Фокальный параметр это: Фокальный параметр — это… Что такое Фокальный параметр?

Содержание

Фокальный параметр — это… Что такое Фокальный параметр?

Кривая второго порядка — геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида

a11x2 + a22y2 + 2a12xy + 2a13x + 2a23y + a33 = 0,

в котором по крайней мере один из коэффициентов отличен от нуля.

История

Впервые кривые второго порядка изучались одним из учеников Платона. Его работа заключалась в следующем: если взять две пересекающиеся прямые и провращать их вокруг биссектрисы угла, ими образованного, то получится конусная поверхность. Если же сечь эту поверхность плоскостью, то в сечении получаются различные геометрические фигуры, а именно эллипс, окружность, парабола, гипербола и несколько вырожденных фигур (см. ниже).

Однако эти научные знания нашли применение лишь в XVII, когда стало известно, что планеты движутся по эллиптическим траекториям, а пушечный снаряд летит по параболической. Еще позже стало известно, что если придать телу первую космическую скорость, то оно будет двигаться по окружности вокруг Земли, при увеличении этой скорости — по эллипсу, а по достижению второй космической скорости тело по параболе покинет поле притяжения Земли.

Инварианты

Вид кривой зависит от четырёх инвариантов:

  • инварианты относительно поворота и сдвига системы координат:
  • инвариант относительно поворота системы координат (полуинвариант):

Характеристическая квадратичная форма и характеристическое уравнение

Многие важные свойства кривых второго порядка могут быть изучены при помощи характеристической квадратичной формы, соответствующей уравнению кривой

F0(x,y) = a11x2 + 2a12xy + a22y2.

Так, например, невырожденная кривая () оказывается действительным эллипсом, мнимым эллипсом, гиперболой или параболой в зависимости от того, будет ли

F0(x,y) положительно определённой, отрицательно определённой, неопределённой или полуопределённой квадратичной формой, что устанавливается по корням характеристического уравнения:

или

λ2 − Δλ + D = 0.

Корни этого уравнения являются собственными значениями действительной симметричной матрицы

и, как следствие этого всегда действительны.

Классификация кривых второго порядка

Невырожденные кривые

Кривая второго порядка называется невырожденной, если Могут возникать следующие варианты:

  • Невырожденная кривая второго порядка называется центральной если
    • эллипс — при условии D > 0 и ΔI < 0;
      • частный случай эллипса — окружность — при условии I2 = 4D или a11 = a22,a12 = 0;
    • мнимый эллипс (ни одной действительной точки) — при условии Δ
      I
      > 0;
    • гипербола — при условии D < 0;
  • Невырожденная кривая второго порядка называется нецентральной если ΔI = 0

Вырожденные кривые

Кривая второго порядка называется вырожденной, если Δ = 0. Могут возникать следующие варианты:

  • действительная точка на пересечении двух мнимых прямых (вырожденный эллипс) — при условии D > 0;
  • пара действительная пересекающихся прямых (вырожденная гипербола) — при условии D < 0;
  • вырожденная парабола — при условии D = 0:

Диаметры и центр кривой второго порядка

Диаметром кривой второго порядка называется геометрическое место середин параллельных хорд этой кривой. Полученный таким образом диаметр называется сопряжённым этим хордам или их направлению. Диаметр, сопряжённый хордам, образующих угол θ с положительным направлением оси Ox, определяется уравнением:

Если выпоняется условие то все диаметры кривой пересекаются в одной точке —

центре, а сама кривая называется центральной. В противном случае (D = 0) все диаметры кривой либо парралельны, либо совпадают.

Координаты центра определяются системой уравнений:

Решая эту систему относительно x0 и y0, получим:

Если кривая центральная, то перенос начала координат в её центр приводит уравнение к виду

где — координаты относительно новой системы.

Главные оси и вершины кривой второго порядка

Главной осью кривой второго порядка называется её диаметр, перпендикулярный к сопряжённым к ним хордам. Этот диаметр является осью симметрии кривой. Каждая центральная кривая либо имеет две взаимно перпендикулярные оси, либо все диаметры являются главными осями. В последнем случае кривая является окружностью. Нецентральные кривые имеют лишь одну главную ось. Точки пересечения главной оси с самой кривой называются её вершинами

.

Направляющие косинусы нормалей к главным осям удовлетворяют уравнениям

где λ — отличный от нуля корень характеристического уравнения. Направления главных осей и сопряжённых им хорд называются главными направлениями кривой. Угол между положительным направлением оси Ox и каждым из двух главных направлений определяется формулой

Из всех видов кривых второго порядка только окружность имеет неопределённые главные направления.

Уравнения

Общее уравнение в матричном виде

Общее уравнение кривой можно записать в матричном виде

Канонический вид

Вводом новой системы координат можно привести уравнения кривых второго порядка к стандартному каноническому виду (см. таблицу). Параметры канонических уравнений весьма просто выражаются через инварианты и корни характеристического уравнения (см. выше раздел «Характеристическая квадратичная форма и характеристическое уравнение»).

Для центральной кривой в каноническом виде её центр находится в начале координат.

Через эксцентриситет

Каноническое уравнение любой невырожденной кривой второго порядка при помощи подходящего преобразования начала координат может быть приведено к виду

В этом случае кривая проходит через начало новой системы координат, а ось Ox является осью симметрии кривой. Данное уравнение выражает тот факт, что невырожденная кривая второго порядка является геометрическим местом точек, отношение расстояний которых (эксцентриситет) от данной точки (фокуса) и от данной прямой (директрисы) постоянно. Кроме того, при кривая является окружностью, при — эллипсом, при — параболой, при — гиперболой.

Уравнение директриссы кривой выражается уравнением а координаты фокуса Директрисса перпендикулярна оси симметрии, проходящей через фокус и вершину кривой (фокальная ось). Расстояние между фокусом и директриссой равно

Если кривая второго порядка центральная (эллипс или гипербола), то прямая

является осью симметрии и, следовательно, кривая имеет два фокуса и две директриссы.

Параметр p называется фокальным параметром и равен половине длины хорды, проходящей через фокус и перпендикулярной к фокальной оси (фокальная хорда).

Полярные координаты

Если взять в качестве полюса полярной системы координат фокус невырожденной кривой второго порядка, а в качестве полярной оси — её ось симетрии, то в полярных координатах ρ, φ уравнение кривой будет иметь вид

Кривая, заданная своими пятью точками

Кривая второго порядка вполне определяется пятью своими точками, если никакие четыре из них не лежат на одной прямой. Уравнение кривой, проходящей через точки и

Кривая, заданная пятью точками вырождается в том и только в том случае, когда три из заданных точек лежат на одной прямой.

Касательные и нормали

Уравнение касательной к кривой второго порядка f(x,y) в её точке имеет вид:

Уравнение нормали к кривой второго порядка в точке имеет вид

Полюсы и поляры

Уравнение

помимо касательной опряделяет прямую, называемую полярой точки относительно кривой второго порядка, независимо от того, лежит ли эта точка на кривой или нет. При этом точка называется полюсом этой прямой. Поляра точки кривой есть её касательная в этой точке.

Теоремы о полюсах и полярах:

  1. Если прямая, проведённая через полюс P, пересекает поляру в точке Q, а кривую второго порядка — в точках R1 и R2, то точки P и Q гармонически разделяют отрезок R1R2, т. е. выполняется условие
  2. Если точка лежит на некоторой прямой, то её поляра проходит через полюс этой прямой. Если прямая проходит через некоторую точку, то её полюс лежит на поляре этой точки.
  3. Диаметр кривой второго порядка есть поляра бесконечно удалённой точки, через которую проходят сопряжённые ему хорды, а центр кривой есть полюс бесконечно удалённой прямой.
  4. Фокус кривой есть центр пучка, обладающего тем свойством, что полюс любой его прямой принадлежит перпендикулярной к ней прямой пучка. Директрисса есть поляра фокуса.

Из этих утверждений, в частности, следует, что:

  1. если через точку можно провести две касательные к кривой, то то поляра этой точки проходит через точки касания;
  2. касательные к кривой в концах диаметра параллельны сопряжённым ему хордам;
  3. точка пересечения касательных к кривой в концах любой её хорды, проходящей через фокус, лежит на директриссе;
  4. каждая хорда, проходящая через фокус, перпендикулярна к прямой, проведённой через её фокус и точку пересечения касательных в концах хорды.

Теоремы, связанные с кривыми второго порядка

  • Теорема Паскаля: точки пересечения противоположных сторон шестиугольника, вписанного в кривую второго порядка, лежат на одной прямой
    .
  • Теорема Брианшона: диагонали, проходящие через противоположные вершины шестиугольника, описанного около кривой второго порядка, пересекаются в одной точке.

См. также

Ссылки

Литература

  • Корн Г., Корн Т. Кривые второго порядка (конические сечения) // Справочник по математике. — 4-е издание. — М: Наука, 1978. — С. 64-69.

