Как определить размер матрицы: Матрицы: определение и основные понятия.

Aa1a2 ··· anBEIIGx1x2 … xnFJJH = a1x1 + a2x2 + ··· + тревога.

Это скаляр.

Рецепт: правило строки-столбца для умножения матрицы на вектор

Если A — матрица размера m × n со строками r1, r2, …, rm, а x — вектор в Rn, то

Ax = EIIG — r1 —— r2—…— rm — FJJHx = EIIGr1xr2x … rmxFJJH.

Пусть A — матрица со столбцами v1, v2, …, vn:

A = C ||| v1v2 ··· vn ||| D.

Затем

Ax = bhasisolution⇐⇒thereexistx1, x2, …, x означают такие, что AEIIGx1x2 … xnFJJH = b⇐⇒thereexistx1, x2, …, xns такие, чтоx1v1 + x2v2 + ··· + xnvn = b⇐⇒visalinearcombination , vn⇐⇒бисинтэппаном столбцов А.

Интервалы и согласованность

Матричное уравнение Ax = b имеет решение тогда и только тогда, когда b находится в диапазоне столбцов A.

Это дает эквивалентность между алгебраическим утверждением (Ax = b согласовано) и геометрическим заявление (b находится в промежутке столбцов A).

Когда решения существуют всегда

Основываясь на этом примечании, у нас есть следующий критерий того, когда Ax = b согласуется для при каждом выборе b.

Теорема

Пусть A — матрица размера m × n (без дополнений). Следующие эквиваленты:

1. Ax = b имеет решение для всех b в Rm.
2. Пролет столбцов A равен Rm.
3. У A есть точка поворота в каждом ряду.

Доказательство

Эквивалентность 1 и 2 устанавливается данным примечанием применительно к каждому b в Rm.

Теперь покажем, что 1 и 3 эквивалентны. (Поскольку мы знаем, что 1 и 2 эквивалентны, это означает, что 2 и 3 также эквивалентны.) Если A имеет точку поворота в каждой строке, то его сокращенная форма эшелона строк выглядит следующим образом:

C10A0A01A0A0001AD,

и, следовательно, AAbB сводится к этому:

Нет b, который делает его непоследовательным, поэтому всегда есть решение. И наоборот, если A не имеет точки поворота в каждой строке, то его сокращенная форма эшелона строки выглядит следующим образом:

C10A0A01A0A00000D,

, что может привести к противоречивой системе после увеличения на b:

Напомним, что эквивалент означает, что для любой данной матрицы A либо все условий приведенной выше теоремы истинны, либо все они ложны.

Будьте внимательны при чтении утверждения приведенной выше теоремы. Первые два условия очень похожи на эту заметку, но логически они сильно различаются из-за квантора « для всех b».

Введение в матричные вычисления — Информационная лаборатория

Введение в матричные вычисления

Многие из вас в мире данных слышали о матричных вычислениях.Матрицы — это большие прямоугольники, заполненные числами, которые часто возникают в методах статистического анализа, и выполнение с ними вычислений не работает так же, как с обычными числами. В этом блоге я собираюсь объяснить основы матричных вычислений, не вдаваясь в подробности (и для тех из вас, кто хочет понять особенности того, через что я собираюсь пройти, я включу ссылки на веб-сайты, которые могут предложить более подробные объяснения).

Начнем с рассказа.

Представьте, что вы работаете в баре и вам нужно отчитаться перед начальником об индивидуальных суммах, потраченных на заказы на пиво и заказы G&T. Вы думали, что продержались всю ночь, пока не нашли две квитанции; у них есть количество заказанных напитков, их общее количество, но не стоимость разбивки:

Квитанция 1: 1 пиво + 1 G&T = 9 9000 фунтов стерлингов 5 Квитанция 2: 3 пива + 2 G&T = 22

Вы не можете вспомнить стоимость каждого напитка, поэтому вам нужно попытаться выяснить это. Я собираюсь перенести вас обратно к математике GCSE и поговорить об одновременных уравнениях — назовем пиво «x», а G&T — «y».Итак, наша задача сводится к следующей системе уравнений:

Мы можем просмотреть эту систему уравнений в матричной форме:

(я объясню, как это работает через секунду …)

Я знаю, что вы, должно быть, сейчас думаете — зачем мне это делать? Все выглядело прекрасно, как было раньше! И я согласен. Это система из двух уравнений с двумя неизвестными переменными (x и y), так что это довольно просто … но что происходит, когда вы облажались со всей вкладкой бара и вам нужно выяснить индивидуальную стоимость каждого проданного напитка, который ночь? Или, говоря математическим языком, что происходит, когда у вас есть n уравнений с n неизвестными переменными? Вот где приятно обернуть все ваши уравнения в красивую маленькую матрицу.Я не буду вдаваться в подробности о том, как решить эту конкретную проблему с матрицами, так как это может довольно быстро привести к некоторым довольно сложным вещам, но это один из способов, которым матрицы могут быть действительно полезными!

