Производные, определение производных, дифференциалов, правила для дифференциалов
Определение производной
Если y = f(x), производная функции y или f(x) по отношению к x определяется как
13.1
где h = Δx. Производная также обозначается как y’, df/dx от f'(x). Процесс взятия производной называется дифференцированием.
В нижеследующем u, v, w есть функции x; a, b, c, n — константы [ограниченные, если указано]; e = 2.71828… есть натуральная основа логарифмов; ln u — натуральный логарифм u [т.е. логарифм по основанию е] где предполагается, что u > 0 и все углы — в радианах.
Производные тригонометрических и обратных тригонометрических функцийПроизводные экспоненциальных и логарифмических функцийПроизводные гиперболических и обратных гиперболических функцийВторая, третья и более высокие производные определяется следующим образом.
13.43 Вторая производная = (d/dx).(dy/dx) = d2y/dx2 = f»(x) = y »
13.44 Третья производная = (d/dx).(d2y/dx2) = d3/dx3 = f»'(x) = y»’
13.45 n-ая производная = (d/dx).(dn — 1
Пусть Dp с оператором dp/dxp так, что DP u = dpu/dxp = p-ый дериватив u. Тогда
13.46
где есть биномиальные коэффициенты.
Как особый случай, мы имеем
13.47
13.48
Пусть y = f(x) и Δy = f(x + Δx) — f(x). Тогда
13.49 Δy/Δx = [f(x + Δx) — f(x)]/Δx = f'(x) + ε = dy/dx + ε
где ε → 0 когда Δx → 0. Таким образом,
13.50 Δy = f'(x)Δx + εΔx
Если мы назовем Δx = dx дифференциалом x, тогда мы определяем дифференциал y как
13.
51 dy = f'(x)dx
Правила для дифференциалов
Правила для дифференциалов аналогичны правилам для производных. В качестве примера отметим, что
Частные производные
Пусть f(x, y) будет функцией двух переменных x и y. Тогда мы определяем частную производную f(x, y) по x, сохраняя у постоянным, как
Подобно, частная производная f(x, y) по y, сохраняя x постоянным, будет
13.59
Частные производные высших порядков могут быть определены следующим образом.
13.60
13.61
Результаты в 13.61 будут равны, если функция и ее частные производные являются непрерывными, т.е. в этом случае порядок дифференцирования не имеет значения.
Дифференциал f(x, y) определяется как
13.62
где dx = Δx и dy = Δy.
Применение к функциям, имеющим более чем две переменные, в точности аналогично.
Производная как смысл жизни или что такое дифференциал(d) / Хабр
Пролог:
Эта одна из статей серии «Производная как смысл жизни», сначала я хотел сделать одну огромную статью про почти все темы по дифференцированию, но я передумал и сделаю несколько статей, возможно так даже будет легче для людей которые пытаются найти конкретную для себя тему.
Начало
Для начала лучше ознакомиться со статьей о самой прозводной(скоро будет). Ну если вы ознакомились, или уже были ознакомлены то идем дальше.
Как мы уже знаем формула записи производной выглядит так:
-напоминаю, что Δx — приращение аргумента, Δy — приращение функции.
Мы должны понимать, что если мы уберем предел, то к f'(x) прибавиться коофициент, я ее называю «неточность».
Так же вполне логично, что при Δx->0, β->0, так как чем меньше мы делаем разницу между x и x₀, тем меньше значение «неточности»(в статье о производной об этом подробнее рассказано).
Теперь выразим из этого равенства приращение функции(Δy):
И на этом следует пока остановиться и рассмотреть график.
Смотрим дифференциалу в лицо
Расмотрим такой график:
Как мы знаем производная в точке равняется значению тангенса угла в этой точке, то есть f'(x)=tg(α). Так что давайте обозначим производную, ну и приращения которыми она ограничена.
Как мы видим приращение функции(Δy) как бы разделено на две части: BC и CD.
И ведь по-сути нам ведь интересна именно та часть, которая показывает на сколько изменился у относительно касательной — то есть BC, а CD — это лишь та «погрешность» которая нам не особо интересна, поэтому введем понятие дифференциала:
Дифференциал(d) — это линейная часть приращения функции.
Дифференциал функции(dy) — это главная линейная часть приращения функции.
Зная это введем обозначение на графике:
Вернемся к равенству
BD = Δy и мы знаем, что BD = BC + CD, а значит Δy = BC + CD, где BC мы назвали главной линейной частью приращения функции(dy), следовательно Δy = dy + βΔx.
Из формулы мы понимаем, что dy=f'(x)Δx.
Хорошо, мы определили чему равен дифференциал функции, а что же тогда является дифференциалом независимой пременной функции(аргумента).
Графически мы видим, что Δx никак не разделена касательной, то есть Δx это полное приращение функции, а значит dx = Δx.
Так же мы можем найти по формуле: dx = (x)’Δx = 1*Δx = Δx
И зная, что dy = f'(x)dx, мы можем выразить производную: f'(x)=dy/dx.
Немного пределов
Добавим с левой части и с правой предел
Тогда:
В самом начале мы сказали, что если β->0, то Δx->0 и наборот, а значит:
Зная, что f'(x)Δx = dy, мы делаем вывод, что:
Тогда так же мы можем сказать, что дифференциал функции — это приращения функции у которой приращение аргумента стремиться к нулю, ну и это следуется из того же графика.
В свою очередь dx по прежнему Δx
Исчисление— Что означают символы d/dx и dy/dx?
спросил
Изменено 1 год, 2 месяца назад
Просмотрено 133 тыс. раз
$\begingroup$
Ладно, это может прозвучать глупо, но мне нужна небольшая помощь.
..