Wikimedia Foundation. 2010.

Фокальный параметр — это… Что такое Фокальный параметр?

Кривая второго порядка — геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида

a11x2 + a22y2 + 2a12xy + 2a13x + 2a23y + a33 = 0,

в котором по крайней мере один из коэффициентов отличен от нуля.

История

Впервые кривые второго порядка изучались одним из учеников Платона. Его работа заключалась в следующем: если взять две пересекающиеся прямые и провращать их вокруг биссектрисы угла, ими образованного, то получится конусная поверхность. Если же сечь эту поверхность плоскостью, то в сечении получаются различные геометрические фигуры, а именно эллипс, окружность, парабола, гипербола и несколько вырожденных фигур (см. ниже).

Однако эти научные знания нашли применение лишь в XVII, когда стало известно, что планеты движутся по эллиптическим траекториям, а пушечный снаряд летит по параболической. Еще позже стало известно, что если придать телу первую космическую скорость, то оно будет двигаться по окружности вокруг Земли, при увеличении этой скорости — по эллипсу, а по достижению второй космической скорости тело по параболе покинет поле притяжения Земли.

Инварианты

Вид кривой зависит от четырёх инвариантов:

  • инварианты относительно поворота и сдвига системы координат:
  • инвариант относительно поворота системы координат (полуинвариант):

Характеристическая квадратичная форма и характеристическое уравнение

Многие важные свойства кривых второго порядка могут быть изучены при помощи характеристической квадратичной формы, соответствующей уравнению кривой

F0(x,y) = a11x2 + 2a12xy + a22y2.

Так, например, невырожденная кривая () оказывается действительным эллипсом, мнимым эллипсом, гиперболой или параболой в зависимости от того, будет ли F0(x,y) положительно определённой, отрицательно определённой, неопределённой или полуопределённой квадратичной формой, что устанавливается по корням характеристического уравнения:

или

λ2 − Δλ + D = 0.

Корни этого уравнения являются собственными значениями действительной симметричной матрицы

и, как следствие этого всегда действительны.

Классификация кривых второго порядка

Невырожденные кривые

Кривая второго порядка называется невырожденной, если Могут возникать следующие варианты:

  • Невырожденная кривая второго порядка называется центральной если
    • эллипс — при условии D > 0 и ΔI < 0;
      • частный случай эллипса — окружность — при условии I2 = 4D или a11 = a22,a12 = 0;
    • мнимый эллипс (ни одной действительной точки) — при условии ΔI > 0;
    • гипербола — при условии D < 0;
  • Невырожденная кривая второго порядка называется нецентральной если ΔI = 0

Вырожденные кривые

Кривая второго порядка называется вырожденной, если Δ = 0. Могут возникать следующие варианты:

  • действительная точка на пересечении двух мнимых прямых (вырожденный эллипс) — при условии D > 0;
  • пара действительная пересекающихся прямых (вырожденная гипербола) — при условии D < 0;
  • вырожденная парабола — при условии D = 0:

Диаметры и центр кривой второго порядка

Диаметром кривой второго порядка называется геометрическое место середин параллельных хорд этой кривой. Полученный таким образом диаметр называется сопряжённым этим хордам или их направлению. Диаметр, сопряжённый хордам, образующих угол θ с положительным направлением оси Ox, определяется уравнением:

Если выпоняется условие то все диаметры кривой пересекаются в одной точке — центре, а сама кривая называется центральной. В противном случае (D = 0) все диаметры кривой либо парралельны, либо совпадают.

Координаты центра определяются системой уравнений:

Решая эту систему относительно x0 и y0, получим:

Если кривая центральная, то перенос начала координат в её центр приводит уравнение к виду

где — координаты относительно новой системы.

Главные оси и вершины кривой второго порядка

Главной осью кривой второго порядка называется её диаметр, перпендикулярный к сопряжённым к ним хордам. Этот диаметр является осью симметрии кривой. Каждая центральная кривая либо имеет две взаимно перпендикулярные оси, либо все диаметры являются главными осями. В последнем случае кривая является окружностью. Нецентральные кривые имеют лишь одну главную ось. Точки пересечения главной оси с самой кривой называются её вершинами.

Направляющие косинусы нормалей к главным осям удовлетворяют уравнениям

где λ — отличный от нуля корень характеристического уравнения. Направления главных осей и сопряжённых им хорд называются главными направлениями кривой. Угол между положительным направлением оси Ox и каждым из двух главных направлений определяется формулой

Из всех видов кривых второго порядка только окружность имеет неопределённые главные направления.

Уравнения

Общее уравнение в матричном виде

Общее уравнение кривой можно записать в матричном виде

Канонический вид

Вводом новой системы координат можно привести уравнения кривых второго порядка к стандартному каноническому виду (см. таблицу). Параметры канонических уравнений весьма просто выражаются через инварианты и корни характеристического уравнения (см. выше раздел «Характеристическая квадратичная форма и характеристическое уравнение»).

Для центральной кривой в каноническом виде её центр находится в начале координат.

Через эксцентриситет

Каноническое уравнение любой невырожденной кривой второго порядка при помощи подходящего преобразования начала координат может быть приведено к виду

В этом случае кривая проходит через начало новой системы координат, а ось Ox является осью симметрии кривой. Данное уравнение выражает тот факт, что невырожденная кривая второго порядка является геометрическим местом точек, отношение расстояний которых (эксцентриситет) от данной точки (фокуса) и от данной прямой (директрисы) постоянно. Кроме того, при кривая является окружностью, при — эллипсом, при — параболой, при — гиперболой.

Уравнение директриссы кривой выражается уравнением а координаты фокуса Директрисса перпендикулярна оси симметрии, проходящей через фокус и вершину кривой (фокальная ось). Расстояние между фокусом и директриссой равно

Если кривая второго порядка центральная (эллипс или гипербола), то прямая

является осью симметрии и, следовательно, кривая имеет два фокуса и две директриссы.

Параметр p называется фокальным параметром и равен половине длины хорды, проходящей через фокус и перпендикулярной к фокальной оси (фокальная хорда).

Полярные координаты

Если взять в качестве полюса полярной системы координат фокус невырожденной кривой второго порядка, а в качестве полярной оси — её ось симетрии, то в полярных координатах ρ, φ уравнение кривой будет иметь вид

Кривая, заданная своими пятью точками

Кривая второго порядка вполне определяется пятью своими точками, если никакие четыре из них не лежат на одной прямой. Уравнение кривой, проходящей через точки и

Кривая, заданная пятью точками вырождается в том и только в том случае, когда три из заданных точек лежат на одной прямой.

Касательные и нормали

Уравнение касательной к кривой второго порядка f(x,y) в её точке имеет вид:

Уравнение нормали к кривой второго порядка в точке имеет вид

Полюсы и поляры

Уравнение

помимо касательной опряделяет прямую, называемую полярой точки относительно кривой второго порядка, независимо от того, лежит ли эта точка на кривой или нет. При этом точка называется полюсом этой прямой. Поляра точки кривой есть её касательная в этой точке.

Теоремы о полюсах и полярах:

  1. Если прямая, проведённая через полюс P, пересекает поляру в точке Q, а кривую второго порядка — в точках R1 и R2, то точки P и Q гармонически разделяют отрезок R1R2, т. е. выполняется условие
  2. Если точка лежит на некоторой прямой, то её поляра проходит через полюс этой прямой. Если прямая проходит через некоторую точку, то её полюс лежит на поляре этой точки.
  3. Диаметр кривой второго порядка есть поляра бесконечно удалённой точки, через которую проходят сопряжённые ему хорды, а центр кривой есть полюс бесконечно удалённой прямой.
  4. Фокус кривой есть центр пучка, обладающего тем свойством, что полюс любой его прямой принадлежит перпендикулярной к ней прямой пучка. Директрисса есть поляра фокуса.

Из этих утверждений, в частности, следует, что:

  1. если через точку можно провести две касательные к кривой, то то поляра этой точки проходит через точки касания;
  2. касательные к кривой в концах диаметра параллельны сопряжённым ему хордам;
  3. точка пересечения касательных к кривой в концах любой её хорды, проходящей через фокус, лежит на директриссе;
  4. каждая хорда, проходящая через фокус, перпендикулярна к прямой, проведённой через её фокус и точку пересечения касательных в концах хорды.

Теоремы, связанные с кривыми второго порядка

  • Теорема Паскаля: точки пересечения противоположных сторон шестиугольника, вписанного в кривую второго порядка, лежат на одной прямой.
  • Теорема Брианшона: диагонали, проходящие через противоположные вершины шестиугольника, описанного около кривой второго порядка, пересекаются в одной точке.

См. также

Ссылки

Литература

  • Корн Г., Корн Т. Кривые второго порядка (конические сечения) // Справочник по математике. — 4-е издание. — М: Наука, 1978. — С. 64-69.