Итак, как эта странная скобка связана с этими уравнениями? Как мне вернуться к уравнениям, которые я предпочитал раньше? Вы используете умножение матриц!

Умножение матриц

Это не так сложно, как кажется, все, что вам нужно сделать, это умножить строки на столбцы и сложить элементы.Например, чтобы получить уравнение (1), вы умножаете элементы в верхней строке первой матрицы на элементы матрицы столбцов рядом с ней и складываете:

Итак имеем:

Затем проделайте то же самое с нижним рядом:

Что дает:

Итак, всего у нас:

И все! Вы просто продолжаете работать, пока все строки в первой матрице не будут умножены на все соответствующие столбцы во второй матрице.Если бы мы умножали вместе две матрицы размерности, скажем, две матрицы 2 × 2 (матрицы с 2 строками и 2 столбцами, читаем «2 на 2»), вы бы просто повторили тот же метод для второго столбца второй матрицы. Посмотрите это видео о том, как это работает. Если вы используете R и у вас есть матрица A и матрица B для умножения, команда будет «A% *% B».

Я собираюсь познакомить вас с моей подругой по имени Rose Columns, и она поможет вам запомнить, в каком направлении умножать элементы — просто пройдите по строкам первой матрицы и вниз по столбцам второй матрицы. .Никого никогда не назовут Роуз Колонн (это просто странно), так что просто запомните ее имя, и каждый раз все будет правильно.

Это хорошее время, чтобы указать, что порядок матриц имеет значение при умножении — умножение матриц не коммутативно. Другими словами, если у вас есть матрица с именем A и матрица с именем B, тогда A ∙ B ≠ B ∙ A («точка» здесь означает умножение). Кроме того, вы не можете умножить любую старую матрицу на любую другую старую матрицу, их размеры должны быть совместимы.В нашем примере с полосой вкладки мы умножаем матрицу 2 × 2 на матрицу 2 × 1. Один из приемов, позволяющих быстро увидеть, работает ли порядок умножения, — это проверить, совпадают ли два средних числа; если они одинаковы, размер вашей новой матрицы будет двумя внешними числами вместе:

Если два средних числа не совпадают, вы не можете умножить две матрицы вместе.

Определитель

Давайте обобщим этот пример и воспользуемся произвольными значениями.Допустим, теперь у нас есть следующие одновременные уравнения:

Где x и y — неизвестные переменные, а a, b, c, d, u и v — известные константы. Это можно записать в матричной форме:

Решение этой системы уравнений:

Если вы не понимаете, как я пришел к этому решению, перейдите по этой ссылке. Обратите внимание, что знаменатель (часть в нижней части каждой дроби) одинаков в решении как для x, так и для y.Это значение (ad-bc) называется определителем; если оно не равно нулю, то существует единственное решение уравнений. Определитель в основном определяет, возможно ли найти решение или нет, отсюда и название. Найти его в квадратной матрице 2 × 2 действительно просто. Просто возьмите значения левой диагонали, умноженные вместе, и вычтите из них значения правой диагонали.

Найти определитель больших квадратных матриц немного сложнее, я не буду вдаваться в подробности здесь, поскольку этот блог предназначен только для освещения основ, но если вы хотите узнать больше, я рекомендую заглянуть на этот веб-сайт.Нам понадобится определитель, чтобы найти обратную матрицу. Если вы хотите найти определитель матрицы A в R, используйте команду «det (A)».

Инверсия матрицы

Матрица, обратная матрице, в основном равна 1 над этой матрицей. Скажем, у нас есть матрица с именем A, тогда обратная величина к A равна 1⁄A, она также обозначается. К сожалению, вы не можете просто сделать один для каждого элемента в матрице, чтобы получить обратное, это требует немного больше работы, чем это. Это достаточно просто в матрице 2 × 2, поэтому я продемонстрирую это на этом.
У нас есть матрица, и мы хотим ее найти. Сначала давайте немного перетасуем элементы внутри матрицы:

Теперь все, что нам нужно сделать, это разделить перемешанную матрицу на определитель:

Для больших матриц это становится намного сложнее делать вручную, и требуется МНОГО времени для чего-либо большего, чем матрица 3 × 3, вот немного информации об этом. К счастью, есть множество онлайн-калькуляторов обратных матриц, которые мы можем использовать, или, если вы используете R, команда просто «решить (A)».

