. Рисунок: Getty Images / Classic FM

Золотое сечение можно найти во всей скрипке, разделив длины отдельных частей скрипки.Некоторые думают, что это одна из причин, по которой это звучит так хорошо.

Золотое сечение, которое исходит из последовательности Фибоначчи, используется не только для изготовления скрипок, но и для мундштуков саксофона, проводов динамиков и даже в акустическом оформлении некоторых соборов.

Даже Леди Гага использовала его в своей музыке — узнайте, как это сделать здесь>

Интересные числа — Золотое сечение и числа Фибоначчи

Интересные числа — Золотое сечение и числа Фибоначчи

Интересные цифры — нуль — один — сложный — корень 2 — Золотое сечение — е — число Пи — гугол — бесконечность


Что такое числа Фибоначчи?

Фибоначчи, итальянский математик, описал числа Фибоначчи в 1202 году нашей эры, хотя это было описано индийскими математиками ранее.Числа Фибоначчи — это последовательность чисел. Вы начинаете с нуля и единицы. Следующее число — это сумма двух предыдущих. Ноль плюс один — это единица, следующее число. Один и один — это два, следующее число. Один и два — это три, два и три — пять, три и пять — восемь и так далее. Нажмите на кнопку, чтобы сгенерировать серию чисел Фибоначчи.


Естественное появление чисел Фибоначчи

Для всех сосновых шишек количество спиралей в двух направлениях является ближайшими числами Фибоначчи.Самая маленькая сосновая шишка имеет три спирали в одном направлении и пять в другом. У среднего пять в одном направлении и восемь в другом. И самый большой вы можете посчитать для себя! (Если вам интересно, самая маленькая сосновая шишка происходит от гигантской секвойи, самого большого дерева в мире, хотя эта шишка произошла от еще не полностью выросшего дерева.) Это не просто сосновые шишки. Семена подсолнечника растут по похожей спирали, опять же в парах чисел Фибоначчи. Для этого есть причина. Числа Фибоначчи — это приближение к иррациональному числу (см. Ниже), что означает, что семена не будут совпадать друг с другом, что может ослабить цветочную головку или сосновую шишку.


Нарисуйте спираль


Что такое золотое сечение?

Если вы возьмете пару ближайших чисел Фибоначчи и разделите большее на меньшее, вы получите приближение к числу, называемому золотым сечением. Это иррациональное число, = (1 + √5) / 2 . Чем больше числа Фибоначчи, тем ближе приближение. Продолжайте нажимать на кнопку, чтобы получить эти приближения. Посмотрите, как поочередно ответы больше или меньше золотого сечения.

(приблизительно) =

Вы можете получить только ограниченную точность, потому что на этом компьютере есть предел точности. Вот более точное значение, до 50 знаков после запятой:

= 1,61803 39887 49894 84820 45868 34365 63811 77203 09179 80576


Золотой прямоугольник

Если вы проведете линию определенной длины a и разделите ее на две части b и c , где b больше, чем c , так что a / b = b / c , то это соотношение является золотым сечением.Если вы нарисуете прямоугольник со сторонами, пропорциональными золотому пайку, то он называется золотым прямоугольником. Это свойство имеет то свойство, что если вы удалите из него квадрат, аналогично спиральному прямоугольнику выше, то левый прямоугольник также будет иметь стороны, пропорциональные золотому пайку.

Золотой прямоугольник должен быть красивой формы. Многие художники и архитекторы сознательно использовали его в своих работах, в то время как люди находили золотой прямоугольник во многих других работах, даже если это не было сделано намеренно.Вот пара примеров.

Щелкните здесь, чтобы увидеть другой прямоугольник с интересными свойствами.


© Джо Эдкинс 2007 — Вернуться к индексу номеров

.
Золотая спираль фибоначчи: Золотая спираль Фибоначчи в Timing Solution: timing_solution — LiveJournal

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Пролистать наверх