Wikimedia Foundation. 2010.

Фокальный параметр — это… Что такое Фокальный параметр?

Кривая второго порядка — геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида

a11x2 + a22y2 + 2a12xy + 2a13x + 2a23y + a33 = 0,

в котором по крайней мере один из коэффициентов отличен от нуля.

История

Впервые кривые второго порядка изучались одним из учеников Платона. Его работа заключалась в следующем: если взять две пересекающиеся прямые и провращать их вокруг биссектрисы угла, ими образованного, то получится конусная поверхность. Если же сечь эту поверхность плоскостью, то в сечении получаются различные геометрические фигуры, а именно эллипс, окружность, парабола, гипербола и несколько вырожденных фигур (см. ниже).

Однако эти научные знания нашли применение лишь в XVII, когда стало известно, что планеты движутся по эллиптическим траекториям, а пушечный снаряд летит по параболической. Еще позже стало известно, что если придать телу первую космическую скорость, то оно будет двигаться по окружности вокруг Земли, при увеличении этой скорости — по эллипсу, а по достижению второй космической скорости тело по параболе покинет поле притяжения Земли.

Инварианты

Вид кривой зависит от четырёх инвариантов:

  • инварианты относительно поворота и сдвига системы координат:
  • инвариант относительно поворота системы координат (полуинвариант):

Характеристическая квадратичная форма и характеристическое уравнение

Многие важные свойства кривых второго порядка могут быть изучены при помощи характеристической квадратичной формы, соответствующей уравнению кривой

F0(x,y) = a11x2 + 2a12xy + a22y2.

Так, например, невырожденная кривая () оказывается действительным эллипсом, мнимым эллипсом, гиперболой или параболой в зависимости от того, будет ли F0(x,y) положительно определённой, отрицательно определённой, неопределённой или полуопределённой квадратичной формой, что устанавливается по корням характеристического уравнения:

или

λ2 − Δλ + D = 0.

Корни этого уравнения являются собственными значениями действительной симметричной матрицы

и, как следствие этого всегда действительны.

Классификация кривых второго порядка

Невырожденные кривые

Кривая второго порядка называется невырожденной, если Могут возникать следующие варианты:

  • Невырожденная кривая второго порядка называется центральной если
    • эллипс — при условии D > 0 и ΔI < 0;
      • частный случай эллипса — окружность — при условии I2 = 4D или a11 = a22,a12 = 0;
    • мнимый эллипс (ни одной действительной точки) — при условии ΔI > 0;
    • гипербола — при условии D < 0;
  • Невырожденная кривая второго порядка называется нецентральной если ΔI = 0

Вырожденные кривые

Кривая второго порядка называется вырожденной, если Δ = 0. Могут возникать следующие варианты:

  • действительная точка на пересечении двух мнимых прямых (вырожденный эллипс) — при условии D > 0;
  • пара действительная пересекающихся прямых (вырожденная гипербола) — при условии D < 0;
  • вырожденная парабола — при условии D = 0:

Диаметры и центр кривой второго порядка

Диаметром кривой второго порядка называется геометрическое место середин параллельных хорд этой кривой. Полученный таким образом диаметр называется сопряжённым этим хордам или их направлению. Диаметр, сопряжённый хордам, образующих угол θ с положительным направлением оси Ox, определяется уравнением:

Если выпоняется условие то все диаметры кривой пересекаются в одной точке — центре, а сама кривая называется центральной. В противном случае (D = 0) все диаметры кривой либо парралельны, либо совпадают.

Координаты центра определяются системой уравнений:

Решая эту систему относительно x0 и y0, получим:

Если кривая центральная, то перенос начала координат в её центр приводит уравнение к виду

где — координаты относительно новой системы.

Главные оси и вершины кривой второго порядка

Главной осью кривой второго порядка называется её диаметр, перпендикулярный к сопряжённым к ним хордам. Этот диаметр является осью симметрии кривой. Каждая центральная кривая либо имеет две взаимно перпендикулярные оси, либо все диаметры являются главными осями. В последнем случае кривая является окружностью. Нецентральные кривые имеют лишь одну главную ось. Точки пересечения главной оси с самой кривой называются её вершинами.

Направляющие косинусы нормалей к главным осям удовлетворяют уравнениям

где λ — отличный от нуля корень характеристического уравнения. Направления главных осей и сопряжённых им хорд называются главными направлениями кривой. Угол между положительным направлением оси Ox и каждым из двух главных направлений определяется формулой

Из всех видов кривых второго порядка только окружность имеет неопределённые главные направления.

Уравнения

Общее уравнение в матричном виде

Общее уравнение кривой можно записать в матричном виде

Канонический вид

Вводом новой системы координат можно привести уравнения кривых второго порядка к стандартному каноническому виду (см. таблицу). Параметры канонических уравнений весьма просто выражаются через инварианты и корни характеристического уравнения (см. выше раздел «Характеристическая квадратичная форма и характеристическое уравнение»).

Для центральной кривой в каноническом виде её центр находится в начале координат.

Через эксцентриситет

Каноническое уравнение любой невырожденной кривой второго порядка при помощи подходящего преобразования начала координат может быть приведено к виду

В этом случае кривая проходит через начало новой системы координат, а ось Ox является осью симметрии кривой. Данное уравнение выражает тот факт, что невырожденная кривая второго порядка является геометрическим местом точек, отношение расстояний которых (эксцентриситет) от данной точки (фокуса) и от данной прямой (директрисы) постоянно. Кроме того, при кривая является окружностью, при — эллипсом, при — параболой, при — гиперболой.

Уравнение директриссы кривой выражается уравнением а координаты фокуса Директрисса перпендикулярна оси симметрии, проходящей через фокус и вершину кривой (фокальная ось). Расстояние между фокусом и директриссой равно

Если кривая второго порядка центральная (эллипс или гипербола), то прямая

является осью симметрии и, следовательно, кривая имеет два фокуса и две директриссы.

Параметр p называется фокальным параметром и равен половине длины хорды, проходящей через фокус и перпендикулярной к фокальной оси (фокальная хорда).

Полярные координаты

Если взять в качестве полюса полярной системы координат фокус невырожденной кривой второго порядка, а в качестве полярной оси — её ось симетрии, то в полярных координатах ρ, φ уравнение кривой будет иметь вид

Кривая, заданная своими пятью точками

Кривая второго порядка вполне определяется пятью своими точками, если никакие четыре из них не лежат на одной прямой. Уравнение кривой, проходящей через точки и

Кривая, заданная пятью точками вырождается в том и только в том случае, когда три из заданных точек лежат на одной прямой.

Касательные и нормали

Уравнение касательной к кривой второго порядка f(x,y) в её точке имеет вид:

Уравнение нормали к кривой второго порядка в точке имеет вид

Полюсы и поляры

Уравнение

помимо касательной опряделяет прямую, называемую полярой точки относительно кривой второго порядка, независимо от того, лежит ли эта точка на кривой или нет. При этом точка называется полюсом этой прямой. Поляра точки кривой есть её касательная в этой точке.

Теоремы о полюсах и полярах:

  1. Если прямая, проведённая через полюс P, пересекает поляру в точке Q, а кривую второго порядка — в точках R1 и R2, то точки P и Q гармонически разделяют отрезок R1R2, т. е. выполняется условие
  2. Если точка лежит на некоторой прямой, то её поляра проходит через полюс этой прямой. Если прямая проходит через некоторую точку, то её полюс лежит на поляре этой точки.
  3. Диаметр кривой второго порядка есть поляра бесконечно удалённой точки, через которую проходят сопряжённые ему хорды, а центр кривой есть полюс бесконечно удалённой прямой.
  4. Фокус кривой есть центр пучка, обладающего тем свойством, что полюс любой его прямой принадлежит перпендикулярной к ней прямой пучка. Директрисса есть поляра фокуса.

Из этих утверждений, в частности, следует, что:

  1. если через точку можно провести две касательные к кривой, то то поляра этой точки проходит через точки касания;
  2. касательные к кривой в концах диаметра параллельны сопряжённым ему хордам;
  3. точка пересечения касательных к кривой в концах любой её хорды, проходящей через фокус, лежит на директриссе;
  4. каждая хорда, проходящая через фокус, перпендикулярна к прямой, проведённой через её фокус и точку пересечения касательных в концах хорды.

Теоремы, связанные с кривыми второго порядка

  • Теорема Паскаля: точки пересечения противоположных сторон шестиугольника, вписанного в кривую второго порядка, лежат на одной прямой.
  • Теорема Брианшона: диагонали, проходящие через противоположные вершины шестиугольника, описанного около кривой второго порядка, пересекаются в одной точке.

См. также

Ссылки

Литература

  • Корн Г., Корн Т. Кривые второго порядка (конические сечения) // Справочник по математике. — 4-е издание. — М: Наука, 1978. — С. 64-69.