Хорошо, теперь мы закончили матричное умножение, инверсию и нахождение определителя, в заключение я перейду к нескольким другим основным операциям с матрицами, чтобы охватить еще несколько оснований.

Сложение и вычитание матриц

Это возможно только с матрицами одинаковых размеров, и это настолько просто, насколько вы надеетесь. Просто сложите или вычтите элементы, которые находятся в одинаковых позициях в каждой матрице.

Умножение / деление матрицы на скаляр

Мы уже сделали деление на скаляр, когда нашли обратную матрицу 2 × 2, мы разделили на определитель (умножили его на единицу по определителю).Так что это так просто, как вы и надеялись!

Транспонирование матрицы

Это то, о чем мы пока совсем не рассказывали в этом блоге, но всегда полезно знать, тем более что это так просто! Все, что вам нужно сделать, это превратить все столбцы в строки, а все строки в столбцы. N.B. Если матрица, с которой вы это делаете, не является квадратной матрицей (то есть с тем же количеством строк, что и столбцы), тогда размеры вашей матрицы будут перевернуты. Транспонирование матрицы A обозначается.

Надеюсь, это удовлетворило все ваши потребности в матрице!

Добро пожаловать в калькулятор определителя матрицы , где у вас будет возможность вычислить, ну, определители матрицы, используя простую в использовании формулу определителя для любой квадратной матрицы размером до 4×4. Кроме того, мы рассмотрим некоторые из основных свойств определителей , которые могут помочь в решении более крупных, таких как определитель матрицы 4×4.

« Что такое детерминант и почему меня это должно волновать? » Мы покажем вам определение детерминанта через некоторое время, но давайте просто скажем, что, помимо прочего, он чрезвычайно полезен при работе с системами уравнений. По сути, , как решить систему из трех уравнений, аналогичен тому, как найти определитель матрицы 3×3 .

Убеждены? Воодушевлены? В восторге? Тогда идем дальше, ладно?

Что такое определитель?

Почему бы нам не начать с , что такое матрица ? Вы не поверите, но это не только классика научной фантастики 90-х.В математике это имя, которое мы даем массиву элементов (обычно чисел) с заданным количеством строк и столбцов . Пример матрицы

Как видите, числа заключены в две большие квадратные скобки: [ и ] .Также мы говорим, что, например, число 2 равно в ячейке во второй строке и втором столбце .

Определение определителя гласит, что это число , полученное путем умножения и сложения ячеек квадратной матрицы в соответствии с заданным правилом . Давайте подробнее рассмотрим здесь несколько важных вещей.

• Как следует из определения определителя, нам нужна квадратная матрица , чтобы даже начать вычисления.Это означает, что мы можем найти определитель матрицы 2×2 или определитель матрицы 4×4, но не, например, чего-то похожего на приведенную выше A , которая является матрицей 3×2 (три строки и два столбца);
• Формула детерминанта для больших матриц становится довольно сложной . Количество его слагаемых равно количеству перестановок числа, являющегося стороной матрицы. Это означает, что определитель матрицы 2×2 имеет только два слагаемых, но для матриц 5×5 мы получаем 120 слагаемых;
• Есть способы упростить вычисления .Например, поиск определителя матрицы 4×4 можно превратить в задачу о том, как найти определитель матрицы 3×3. Мы рассмотрим некоторые из таких свойств определителей в разделе «Свойства определителей»; и
• Определитель матрицы , A обозначается | A | (просто замените квадратные скобки матрицы вертикальными линиями | ) или det (A) . Не путайте первое обозначение с абсолютным значением! В общем, определитель может быть отрицательным числом .

Итак, что такое определитель? Это число, мы многому научились. Но почему это полезно? Где это появляется?

Определитель матрицы является чрезвычайно полезным и часто используемым инструментом в линейной алгебре. Когда у нас есть матрица и мы хотим ее понять, определитель — это одно из первых, к чему мы обращаемся. Например, любую систему линейных уравнений можно описать матрицей, и ее определители помогают нам найти решение, например, с помощью правила Крамера.Более того, когда мы используем матрицы для описания линейного преобразования, часто лучше диагонализовать их . Как мы это делаем? Конечно, с детерминантами. Наконец, нам обычно нужны собственные значения такого преобразования. Да, вы догадались — для этого , мы также используем определители .