Что означают $\Large \frac{d}{dx}$ и $\Large \frac{dy}{dx}$?
Мне нужно подробное объяснение. Спасибо.
- исчисление
- обозначение
$\endgroup$
1
$\begingroup$
Символ $$ \ гидроразрыв {dy} {dx} $$ означает производную от $y$ по $x$. Если $y = f(x)$ является функцией $x$, то символ определяется как $$ \frac{dy}{dx} = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h) — f(x)}{h}. $$ и это (опять же) называется производной от $y$ или производной от $f$. Обратите внимание, что в данном случае это снова функция $x$. Обратите внимание, что здесь мы не определяем это как $dy$ разделить на $dx$. Сами по себе $dy$ и $dx$ не имеют никакого значения (здесь). Мы берем $\frac{dy}{dx}$ как отдельный символ, который нельзя разделить на части.
Символ
$$
\ гидроразрыв {d} {dx}
$$
можно рассматривать как оператора.
Вы можете применить этот оператор к (дифференцируемой) функции. И вы получаете новую функцию. Итак, если $f$ является (дифференцируемой) функцией, то имеет смысл «применить» $\frac{d}{dx}$ к $f$ и написать
$$
\frac{d}{dx}f
$$
Если вы пишете $y = f(x)$, то это то же самое, что и
$$
\frac{d}{dx}y = \frac{dy}{dx}.
$$
$\endgroup$
5
$\begingroup$
$\frac{d}{dx}$ означает дифференцировать по $x$.
$\frac{dy}{dx}$ означает дифференцировать $y$ по $x$.
У вас есть конкретные примеры, для которых вам нужно рассчитать эти два? Возможно, вам было бы легче понять, если бы я мог объяснить это на нескольких примерах.
$\endgroup$
$\begingroup$
$d f$ означает дифференциал функции $f$. По определению $(df)(x) = \lambda t\in\mathbb{R}:f'(x)\cdot t$.
Другими словами, дифференциал — это линейная функция (дополнительной переменной, обозначенной здесь как $t$), тангенс которой является производной от $f$.
$d$ сам по себе означает дифференциальный оператор (функция аргумента $f$).
Упражнение. Покажите, что $\frac{df}{dx}=f’$.
$\endgroup$
2
$\begingroup$
Мне нравится смотреть на это так: $dx$ и $dy$ — это просто представления изменения в соответствии с осью $x$ или $y$. Если вы возьмете символ производной $$\frac{dy}{dx}$$ и сравните его с формулой для наклона: $$\frac{f(x_1) — f(x_2)}{x_1 — x_2} $$ мы можем ясно видеть, что $dy$ и $dx$ отображают изменение $y$ и изменение $x$ соответственно.
$\endgroup$
$\begingroup$
Если $y=f(x)$, т.е. где $y$ — уравнение (зависимая переменная), а $x$ — независимая переменная.
Значение $x$ изменяет $y$.
Теперь $\frac{dy}{dx}$ означает дифференцировать уравнение $y$ по $x$.
$\frac{d}{dx}$ означает дифференцировать по $x$.
Точно так же $\log x$ означает найти натуральный логарифм $x$, $\frac{d}{dx} x$ означает найти производную от $x$.
Надеюсь, вы понимаете
$\endgroup$
2
исчисление — d/dx Обозначение Объяснение, пожалуйста?
$\begingroup$
Я умею выводить, умею интегрировать. Я знаю, что делать, когда вижу $\frac{d}{dx}$ и тому подобное, но что это на самом деле означает? Я знаю, что это означает что-то вроде получения в терминах $x$, но в чем разница между $\frac{dy}{dx}$ и $\frac{d}{dx}$?
Если бы кто-нибудь мог дать мне объяснение с точки зрения непрофессионала, это было бы очень полезно, так как это всегда озадачивало меня.
В общем, что означает это $d$?
- исчисление
3
$\begingroup$
Если у вас есть функция $f$ с независимой переменной $x$, то
$$
\frac{d}{dx} f(x)
$$
означает производную от $f$ по $x$. Мы также иногда пишем это как $f'(x)$. Теперь, если у вас есть такая функция, как
$$
f (х) = ах,
$$
тогда производная
$$
f'(x) = а.
$$
Это понятно, потому что при написании $f(x)$ мы указали, что функция $f$ является функцией переменной $x$. Если бы я вместо этого сказал вам, что
$$
у = топор
$$
и я просто попросил вас найти производную, что бы вы сделали? Вероятно, вы снова просто скажете, что производная равна $a$. Но в этой ситуации на самом деле непонятно, что является переменной, а что константой. И поэтому мы можем написать
$$
\frac{dy}{dx} \quad\text{or}\quad \frac{d}{dx}y
$$
чтобы указать, что мы рассматриваем $y$ как функцию переменной $x$, и мы рассматриваем $a$ как константу (в случае функций с несколькими переменными мы действительно должны рассматривать частные производные в этом случае).
$\endgroup$
$\begingroup$
$\dfrac{d}{dx}$ — это то, что аналитики назвали бы оператором, что означает, что вы даете ему элемент определенного векторного пространства, а он дает вам другой элемент в этом векторном пространстве. Так что же такое векторное пространство? Ну, векторное пространство — это любая коллекция объектов, которые удовлетворяют определенным аксиомам (например, вы можете сложить два из этих объектов вместе, чтобы получить еще один объект в коллекции, вы можете умножить объект на число, чтобы получить другой объект в коллекции, каждый объект имеет отрицательное значение и т. д.). Векторные пространства в некотором роде являются обобщением действительных чисел.
Не говоря уже об этом, как это связано с $\dfrac{d}{dx}$? Ну, вы можете посмотреть на $\dfrac{d}{dx}f$ для некоторой функции $f$.