Wikimedia Foundation. 2010.

Эллипс. Формулы, признаки и свойства эллипсa

F1 и F2фокусы эллипсa

Оси эллипсa.

А1А2 = 2a — большая ось эллипса (проходит через фокусы эллипса)

B1B2 = 2b — малая ось эллипса (перпендикулярна большей оси эллипса и проходит через ее центр)

a — большая полуось эллипса

b — малая полуось эллипса

O — центр эллипса (точка пересечения большей и малой осей эллипса)

Вершины эллипсa A1, A2, B1, B2 — точки пересечения эллипсa с малой и большой осями эллипсa

Диаметр эллипсa — отрезок, соединяющий две точки эллипса и проходящий через его центр.

Фокальное расстояние c — половина длины отрезка, соединяющего фокусы эллипсa.

Эксцентриситет эллипсa e характеризует его растяженность и определяется отношением фокального расстояния c к большой полуоси a. Для эллипсa эксцентриситет всегда будет 0 e e = 0, для параболы e = 1, для гиперболы e > 1.

Фокальные радиусы эллипсa r1, r2 — расстояния от точки на эллипсе до фокусов.

Радиус эллипсa R — отрезок, соединяющий центр эллипсa О с точкой на эллипсе.
R = ab = b
√a2sin2φ + b2cos2φ√1 — e2cos2φ

где e — эксцентриситет эллипсa, φ — угол между радиусом и большой осью A1A2. Фокальный параметр эллипсa p — отрезок который выходит из фокуса эллипсa и перпендикулярный большой полуоси: Коэффициент сжатия эллипсa (эллиптичность) k — отношение длины малой полуоси к большой полуоси. Так как малая полуось эллипсa всегда меньше большей, то k k = 1:

k = √1 — e2


где e — эксцентриситет. Сжатие эллипсa (1 — k ) — величина, которая равная разности между единицей и эллиптичностью:

Директрисы эллипсa — две прямые перпендикулярные фокальной оси эллипса, и пересекающие ее на расстоянии ae от центра эллипса. Расстояние от фокуса до директрисы равно pe.

geometry24 — Стр 7

Таким образом,всегда можно выбрать собственный вектор,соответствующий данному собственному числу λ,длина которого равна единице.Для этого просто сле-

дует произвольный собственный вектор поделить на его длину,иначе говоря,взять p

вектор X0 = X/ (X, X).

Лемма36.2. Все собственные числа матрицы Q вещественные,а собственные векторы,принадлежащие различным собственным числам,ортогональны.

Доказательство. Найдем

 

«

 

«

 

 

 

 

 

 

 

χQ(λ) =

«

a11 − λ a12

«

= λ2

 

(a11 + a22)λ + (a11a22

 

a2

).

 

«

a12

a22

λ «

 

 

 

12

 

Вычислим дискриминант»

полинома»

χQ(λ):

 

 

 

D(χQ) = (a11 + a22)2 − 4(a11a22 − a212) = (a11 − a22)2 + 4a212 ≥ 0.

Тем самым,все собственные числа матрицы Q вещественные.Более того,они совпадают тогда и только тогда,когда a12 = 0 и a11 = a22 ,во всех остальных случаях собственные числа различны.

Пусть собственные векторы X1 и X2 принадлежат соответственно собственным числам λ1 и λ2 (λ1 6= λ2 ),т.е.

QX1 = λ1X1, QX2 = λ2X2.

Транспонируем первое равенство и учтем,что матрица Q симметрическая( QT = Q): X1T Q = λ1X1T .Рассмотрим число X1T QX2 .С одной стороны,

X1T QX2 = (X1T Q)X2 = λ1X1T X2,

а с другой

X1T QX2 = X1T (QX2) = X1T (λ2X2) = λ2X1T X2,

откуда получаем

λ1X1T X2 = λ2X1T X2, или (λ1 − λ2)X1T X2 = 0.

С учетом того,что λ1 6= λ2 ,имеем X1T X2 = (X1, X2) = 0,т.е.векторы X1 и X2 ортогональны.

Для кривых первого порядка,то есть прямых,было получено,что два уравнения F = 0 и G = 0 задают одну и ту же прямую тогда и только тогда,когда F = λG для некоторого ненулевого множителя λ.Для кривых второго порядка это не так, поскольку общее уравнение второй степени может определять и одну точку,и пустое множество точек.

Пример36.1. Мнимый эллипс задается в некоторой прямоугольной системе коор-

динат уравнением вида x2 + y2 = −1. Мнимые параллельные прямые задаются урав- a2 b2

нением y2 + a2 = 0, a 6= 0.Оба уравнения задают на вещественной плоскости пустое множество точек,но они имеют разные множества комплексных решений.

Определение. Квадрикой будем называть множество уравнений второй степени, каждое из которых получается из любого другого умножением на некоторый ненулевой множитель.

Каноническое уравнение эллипса с примерами решения

Содержание:

  1. Эллипс
  2. Директрисы эллипса

Каноническое уравнение эллипса (координатные оси совпадают с осями эллипса):

Параметрические уравнения:

Эллипс

Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух заданных точек есть величина постоянная большая расстояния между этими заданными точками (рис.). Это геометрическое определение выражает фокальное свойство эллипса.

Точки называются фокусами эллипса, расстояние между ними

фокусным расстоянием, середина отрезка — центром эллипса, число — длиной большой оси эллипса (соответственно, число — большой полуосью эллипса). Отрезки соединяющие произвольную точку эллипса с его фокусами, называются фокальными радиусами точки Отрезок, соединяющий две точки эллипса, называется хордой эллипса.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Отношение называется эксцентриситетом эллипса. Из определения следует, что При т.е. при фокусы а также центр совпадают, и эллипс является окружностью радиуса (рис.3.36,6).

Геометрическое определение эллипса, выражающее его фокальное свойство, эквивалентно его аналитическому определению — линии, задаваемой каноническим уравнением эллипса:

Директрисы эллипса

Директрисами эллипса называются две прямые, проходящие параллельно оси ординат канонической системы координат на одинаковом расстоянии от нее. При когда эллипс является окружностью, директрис нет (можно считать, что директрисы бесконечно удалены).

Эллипс с эксцентриситетом можно определить, как геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых отношение расстояния до заданной точки (фокуса) к расстоянию до заданной прямой (директрисы), не проходящей через заданную точку, постоянно и равно эксцентриситету (директориальное свойство эллипса).

Возможно вам будут полезны данные страницы:

  • Здесь -один из фокусов эллипса и одна из его директрис, расположенные по одну сторону от оси ординат канонической системы координат, т.е. или

В самом деле, например, для фокуса и директрисы (рис.3.37,б) условие можно записать в координатной форме:

Избавляясь от иррациональности и заменяя приходим к каноническому уравнению эллипса (3.49). Аналогичные рассуждения можно провести для фокуса и директрисы

Уравнение эллипса в полярной системе координат (рис.3.37, имеет вид

где —фокальный параметр эллипса.

В самом деле, выберем в качестве полюса полярной системы координат левый фокус эллипса, а в качестве полярной оси — луч

(рис.3.37,в). Тогда для произвольной точки согласно геометрическому определению (фокальному свойству) эллипса, имеем Выражаем расстояние между точками (см. п.2 замечаний 2.8):

Следовательно, в координатной форме уравнение эллипса имеет вид

Уединяем радикал, возводим обе части уравнения в квадрат, делим на 4 и приводим подобные члены:

Выражаем полярный радиус и делаем замену

что и требовалось доказать. Замечания 3.9.

1. Прямые ограничивают на координатной плоскости основной прямоугольник, внутри которого находится эллипс (см. рис.3.37,а).

2. Эллипс можно определить, как геометрическое место точек, получаемое в результате сжатия окружности к ее диаметру.

Действительно, пусть в прямоугольной системе координат уравнение окружности имеет вид При сжатии к оси абсцисс с коэффициентом (см. разд.2.2.4) координаты произвольной точки принадлежащей окружности, изменяются по закону Подставляя в уравнение окружности получаем уравнение для координат образа точки

поскольку Это каноническое уравнение эллипса.

3. Координатные оси (канонической системы координат) являются осями симметрии эллипса (называются главными осями эллипса), а его центр — центром симметрии.

Действительно, если точка принадлежит эллипсу то и точки симметричные точке относительно координатных осей, также принадлежат тому же эллипсу.

4. Из уравнения эллипса в полярной системе координат (см. рис.3.37,в), выясняется геометрический смысл фокального параметра -это половина длины хорды эллипса, проходящей через его фокус перпендикулярно фокальной оси 5. Эксцентриситет характеризует форму эллипса, а именно отличие эллипса от окружности. Чем больше тем эллипс более вытянут, а чем ближе к нулю, тем ближе эллипс к окружности (рис.3.38,а).