Надеюсь, нам удалось убедить вас в том, что стоит изучить определение детерминанта. Но как это вычислить? Есть ли какая-нибудь короткая и понятная формула для определения детерминанта для повседневного использования?

Общая детерминантная формула

Прежде чем мы рассмотрим некоторые конкретные примеры, например, как найти определитель матрицы 3×3, давайте взглянем на чудовищность, которая составляет общее определение определителя .

Пусть A — квадратная матрица размером n , где n — некоторое натуральное число. Обозначим ячейки A _{i, j} , где i — номер строки, а j — номер столбца. Тогда:

| A | = Σ (-1) ^{sign (σ)} Π a _{i, σ (i)}

где,

• Σ — это некоторые из всех перестановок набора {1,2, ..., n} ; и
• Π является произведением i -s от 1 до n .

Красиво, не правда ли? Если перевести забавные символы в нечто более понятное, это означает примерно следующее:

Чтобы вычислить определитель, посмотрите на свою матрицу, возьмите n числа, по одному из каждой строки и каждого столбца, и умножьте их вместе. Возьмите все такие пары n , иногда меняйте их знак и просуммируйте все это.

Не волнуйтесь, теперь, когда мы опубликовали это общее определение детерминанта, , мы больше не будем об этом думать .Мы будем придерживаться , простых случаев , где матрица не слишком велика, чтобы показать, что это на самом деле означает.

Определитель матрицы 2×2, 3×3 и 4×4

Как это часто бывает в жизни, размер имеет значение. В данном конкретном случае , чем меньше матрица, тем проще определить формулу . Для согласованности мы использовали те же обозначения, что и в калькуляторе определителя матрицы.

Если

, затем определитель A равен

| A | = a₁ * b₂ - a₂ * b₁ .

Обратите внимание, что это эквивалентно взятию числа одной из диагоналей квадратной матрицы (из верхнего левого угла в нижний правый) за вычетом другой (из верхнего правого угла в нижний левый).

Далее, если

, затем определитель B равен

| B | = a₁ * b₂ * c₃ + a₂ * b₃ * c₁ + a₃ * b₁ * c₂ - a₃ * b₂ * c₁ - a₁ * b₃ * c₂ - a₂ * b₁ * c₃ .

Здесь мы снова можем использовать диагонали, чтобы запомнить формулу. Чтобы это было ясно, давайте снова напишем две верхние строки под матрицей:

Теперь, как и в случае 2×2, начинается с диагонали исходной квадратной матрицы, которая идет от верхнего левого угла до нижнего правого — это первое слагаемое, a₁ * b₂ * c₃ .Затем мы возьмем всю эту диагональ и сдвинем ее на один шаг вниз на , т.е. в каждом столбце возьмем элемент под тем, который мы взяли ранее. Здесь развернутый массив, который мы нарисовали выше, помогает нам увидеть, что это дает второе слагаемое, a₂ * b₃ * c₁ . Мы делаем это еще раз, чтобы получить a₃ * b₁ * c₂ и . На этом заканчиваются диагонали вниз-вправо и слагаемые, которые появляются со знаком плюс .

Затем, , мы переходим к другой диагонали исходной матрицы (от верхнего правого угла до нижнего левого) и получаем первое отрицательное слагаемое в формуле a₃ * b₂ * c₁ .Проделываем то же самое, что и раньше — перемещаем диагональ вниз на . Развернутая форма выше позволяет нам легко увидеть, что это дает два других отрицательных слагаемых: a₁ * b₃ * c₂ и a₂ * b₁ * c₃ .

Наконец, если

, то определитель такой матрицы 4×4 равен

| C | = a₁ * b₂ * c₃ * d₄ - a₂ * b₁ * c₃ * d₄ + a₃ * b₁ * c₂ * d₄ - a₁ * b₃ * c₂ * d₄ + a₂ * b₃ * c₁ * d₄ - a₃ * b₂ * c₁ * d₄ + a₃ * b₂ * c₄ * d₁ - a₂ * b₃ * c₄ * d₁ + a₄ * b₃ * c₂ * d₁ - a₃ * b₄ * c₂ * d₁ + a₂ * b₄ * c₃ * d₁ - a₄ * b₂ * c₃ * d₁ + a₄ * b₁ * c₃ * d₂ - a₁ * b₄ * c₃ * d₂ + a₃ * b₄ * c₁ * d₂ - a₄ * b₃ * c₁ * d₂ + a₁ * b₃ * c₄ * d₂ - a₃ * b₁ * c₄ * d₂ + a₂ * b₁ * c₄ * d₃ - a₁ * b₂ * c₄ * d₃ + a₄ * b₂ * c₁ * d₃ - a₂ * b₄ * c₁ * d₃ + a₁ * b₄ * c₂ * d₃ - a₄ * b₁ * c₂ * d₃ .

Уф, это был длинный, не так ли? Теперь вы можете видеть, что найти определитель матрицы 2×2 очень просто, и мы можем узнать, как найти определитель матрицы 3×3 за час или около того. Но определитель матрицы 4×4 — это совершенно новая проблема . Не поймите нас неправильно, это вполне выполнимо, но кто будет платить нам за то время, которое мы потратили на вычисления, а затем на поиски, где мы взяли a₁ вместо a₂ ?

Итак, как мы можем использовать здесь диагональный трюк? Ответ прост: мы не .К сожалению, это не работает для матриц от 4 и более.

« Итак, как я могу эффективно вычислить, что такое определитель 4х4? Или 5х5? » Ну, как удобно с вашей стороны спросить! Мы покажем вам это в следующем разделе.

Свойства определителей

Теперь мы перечислим несколько важных свойств детерминантов , которые могут оказаться полезными. Мы начинаем с простых и выносим большие пушки в самом конце.

1. Определитель продукта является произведением определяющих факторов. Другими словами, если мы умножаем две квадратные матрицы и хотим найти определитель результата, то мы можем получить ответ, вычислив определители факторов и умножив их вместе.

2. Определитель матрицы равен определителю ее транспонирования. По сути, если вместо матрицы, с которой мы начали, мы «перевернем» ее, так что ее первая строка будет первым столбцом, первый столбец будет первой строкой и т. Д. (Это называется транспонированием матрица ), то их определители будут одинаковыми.Например:

3. Если мы поменяем местами две строки или два столбца, определитель останется тем же, но с противоположным знаком. Это означает, что, например, если мы хотим знать, как найти определитель матрицы 3×3, то мы можем заменить, скажем, ее первый столбец третьим, чтобы получить то же число, но с другим знаком (см. пример ниже).

4. Мы можем добавить любое ненулевое кратное одной строки к какой-либо другой строке (или столбцу к столбцу) и не изменять определитель .Это похоже на то, что мы делаем в методе исключения Гаусса, когда мы хотим найти форму эшелона строки системы уравнений, за исключением того, что там мы имели дело только со строками (которые соответствовали уравнениям). Это свойство означает, что если мы добавим, скажем, две копии первой строки ко второй, мы получим матрицу с тем же определителем. Например:

что дает,

5. ( разложение Лапласа ) Помните вопрос « Что является определителем матрицы 5×5? » из приведенного выше раздела? Наконец, мы можем коснуться этой темы и представить мощный инструмент , который поможет нам с формулой детерминанта.

Пусть A будет квадратной матрицей размером n . Скажем, что j -я строка (или столбец) A имеет элементы a₁ , a₂ , …, aₙ . Обозначим через Aᵢ матрицу, полученную из A путем удаления всей строки и столбца, в которых у нас было aᵢ (тогда Aᵢ представляет собой квадратную матрицу размером n-1 ). Тогда

| A | = (-1) ^{j + 1} * a₁ * | A₁ | + (-1) ^{j + 2} * a₂ * | A₂ | +… + (-1) ^{j + n} * aₙ * | Aₙ |.

Вот это полезный инструмент, если мы когда-либо его видели. И пользоваться им довольно весело! Например, если нас спросят, как найти определитель матрицы 3×3, мы можем взять лист бумаги, выбрать, скажем, третью строку матрицы и с энтузиазмом написать:

Чтобы прочитать всю эту теорию, должно быть, потребовались века, так почему бы нам, наконец, не взглянуть на пример ?

Пример: использование калькулятора определителя матрицы

Допустим, вы хотите вычислить определитель следующей матрицы :

Определитель матрицы 4х4 , а? Мы видели формулу определителя для одного в разделе «Определитель матрицы 2×2, 3×3 и 4×4», поэтому мы знаем, что будет не очень интересным , не так ли? Но с тех пор мы узнали некоторые свойства детерминантов, так почему бы нам не заставить их работать в нашу пользу ?