  • Действительно, учитывая, что получаем

где — коэффициент сжатия эллипса, Следовательно,

Чем больше сжат эллипс по сравнению с окружностью, тем меньше коэффициент сжатия и больше эксцентриситет. Для окружности

6. Уравнение при определяет эллипс, фокусы которого расположены на оси (рис.3.38,б). Это уравнение сводится к каноническому при помощи переименования координатных осей (3.38).

7. Уравнение определяет эллипс с центром в точке оси которого параллельны координатным осям

(рис.3.38,в). Это уравнение сводится к каноническому при помощи параллельного переноса (3.36).

При уравнение описывает окружность радиуса с центром в точке

8. Параметрическое уравнение эллипса в канонической системе координат имеет вид

Действительно, подставляя эти выражения в уравнение (3.49), приходим к основному тригонометрическому тождеству

Пример 3.20. Изобразить эллипс

в канонической системе координат Найти полуоси, фокусное

расстояние, эксцентриситет, коэффициент сжатия, фокальный параметр, уравнения директрис.

Сравнивая заданное уравнение с каноническим, определяем полуоси: — большая полуось, — малая полуось эллипса. Строим основной прямоугольник со сторонами с центром в начале координат (рис.3.39). Учитывая симметричность эллипса, вписываем его в основной прямоугольник. При необходимости определяем координаты некоторых точек эллипса. Например, подставляя в уравнение эллипса, получаем

Следовательно, точки с координатами принадлежат эллипсу.

Вычисляем коэффициент сжатия фокусное расстояние эксцентриситет фокальный параметр Составляем уравнения директрис:

Каноническое уравнение параболы

Определение 1

Парабола — это кривая, образованная геометрическим множеством точек, находящихся на одинаковом расстоянии от некой точки $F$, называемой фокусом и не лежащей ни на этой кривой, ни на прямой $d$.

То есть отношение расстояний от произвольной точки на параболе до фокуса и от этой же точки до директрисы всегда равно единице, это отношение называется эксцентриситетом.

Термин “эксцентриситет” также используется для гипербол и эллипсов.2 = 2 \cdot x$.

Введение в конические сечения | Безграничная алгебра

Что такое конические сечения?

Конические сечения получаются пересечением поверхности конуса плоскостью и имеют определенные особенности.

Цели обучения

Описывать части конического сечения и то, как конические сечения можно рассматривать как поперечные сечения двойного конуса

Ключевые выводы

Ключевые моменты
  • Коническое сечение (или просто коническое) — это кривая, полученная пересечением поверхности конуса с плоскостью; три типа — параболы, эллипсы и гиперболы.
  • Коническое сечение можно изобразить на координатной плоскости.
  • Каждое коническое сечение имеет определенные особенности, в том числе по крайней мере один фокус и директрису. Параболы имеют по одному фокусу и направляющей, а эллипсы и гиперболы — по две.
  • Коническим сечением называется множество точек [latex]P[/latex],
    расстояние которых до фокуса постоянно кратно расстоянию от [latex]P[/latex] до направляющей коники.
Основные термины
  • вершина : Крайняя точка на коническом сечении.
  • асимптота : Прямая линия, к которой кривая приближается произвольно близко, уходя в бесконечность.
  • locus : Набор всех точек, координаты которых удовлетворяют заданному уравнению или условию.
  • фокус : точка, используемая для построения и определения конического сечения, в котором сходятся лучи, отраженные от кривой (множественное число: фокусы).
  • подкладка : половина двойного конуса.
  • коническое сечение : Любая кривая, образованная пересечением плоскости с конусом из двух покровов.
  • направляющая : Линия, используемая для построения и определения конического сечения; парабола имеет одну направляющую; эллипсы и гиперболы имеют два (множественное число: направляющие).

Определение конических сечений

Коническим сечением (или просто коническим) называется кривая, полученная пересечением поверхности конуса плоскостью. Три типа конических сечений — это гипербола, парабола и эллипс. Круг является типом эллипса и иногда считается четвертым типом конического сечения.

Конические сечения могут быть созданы путем пересечения плоскости с конусом. Конус состоит из двух частей одинаковой формы, называемых покровами. Один подгузник — это то, что большинство людей подразумевают под «конусом», и он имеет форму праздничной шляпы.

Конические сечения создаются пересечением плоскости с конусом. Если плоскость параллельна оси вращения (оси [латекс]у[/латекс]), то коническое сечение представляет собой гиперболу. Если плоскость параллельна образующей, то коническое сечение представляет собой параболу.{\circ}[/latex]), то коническое сечение представляет собой эллипс.

Конус и конические секции: Покровы и четыре конические секции. Каждая коника определяется углом, который плоскость образует с осью конуса.

Общие части конических сечений

Несмотря на то, что каждый тип конического сечения выглядит очень по-разному, у них есть некоторые общие черты. Например, у каждого типа есть как минимум один фокус и директриса.

Фокус – это точка, относительно которой строится коническое сечение.Другими словами, это точка, вокруг которой сходятся лучи, отраженные от кривой. Парабола имеет один фокус, вокруг которого построена форма; эллипс и гипербола имеют два.

Директриса — это линия, используемая для построения и определения конического сечения. Расстояние директрисы от точки на коническом сечении имеет постоянное отношение к расстоянию от этой точки до фокуса. Как и в случае с фокусом, парабола имеет одну направляющую, а эллипсы и гиперболы — две.

Эти свойства, общие для конических сечений, часто представляются в виде следующего определения, которое будет разработано в следующем разделе.Коническое сечение — это геометрическое место точек [latex]P[/latex], расстояние которых до фокуса постоянно кратно расстоянию от [latex]P[/latex] до направляющей коники. Эти расстояния отображаются оранжевыми линиями для каждой конической секции на следующей диаграмме.

Детали конических сечений : Три конических сечения с обозначенными фокусами и направляющими.

Каждый тип конического сечения более подробно описан ниже.

Парабола

Парабола — это множество всех точек, расстояние которых от фиксированной точки, называемой фокусом, равно , равному расстоянию от фиксированной линии, называемой директрисой.Точка на полпути между фокусом и директрисой называется вершиной параболы.

На следующем рисунке четыре параболы изображены так, как они появляются на координатной плоскости. Они могут открываться вверх, вниз, влево или вправо.

Четыре параболы, раскрывающиеся в разные стороны: Вершина лежит посередине между директрисой и фокусом.

Эллипсы

Эллипс – это множество всех точек, для которых сумма расстояний от двух фиксированных точек (фокусов) постоянна.В случае эллипса есть два фокуса и две директрисы.

На следующем рисунке изображен типичный эллипс в координатной плоскости.

Эллипс: Сумма расстояний от любой точки эллипса до фокусов постоянна.

Гипербола

Гипербола — это множество всех точек, разность расстояний от которых до двух фиксированных точек (фокусов) постоянна. В случае гиперболы есть два фокуса и две директрисы.Гиперболы также имеют две асимптоты.

На следующем рисунке показан график типичной гиперболы.

Гипербола: Разность расстояний от любой точки эллипса до фокусов постоянна. Поперечная ось также называется большой осью, а сопряженная ось также называется малой осью.

Применение конических сечений

Конические сечения используются во многих областях науки, особенно для описания форм. Например, они используются в астрономии для описания формы орбит объектов в космосе.Два массивных объекта в космосе, которые взаимодействуют в соответствии с законом всемирного тяготения Ньютона, могут двигаться по орбитам, имеющим форму конических сечений. Они могли следовать эллипсам, параболам или гиперболам, в зависимости от их свойств.

Эксцентриситет

Каждое коническое сечение имеет постоянный эксцентриситет, который дает информацию о его форме.

Цели обучения

Обсудите, как эксцентриситет конического сечения описывает его поведение

Ключевые выводы

Ключевые моменты
  • Эксцентриситет — это параметр, связанный с каждым коническим сечением, и его можно рассматривать
    как меру отклонения конического сечения от круглого.
  • Эксцентриситет конического сечения определяется как расстояние от любой точки конического сечения до его фокуса, деленное на расстояние по перпендикуляру от этой точки до ближайшей направляющей.
  • Значение [latex]e[/latex] можно использовать для определения типа конического сечения. Если [latex]e= 1[/latex] — это парабола, если [latex]e < 1[/latex] — это эллипс, а если [latex]e > 1[/latex] — гипербола.
Основные термины
  • эксцентриситет : Параметр конического сечения, который описывает, насколько коническое сечение отличается от круглого.

Определение эксцентриситета

Эксцентриситет, обозначаемый [latex]e[/latex], представляет собой параметр, связанный с каждым коническим сечением. Его можно рассматривать как меру отклонения конического сечения от круглого.