Прежде чем мы это сделаем, давайте, , воспользуемся калькулятором определителя матрицы , чтобы увидеть, как наш инструмент упрощает такие задачи.Прежде всего, мы имеем дело с матрицей 4×4, поэтому нам нужно сообщить об этом калькулятору , выбрав соответствующий вариант в разделе « Размер матрицы ».

Это покажет нам пример такой матрицы с символической нотацией для ее элементов . Как мы видим, a₁ , b₁ , c₁ и d₁ обозначают числа в первой строке, поэтому давайте прокрутимся туда, где мы вводим данные, и загрузим калькулятор определителя матрицы тем, что у нас есть в нашем упражнении. :

a₁ = 2 , b₁ = 5 , c₁ = 1 , d₁ = 3 .

Аналогично для остальных строк имеем:

a₂ = 4 , b₂ = 1 , c₂ = 7 , d₂ = 9 ,

a₃ = 6 , b₃ = 8 , c₃ = 3 , d₃ = 2 ,

a₄ = 7 , b₄ = 8 , c₄ = 1 , d₄ = 4 .

В тот момент, когда мы напишем последнее число, калькулятор определителя матрицы сотворит чудеса и выдаст ответ :

| A | = 630 .

Хорошо, теперь, когда у нас есть этот спойлер ответа, давайте посмотрим, , как мы можем получить этот ответ вручную . Очевидно, что один из способов — просто использовать формулу детерминанта из 24 членов, но нам нужны дополнительные баллы для творчества и мы хотим, чтобы использовали свойства детерминантов .

Мы будем использовать расширение Лапласа, но с умом. Мы выбираем произвольную строку или столбец, скажем, первую строку матрицы, и пытаемся немного упростить раскрытие.В конце концов, если мы сразу воспользуемся формулой, мы получим сумму четырех определителей 3×3. Не страшно, но и не здорово. Однако мы можем кое-что сделать сначала — использовать элементарные операции с столбцами .

В предыдущем разделе мы видели, что если мы добавим ненулевое кратное столбцу к другому столбцу, определитель останется прежним. Итак, , почему бы нам не добавить (-2) , кратное третьему столбцу, к первому ?

что дает,

И зачем мы это сделали? Напомним, что в разложении Лапласа слагаемые были такими: (-1) в некоторой степени, умноженной на элемент строки или столбца, который мы выбрали, умноженный на меньший определитель.Следовательно, если теперь развернуть | A | по отношению к первой строке, слагаемое, соответствующее первой ячейке в первой строке, будет равняться (-1) с умножением на 0 умножения на некоторый определитель. И это ноль , потому что все, умноженное на ноль, равно нулю.

Отлично, мы уменьшили количество слагаемых на одно! Так как насчет повторить процедуру и получить еще меньше ? Для этого мы хотим иметь больше нулей в первой строке, поэтому давайте превратим 5 и 3 в 0 -s.Как и раньше, , мы добавляем к этим столбцам правое число, кратное третьему столбцу (тот, у которого 1 ):

что дает,

Теперь это больше нравится! В этой форме, если мы используем разложение Лапласа для первой строки, мы получим только одно слагаемое, потому что три других будут в 0 раз больше, что составляет 0 .Если быть точным, получаем

И мы хорошо знаем, как найти определитель матрицы 3×3, не так ли? Но помните, что , если вы хотите немного повеселиться, , вы можете снова использовать расширение Лапласа, чтобы получить определитель матрицы 2×2.В противном случае мы можем просто использовать формулу определителя и на основе приведенного выше получить:

| A | = (-1) ⁴ * (-10 * (- 7) * 1 + (-34) * (- 7) * 5 + (-12) * 0 * 5 - (-12) * (- 7) * 5 - (-10) * (- 7) * 3 - (-34) * 0 * 1) = 630 .

Ура, согласен с тем, что у нас было выше! Видите, сколько времени может сэкономить калькулятор определителя матрицы? Вы знаете, сколько страниц нашей любимой книги мы могли прочитать за это время?

Работа с данными в матрице

Загрузка данных

Наш пример данных — это измерения качества (размер частиц) при производстве ПВХ-пластика с использованием восьми различных партий смолы и трех разных операторов оборудования.

Набор данных хранится в формате значений, разделенных запятыми (CSV). Каждая строка — это партия смолы, а каждый столбец — это оператор. В RStudio откройте pvc.csv и посмотрите, что он содержит.

Подсказка

Местоположение файла указывается относительно вашего «рабочего каталога». Вы можете увидеть расположение вашего рабочего каталога в заголовке панели консоли в RStudio. Скорее всего, это «~», обозначающее ваш личный домашний каталог. Вы можете изменить рабочий каталог с помощью setwd .