Эксцентриситет конического сечения определяется как расстояние от любой точки конического сечения до его фокуса, деленное на расстояние по перпендикуляру от этой точки до ближайшей директрисы. Значение [latex]e[/latex] постоянно для любого конического сечения.Это свойство можно использовать как общее определение для конических сечений. Значение [latex]e[/latex] также может быть использовано для определения типа конического сечения:

  • Если [latex]e = 1[/latex], коника является параболой
  • Если [латекс]е < 1[/латекс], это эллипс
  • Если [латекс]е > 1[/латекс], это гипербола

Эксцентриситет окружности равен нулю. Обратите внимание, что два конических сечения подобны (одинаковой формы) тогда и только тогда, когда они имеют одинаковый эксцентриситет.

Напомним, что гиперболы и некруглые эллипсы имеют два фокуса и две связанные с ними директрисы, а параболы имеют один фокус и одну директрису. На следующем рисунке каждый тип конического сечения изображен с фокусом и направляющей. Оранжевые линии обозначают расстояние между фокусом и точками на коническом сечении, а также расстояние между теми же точками и директрисой. Это расстояния, используемые для нахождения эксцентриситета.

Конические сечения и их части: Эксцентриситет представляет собой отношение расстояния от любой точки конического сечения до его фокуса и расстояния по перпендикуляру от этой точки до ближайшей директрисы.

Концептуализация эксцентриситета

Из определения параболы расстояние от любой точки параболы до фокуса равно расстоянию от этой же точки до директрисы. Поэтому по определению эксцентриситет параболы должен быть [латекс]1[/латекс].

Для эллипса эксцентриситет меньше, чем [latex]1[/latex]. Это означает, что в отношении, определяющем эксцентриситет, числитель меньше знаменателя. Другими словами, расстояние между точкой конического сечения и его фокусом меньше, чем расстояние между этой точкой и ближайшей директрисой.

И наоборот, эксцентриситет гиперболы больше, чем [latex]1[/latex]. Это указывает на то, что расстояние между точкой на коническом сечении и ближайшей направляющей меньше, чем расстояние между этой точкой и фокусом.

Типы конических сечений

Конические сечения образованы пересечением плоскости с конусом, и их свойства зависят от того, как происходит это пересечение.

Цели обучения

Обсудить свойства различных типов конических сечений

Ключевые выводы

Ключевые моменты
  • Конические сечения представляют собой форму особого типа, образованную пересечением плоскости и прямого кругового конуса.В зависимости от угла между плоскостью и конусом могут быть образованы четыре различные формы пересечения.
  • Типы конических сечений: окружности, эллипсы, гиперболы и параболы.
  • Каждое коническое сечение также имеет вырожденную форму; они принимают форму точек и линий.
Основные термины
  • вырожденный : Коническое сечение, которое не соответствует стандартной форме уравнения.
  • асимптота : Линия, к которой изогнутая функция или форма приближается, но никогда не касается.
  • гипербола : Коническое сечение, образованное плоскостью, перпендикулярной основанию конуса.
  • focus : Точка, удаленная от изогнутой линии, вокруг которой изгибается кривая.
  • круг : Коническое сечение, образованное плоскостью, параллельной основанию конуса.
  • эллипс : Коническое сечение, образованное плоскостью, расположенной под углом к ​​основанию конуса.
  • эксцентриситет : Безразмерный параметр, характеризующий форму конического сечения.
  • Парабола : Коническое сечение, образованное плоскостью, параллельной конусу.
  • вершина : точка поворота изогнутой формы.

Конические сечения представляют собой форму особого типа, образованную пересечением плоскости и прямого кругового конуса. В зависимости от угла между плоскостью и конусом могут быть образованы четыре различные формы пересечения. Каждая форма также имеет вырожденную форму. Существует свойство всех конических сечений, называемое эксцентриситетом, которое принимает форму числового параметра [latex]e[/latex].Каждая из четырех форм конического сечения имеет разные значения [latex]e[/latex].

Типы конических сечений: На этом рисунке показано, как конические сечения, выделенные голубым цветом, являются результатом пересечения плоскости с конусом. На изображении 1 показана парабола, на изображении 2 — круг (внизу) и эллипс (вверху), а на изображении 3 — гипербола.

Парабола

Парабола образуется, когда плоскость параллельна поверхности конуса, в результате чего получается U-образная кривая, лежащая на плоскости.Каждая парабола имеет определенные характеристики:

  • Вершина, являющаяся точкой поворота кривой
  • Фокус, который является точкой вне кривой, вокруг которой изгибается кривая
  • Ось симметрии, представляющая собой линию, соединяющую вершину и фокус, которая делит параболу на две равные половины

Все параболы имеют значение эксцентриситета [latex]e=1[/latex]. В результате одинакового эксцентриситета все параболы подобны, а это означает, что любую параболу можно преобразовать в любую другую, изменив положение и масштабирование.2[/латекс]

Круг

Окружность образуется, когда плоскость параллельна основанию конуса. Таким образом, его пересечение с конусом представляет собой множество точек, равноудаленных от общей точки (центральной оси конуса), что соответствует определению окружности. Все круги имеют определенные особенности:

  • Центральная точка
  • Радиус, равный расстоянию от любой точки окружности до центральной точки

Все окружности имеют эксцентриситет [латекс]e=0[/латекс].2[/латекс]

, где [latex](h,k)[/latex] — координаты центра окружности, а [latex]r[/latex] — радиус.

Вырожденная форма окружности возникает, когда плоскость пересекает только самую вершину конуса. Это пересечение в одной точке или, что то же самое, круг нулевого радиуса.

Конические сечения, построенные по эксцентриситету: На этом графике показан красный эллипс с примерным значением эксцентриситета [латекс]0,5[/латекс], парабола зеленым цветом с требуемым эксцентриситетом [латекс]1[/латекс], и гипербола синего цвета с примером эксцентриситета [латекс]2[/латекс].На нем также показан один из случаев вырожденной гиперболы, прямая черная линия, соответствующая бесконечному эксцентриситету. Окружность находится внутри параболы, которая находится внутри одной стороны гиперболы, под которой проходит горизонтальная линия. Таким образом, увеличение эксцентриситета можно отождествить с своего рода развертыванием или открытием конического сечения.

Эллипс

Когда угол плоскости относительно конуса находится между внешней поверхностью конуса и основанием конуса, результирующее пересечение представляет собой эллипс.Определение эллипса также включает параллельность основанию конуса, поэтому все окружности являются частным случаем эллипса. Эллипсы имеют следующие характеристики:

  • Большая ось, которая представляет собой наибольшую ширину эллипса
  • Малая ось, которая представляет собой наименьшую ширину эллипса
  • Центр, являющийся пересечением двух осей
  • Два фокуса — для любой точки эллипса сумма расстояний до обоих фокусов является постоянной

Эллипсы могут иметь диапазон значений эксцентриситета: [латекс]0 \leq e < 1[/латекс].2} = 1 }[/латекс]

, где [латекс](h,k)[/латекс] – координаты центра, [латекс]2а[/латекс] – длина большой оси, а [латекс]2b[/латекс] – длина малая ось. Если эллипс имеет вертикальную большую ось, метки [latex]a[/latex] и [latex]b[/latex] поменяются местами.

Вырожденная форма эллипса — это точка или окружность нулевого радиуса, точно так же, как это было для окружности.

Гипербола

Гипербола образуется, когда плоскость параллельна центральной оси конуса, то есть пересекает обе части двойного конуса.2} = 1 }[/latex]

, где [latex](h,k)[/latex] – координаты центра.В отличие от эллипса, [латекс]а[/латекс] не обязательно является большим номером оси. Это длина оси, соединяющей две вершины.

Эксцентриситет гиперболы ограничен [latex]e > 1[/latex] и не имеет верхней границы. Если довести эксцентриситет до предела [латекс]+\infty[/латекс] (положительная бесконечность), гипербола становится одним из ее вырожденных случаев — прямой линией. Другой вырожденный случай гиперболы состоит в том, чтобы стать ее двумя прямолинейными асимптотами. Это происходит, когда плоскость пересекает вершину двойного конуса.

Тиле и малые параметры | Фокус

Тиле и малые параметры

Эти технические данные используются для расчета необходимой громкости громкоговорителя

Названные в честь своих изобретателей, параметры Тиле и Смолла используются для характеристики характеристик отдельных динамиков. Эти технические данные используются для расчета необходимой громкости громкоговорителя. Поэтому его можно использовать для сравнения возможностей нескольких разных динамиков и моделирования типа корпуса, подходящего, например, для сабвуфера..