Имя файла «r-intro-files / pvc.csv» означает из текущего рабочего каталога в подкаталоге «r-intro-files» файл «pvc.csv».

Вы можете проверить, действительно ли файл находится в этом месте, используя панель «Файлы» в правом нижнем углу RStudio.

Если вы работаете на своем компьютере, а не на нашем обучающем сервере, и загрузили и разархивировали файл r-intro-files.zip, файл может находиться в другом месте.

Нам позвонили прочтения.csv с двумя аргументами: имя файла, который мы хотим прочитать, и столбец, содержащий имена строк. Имя файла должно быть символьной строкой, поэтому мы заключили его в кавычки. Назначение второму аргументу, row.names , как 1 указывает, что файл данных имеет имена строк и номер столбца, в котором они хранятся. Если мы не укажем row.names , результат не будет имена строк.

Подсказка

read.csv на самом деле имеет гораздо больше аргументов, которые могут оказаться полезными при импорте собственных данных в будущем.

  ## Алиса Боб Карл
## Смола1 36,25 35,40 35,30
## Смола2 35,15 35,35 33,35
## Смола3 30,70 29,65 29,20
## Смола 4 29,70 30,05 28,65
## Смола5 31,85 31,40 29,30
## Смола6 30,20 30,65 29,75
## Смола 7 32,90 32,50 32,80
## Смола8 36,80 36,45 33,15  

  ## [1] "data.frame"  

  ## 'data.frame': 8 набл. из 3-х переменных:
## $ Алиса: число 36,2 35,1 30,7 29,7 31,9 ...
## $ Bob: число 35,4 35,4 29,6 30,1 31,4 ...
## $ Карл: число 35.3 33,4 29,2 28,6 29,3 ...  

read.csv загрузил данные как фрейм данных. Фрейм данных содержит набор «вещей» (строк), каждая из которых имеет набор свойств (столбцов) разных типов.

На самом деле эти данные лучше представить в виде матрицы. В кадре данных столбцы содержат разные типы данных, но в матрице все элементы относятся к одному типу данных. Матрица в R похожа на математическую матрицу, содержащую все того же типа (обычно числа).

R часто, но не всегда позволяет использовать их взаимозаменяемо. При размышлении о данных также полезно различать фрейм данных и матрицу. Различные операции имеют смысл для фреймов данных и матриц. Фреймы данных занимают центральное место в R, и освоение R во многом связано с мышлением в фреймах данных. Однако любые статистические данные часто предполагают использование матриц. Например, когда мы работаем с данными RNA-Seq, мы используем матрицу счетчиков чтения. Так что стоит потратить время и на то, чтобы научиться пользоваться матрицами.

Давайте настаиваем на R, что у нас есть матрица. as.matrix «преобразует» наши данные в матричный тип.

  ## [1] "матрица"  

  ## число [1: 8, 1: 3] 36,2 35,1 30,7 29,7 31,9 ...
## - attr (*, "dimnames") = Список из 2
## .. $: chr [1: 8] "Смола1" "Смола2" "Смола3" "Смола4" ...
## .. $: chr [1: 3] "Алиса" "Боб" "Карл"  

Намного лучше.

Подсказка

Матрицы можно создавать разными способами.

матрица преобразует вектор в матрицу с указанным количеством строк и столбцов.

rbind складывает несколько векторов в виде строк один поверх другого, чтобы сформировать матрицу, или может складывать меньшие матрицы друг на друга, чтобы сформировать большую матрицу.

cbind аналогичным образом складывает несколько векторов в виде столбцов рядом друг с другом, чтобы сформировать матрицу, или может складывать меньшие матрицы рядом друг с другом, чтобы сформировать большую матрицу.

Индексные матрицы

Мы можем проверить размер матрицы с помощью функций nrow и ncol :

  ## [1] 8  

  ## [1] 3  

Это говорит нам, что наша матрица mat имеет 8 строк и 3 столбца.

Если мы хотим получить одно значение из матрицы, мы можем указать индекс строки и столбца в квадратных скобках:

  ## [1] 36,25  

  ## [1] 30,05  

Если наша матрица имеет имена строк и столбцов, мы также можем ссылаться на строки и столбцы по имени.

  ## [1] 30,05  

Индекс типа [4, 2] выбирает один элемент матрицы, но мы также можем выбирать целые разделы. Например, мы можем выбрать первые два оператора (столбца) значений для первых четырех смол (строк) следующим образом:

  ## Алиса Боб
## Смола1 36.25 35,40
## Смола2 35,15 35,35
## Смола3 30,70 29,65
## Смола4 29,70 30,05  

Срез 1: 4 означает числа от 1 до 4. Это то же самое, что c (1,2,3,4) .