  • BL  — коэффициент мощности двигателя динамика.
  • Cas (м5/Н) — Акустическое соответствие — окружающие динамики.
  • Cms (m/N)  — Механическая совместимость окантовки драйвера.
  • Диам. (m)  — Диаметр излучения динамика.
  • Fs (Гц)  — Резонансная частота динамика на открытом воздухе.
  • Звуковая катушка В. (мм)  — Высота звуковой катушки — подвижная звуковая катушка динамика.
  • Воздушный зазор H. (мм)  — Высота воздушного зазора динамика.
  • Les (мГн)  – Эквивалентная электрическая индуктивность – соответствие объемному звучанию динамика.
  • Масса (кг/м 4 ) — Эквивалентная акустическая масса — оборудование для перемещения динамиков.
  • Мм (кг) — Механический вес — движущиеся части динамика
  • N (%)  — Эффективность динамика, выраженная в процентах.
  • N0 или SPL (дБ/Вт/м)  — Эффективность динамика, выраженная в виде акустического уровня.
  • Qes  — Электрическая добротность: коэффициент скачка напряжения динамика на резонансной частоте.
  • Qms  — Механическая добротность: коэффициент перенапряжения динамика на резонансной частоте.
  • Qts  — Общая добротность: коэффициент механического перенапряжения динамика на резонансной частоте.
  • Ras (Ом переменного тока) — Эквивалентное акустическое сопротивление — внутреннее демпфирование объемного звучания динамика.
  • Rcc (Ом)  — Сопротивление динамика постоянному току.
  • Сопротивление (Ом) — Эквивалентное электрическое сопротивление — внутреннее демпфирование объемного звучания динамика.
  • Rms (кг/с)  — Эквивалентное механическое сопротивление — внутреннее демпфирование объемного звучания динамика.
  • Sd (m 2 )  — Площадь излучаемой поверхности динамика.
  • Vas (l)  — Эквивалентный объем воздуха — эластичность объемного звучания динамика.
  • Х. макс. (мм)  — Максимальное линейное отклонение от пика до пика.

Влияние параметров плазмы и пучка на фокусные размеры в микрометровой оптике заряженных частиц: Улучшенное нелинейное уменьшение ниже длины Дебая: Физика плазмы: Том 26, № 6

Подробные эксперименты и компьютерное моделирование с использованием двухлучевых вычислительных инструментов, обычно используемых для сравнительного анализа ионно-пучковая оптика, AXCEL-INP и SIMION, проводятся для исследования зависимости фокусных размеров FD (длины и размера изображения) ионных пучков, выведенных из компактного источника плазмы, возбуждаемого электромагнитными волнами.Влияние параметров плазмы, таких как пространственный потенциал V P , бомовская скорость vB и соответствующая начальная кинетическая энергия E i , температура электронов T e и температуры ионов T 1 i i , масса иона M , плотность ионного тока J i и параметры пучка, такие как энергия пучка E B , размеры апертуры электродов плазмы и ограничителя пучка (BL) и потенциал, приложенный к линзам (EL 1 и EL 2 ), на ФД.Изменение фокусного расстояния f l с vB, V P и E i указывает на то, что f l увеличивается с увеличением этих параметров; однако он уменьшается с E B . f l уменьшается с M и не зависит от размера апертуры ШС; однако обнаружено, что оно увеличивается с увеличением напряжения извлечения В 1 (EL 1 ).Разработаны две разные теоретические модели для оценки фокусного расстояния системы комбинированных линз, и установлено, что оценочные значения f l достаточно хорошо согласуются с результатами экспериментов и моделирования. Для пучков ионов Ar, Kr и Ne определена острота фокуса, характеризуемая углом луча в фокальной точке. Замечательная особенность нелинейного уменьшения в пучках на основе плазмы наблюдается со значительным усилением, когда размер апертуры плазменного электрода уменьшается ниже длины Дебая.

БЛАГОДАРНОСТЬ

Мы выражаем благодарность финансирующему агентству SERB (Департамент науки и техники) правительства Индии за финансовую поддержку, грант № EMR/2016/006235. Один из авторов, Судип Бхаттачарджи, выражает благодарность за поддержку профессуре кафедры Санджая и Рахны Прадхан в ИИТ Канпур. Плодотворные комментарии профессора Шибабраты Нанди и профессора Ариджита Кунду с физического факультета ИИТ Канпура с благодарностью принимаются.Наконец, мы благодарим г-на Омпракаша и его коллег из физического цеха за своевременное изготовление компонентов.

— Обрезка фокуса: более техническое объяснение

Это оператор обрезки, сохраняющий фокус изображения.

Как это работает?

Он в основном определяет параметры PIL.Image.crop с помощью kiwisolver. Это означает, что вы можете ввести любую комбинацию параметров, которые мы объясним ниже, и наш алгоритм найдет лучший прямоугольник, который мы должны использовать для обрезки изображения.

Параметры

Структура данных выглядит так:

  {
   "фокус-точка-кроп": {
      "фокус": {
          "x": "<координата>",
          "у": "<координата>"
      },
      "ободья": {
          "<имя-ободка>": "<спецификация-урожая-оправы>"
      },
      "общая ширина": "<общий размер>",
      "общая высота": "<общий размер>"
   }
}
  

, где все, что заключено в угловые скобки, является грамматическим элементом; в случае ободков пользователь может ввести спецификацию для каждой стороны.Компоненты общая ширина и общая высота также являются необязательными.

Здесь остальная часть грамматики:

  координата:
     процентов
    |размер_пикселя

общий размер:
     процентов
    |размер_пикселя

процентов:
     FLOAT_NUMBER '%'

размер пикселя:
     INTEGER_NUMBER 'пкс'

имя обода:
      'внутренняя сторона
    | 'наружная сторона

сторона:
      'верхняя'
    | 'низ'
    | 'слева'
    | 'Правильно'

обод-урожай-спецификация:
    FLOAT_NUMBER отн. единица

отн:
    '%' 'из'
    | 'раз'

Ед. изм:
      'общая ширина'
    | 'Общая высота'
    | «расстояние до фокуса»
      
  

Детали реализации

Мы только выясняем параметры PIL.Image.crop, и метод может сделать обрезку за нас. Обратите внимание, что входным параметром метода является «коробка» с левыми , верхними , правыми и нижними координатами пикселей. прямоугольника, который мы собираемся оставить. Для изложения ниже давайте назовем эти величины r_left , r_upper , r_right и r_lower .

Теперь, как нам перейти от набора возможностей выше к параметрам кадрирования?

Мы пишем уравнения в зависимости от того, что указывает пользователь, и используем kiwisolver, чтобы найти их решение.

Kiwisolver позволяет назначать ограничениям разную важность, так что, если проблема недоопределена или слишком много, мы все еще можем найти решение.

Базовый вариант (очень мало ограничений)

Позвольте мне объяснить это на простом примере, случай, когда пользователь указывает только фокусную точку но больше ничего:

  {
   "фокус-точка-кроп": {
      "фокус": {
          "х": "300px",
          "у": "400 пикселей"
      }
   }
}
  

В этом случае мы не знаем, что делать, поэтому не будем обрезать изображение.Давайте построим систему уравнений, которая ничего не делает для этого случая:

  r_left == 0
r_upper == 0
r_lower == o_height
r_right == o_width
...
  

, где o_height и o_width — ширина и высота входного изображения.

Эти наборы ограничений не меняют размер изображения, и мы всегда можем добавить их в ограничение решатель с наименьшим возможным приоритетом.

Пользователь добавляет одно ограничение!

Что если пользователь укажет total_height или total_width ? Напишем ограничение для случая, когда total_width включено, а вы можно представить другой.

Это будет json пользователя:

  {
   "фокус-точка-кроп": {
      "фокус": {
          "х": "300px",
          "у": "400 пикселей"
      }
   },
   "общая ширина": "1000px"
}
  

и это дополнительное ограничение:

  r_left + total_width == r_right
  

Обратите внимание, что это ограничение больше не совместимо с r_right == o_width выше, поэтому нам нужно использовать для него более высокую силу kiwisolver .

Также обратите внимание, что ограничение будет другим, если пользователь укажет процентное ограничение:

  {
   "фокус-точка-кроп": {
      "фокус": {
          "х": "300px",
          "у": "400 пикселей"
      }
   },
   "общая ширина": "50%"
}
  

В этом случае мы будем использовать:

  общая_ширина = 0,5 o_ширина
r_left + total_width == r_right
  

Таким образом, мы сосредоточились на поиске правильных уравнений и правильных сильных сторон для каждого типа ограничений, которые пользователь может указать.

О колесных дисках

  • внутренний левый означает расстояние от точки фокуса до квадрата, где изображение обрезано.
  • external-left означает расстояние от границы изображения до квадрата, в котором изображение обрезано.

и так далее для других сторон.

  • расстояние до фокуса означает расстояние от исходной границы изображения (до обрезка) в фокус. Это то, что мы автоматически вычисляем.

Конструкции % от и умножить на позволяют пользователю указывать дроби как либо в процентах, либо в виде дроби от 0 до 1.

focusbilinear — nikobrummer

Это модификация некоторых инструментов FoCal Toolkit, позволяющая включать дополнительную информацию или меры качества, чтобы попытаться получить более различительные и более точно откалиброванные показатели обнаружения.

Резюме

Основной инструмент FoCal Bilinear выполняет контролируемое обучение слиянию 90 078 м 90 079 оценок детекторов, которые можно модулировать с помощью n параметров дополнительной информации.Слияние является билинейным, что позволяет модулировать (умножать) баллы с помощью дополнительной информации. Билинейный означает, что если бы дополнительная информация была постоянной, то это было бы линейное слияние оценок, а если бы оценки были постоянными, это было бы линейное слияние дополнительной информации. Слияние рассчитано на ситуацию, когда:

  • Оценки имеют дискриминационную силу (более положительная для целей и более отрицательная для нецелевых), в то время как
  • дополнительная информация практически не различает целевые и нецелевые объекты, но потенциально может улучшить показатели путем их смещения или модуляции их амплитуд.

Эта функция предназначена для обучения объединению с дополнительной информацией, где каждый параметр дополнительной информации ограничен диапазоном от 0 до 1. Одна из возможностей заключается в том, чтобы дополнительная информация указывала на несколько дискретных категорий испытаний. Например:

  • Если есть три типа испытаний, вектор дополнительной информации может указать эти категории с помощью жестких меток вида: [1,0,0] или [0,1,0] или [0,0,1]. В этом случае эта функция будет эффективно обучать три отдельных фьюзера, по одному для каждой из трех категорий.Вектор дополнительной информации эффективно выбирает, какой фьюзер использовать для данного испытания.
  • Если категории нельзя распознать с уверенностью, векторы дополнительной информации могут быть программными метками в форме вероятностных распределений, например: [0,9, 0,05, 0,05] или [0,1, 0,2, 0,7] и т. д. В этом случае вектор дополнительной информации дает вес для зависимой от испытаний выпуклой комбинации трех отдельных фьюзеров.

Как оптимизировать дополнительную информацию

Этот инструмент можно использовать как есть, если средство извлечения побочной информации уже существует и может предоставлять свои выходные данные в форме распределения вероятностей, предложенной выше.Однако этот инструмент можно включить в более сложную итерацию, чтобы также оптимизировать средство извлечения побочной информации. Один из возможных способов сделать это — использовать EM-подобный алгоритм:

.
  1. Используйте какой-либо метод, чтобы назначить одну из небольшого числа (скажем, N ) дискретных меток для каждого испытания обнаружения в базе данных разработки.
  2. Используйте контролируемое обучение вашего любимого распознавателя образов, чтобы максимально точно распознавать эти метки. Выведите результат распознавания в виде калиброванного апостериорного распределения вероятностей.Здесь может быть полезен FoCal Multi-class для оптимизации мультиклассовой калибровки. Эти апостериорные распределения формируют вашу дополнительную информацию.
  3. Обучите билинейный блок объединения (этот набор инструментов), чтобы объединить ваши любимые оценки обнаружения с вышеуказанной дополнительной информацией. Результат дает  N  различных фьюзеров аффинной оценки, каждый для своей категории испытаний.
  4. Для каждого испытания выберите блок термоэлемента, дающий наилучший результат (наиболее положительный для целевого испытания или наиболее отрицательный для нецелевого испытания), и соответствующим образом перемаркируйте данные разработки.
  5. Если не сходится, вернуться к 2.

Загрузить

  1. Загрузите код MATLAB: focus_bilinear.zip
  2. Обновление: замените train_side_info_fusion.m этой версией: train_sideinfo_fusion.m (Это обновление добавляет компенсацию несоответствий целевых и нецелевых соотношений в данных обучения, зависящих от категории.)
  3. Поместите все файлы MATLAB в свой путь и введите в командной строке MATLAB:

>> demo_sideinfo_fusion

Код задокументирован.В основном вам нужно будет использовать функции train_sideinfo_fusion() и apply_bilinear_fusion().

Благодарности

Идеи для этого инструмента возникли в результате сотрудничества с Даниэлем Рамосом, обсуждений с Патриком Кенни и Дэвидом ван Леувеном, а также статьи ICASSP 2008 года, написанной Лусианой Феррер, под названием «Комбинация систем с использованием вспомогательной информации для проверки говорящего».

 

Параметры роста мирового рынка колес Mecanum в 2022 г. – Rotacaster, AndyMark, Kuka, West Coast Products – Blackswan Real Estate

МаркетКвест.biz генерирует измеримые и поддающиеся проверке данные о Global Mecanum Wheel Market за период с 2022 по 2028 год. Исследование состоит из базового года, рассчитанного среднегодового темпа роста за исторический год, анализа роста рынка и прогнозирования, а также обзора различных игроков и конкурентов рынка Mecanum Wheel. Целью отчета является обеспечение лучшего видения и формулирования стратегий и других необходимых требований для эффективного и действенного увеличения бизнес-плана с прибыльностью.

Отчет держится быстро, и процесс появляется в любой момент для рынка Mecanum Wheel.Данные собираются из основных и вспомогательных источников данных, затем проводится скрининг информации и информация, объединяющая выводы рынка и формулирование оценки размера рынка с использованием информации, собранной из основных и вспомогательных источников. Последнее, однако, не в последнюю очередь; этот этап включает в себя просмотр и утверждение собранной и оцененной информации в заключительном формате.

СКАЧАТЬ БЕСПЛАТНЫЙ ОБРАЗЕЦ ОТЧЕТА: https://www.marketquest.biz/sample-request/65105

Чтобы донести конечные цели рынка колес Mecanum, используются подходы «снизу вверх» и «сверху вниз».Источники, которые включены для извлечения результатов, являются как первичными, так и вторичными, такими как годовые отчеты, записи, веб-сайты, личные встречи, интервью и телефонные разговоры, статистические и фактические базы данных. Статическое исследование проводится после систематизации информации. Различные этапы, такие как проверка, согласование и экстраполяция информации, предшествуют утверждению информации с помощью графиков и диаграмм.

В центре внимания данного отчета находятся следующие фрагменты:

Приложение

  • Медицинское оборудование
  • Электронное оборудование
  • Машинное оборудование
  • Логистическое оборудование
  • Другие

Тип продукта

  • Нейлон
  • Полиуретан
  • Резина
  • Другие

Регионы присутствия на рынке

  • Северная Америка (США, Канада и Мексика)
  • Европа (Германия, Франция, Великобритания, Россия, Италия и остальные страны Европы)
  • Азиатско-Тихоокеанский регион (Китай, Япония, Корея, Индия, Юго-Восточная Азия и Австралия)
  • Южная Америка (Бразилия, Аргентина, Колумбия и остальная часть Южной Америки)
  • Ближний Восток и Африка (Саудовская Аравия, ОАЭ, Египет, Южная Африка и остальная часть Ближнего Востока и Африки)

Известные игроки

  • Ротакастер
  • ЭндиМарк
  • Кука
  • Продукция Западного побережья
  • HAION Кастер
  • Робокиты Индия
  • Сисику
  • Инструмент Ванда

ДОСТУП К ПОЛНОМУ ОТЧЕТУ: https://www.marketquest.biz/report/65105/global-mecanum-wheel-market-2021-by-manufacturers-regions-type-and-application-procast-to-2026

Настройка отчета:

Этот отчет можно настроить в соответствии с требованиями клиента. Свяжитесь с нашим отделом продаж ([email protected]), который позаботится о том, чтобы вы получили отчет, соответствующий вашим потребностям. Вы также можете связаться с нашими руководителями по телефону 1-201-465-4211, чтобы поделиться своими требованиями к исследованиям.

Свяжитесь с нами
Марк Стоун
Руководитель отдела развития бизнеса
Телефон: 1-201-465-4211
Электронная почта: [email protected]бизнес

конспектов лекций | Введение в сейсмологию | Науки о Земле, атмосфере и планетах

Следующие файлы взяты из весеннего предложения этого курса 2008 года. Конспекты лекций были написаны студентами, прошедшими этот курс.

LEC # ТЕМЫ КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ НАПИСАНО
1 Вводная лекция (PDF) Даррелл Коулз
2 Стресс и напряжение (PDF) Шейн Макгэри
3

Связь между напряжением и деформацией

Уравнение движения

Волновое уравнение

(PDF) Кэти Аткинсон
4 Волновое уравнение (продолж.) (PDF) Кэти Аткинсон
5

раствор Даламбера

Разделение переменных

Преобразование Фурье

Медлительность

(PDF) Дженнифер Фюрстенау
6 Кривые времени в пути (PDF) Судхиш Бакку
7 Томография времени в пути (PDF) Бинхуай Линь
8 Томография в пути (продолж.) (PDF) Бинхуай Линь
9 Закон Снеллиуса (PDF) Судхиш Бакку
10 Критическая и посткритическая рефлексия (PDF) Судхиш Бакку
11 Поверхностные волны-грунт (PDF) Майкл Шульчевски
12 Томография времени в пути (PDF) Сами Алсаадан
13

Временная томография (продолж.

Фокальный параметр это: Фокальный параметр — это… Что такое Фокальный параметр?

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.

Пролистать наверх