Срез необязательно должен начинаться с 1, например в строке ниже выбираются строки с 5 по 8:

  ## Алиса Боб
## Смола5 31,85 31,40
## Смола6 30,20 30,65
## Смола 7 32,90 32,50
## Resin8 36,80 36,45  

Мы можем использовать векторы, созданные с помощью c , чтобы выбрать несмежные значения:

  ## Алиса Карл
## Смола1 36.25 35,3
## Смола 3 30,70 29,2
## Смола5 31,85 29,3  

Нам также не нужно предоставлять индекс для строк или столбцов. Если мы не включаем индекс для строк, R вернет все строки; если мы не включаем индекс для столбцов, R возвращает все столбцы. Если мы не предоставляем индекс ни для строк, ни для столбцов, например mat [,] , R возвращает полную матрицу.

  ## Алиса Боб Карл
## 31,85 31,40 29,30  

  ## Смола1 Смола2 Смола3 Смола4 Смола5 Смола6 Смола7 Смола8
## 35.40 35,35 29,65 30,05 31,40 30,65 32,50 36,45  

Сводные функции

Теперь давайте выполним некоторые общие математические операции, чтобы узнать о наших данных. При анализе данных мы часто хотим смотреть на частичную статистику, такую ​​как максимальное значение на смолу или среднее значение на оператора. Один из способов сделать это — выбрать данные, которые нам нужны в качестве новой временной переменной, а затем выполнить вычисление для этого подмножества:

  ## [1] 36,25  

На самом деле нам не нужно хранить строку в отдельной переменной.Вместо этого мы можем объединить выбор и вызов функции:

  ## [1] 35,35  

R имеет функции для других общих вычислений, например нахождение минимального, среднего, медианного и стандартного отклонения данных:

  ## [1] 28,65  

  ## [1] 31,4375  

  ## [1] 31,275  

  ## [1] 2.49453  

Задача — Подмножество данных в матрице

Предположим, вы хотите определить максимальный размер частиц смолы 5 для операторов 2 и 3.Для этого вы должны извлечь соответствующий срез из матрицы и вычислить максимальное значение. Какая из следующих строк кода R дает правильный ответ?

1. макс. (Мат [5,])
2. макс (мат [2: 3, 5])
3. макс (мат [5, 2: 3])
4. макс (мат [5, 2, 3])

Обобщающие матрицы

Что, если нам нужен максимальный размер частиц для всех смол или средний размер для каждого оператора? Как показано на диаграмме ниже, мы хотим выполнить операцию с полем матрицы:

Чтобы поддержать это, мы можем использовать функцию apply .

Подсказка

Чтобы узнать о функции в R, например примените , мы можем прочитать его справочную документацию, запустив help (apply) или ? Apply .

apply позволяет нам повторить функцию для всех строк ( MARGIN = 1 ) или столбцов ( MARGIN = 2 ) матрицы. Мы можем представить, что применяет как свертывание матрицы до размера, указанного в MARGIN , где строки имеют размер 1, а размер столбцов 2 (напомним, что при индексировании матрицы мы даем первую строку, а второй столбец).

Таким образом, чтобы получить средний размер частиц каждой смолы, нам нужно будет вычислить среднее значение всех строк ( MARGIN = 1 ) матрицы.

И чтобы получить средний размер частиц для каждого оператора, нам нужно будет вычислить среднее значение по всем столбцам ( MARGIN = 2 ) матрицы.

Поскольку второй аргумент для apply равен MARGIN , приведенная выше команда эквивалентна apply (dat, MARGIN = 2, mean) .

Подсказка

У некоторых распространенных операций есть более сжатые альтернативы. Например, вы можете вычислить средние по строкам или столбцам с rowMeans и colMeans соответственно.

Challenge — подведение итогов матрицы

Как бы вы рассчитали стандартное отклонение для каждой смолы?

Advanced: Как бы вы рассчитали значения на два стандартных отклонения выше и ниже среднего для каждой смолы?

т испытание

R имеет множество встроенных статистических тестов.Одним из наиболее часто используемых тестов является t-тест. Значительно ли отличаются средние двух векторов?

  ## Алиса Боб Карл
## 36,25 35,40 35,30  

  ## Алиса Боб Карл
## 35,15 35,35 33,35  

  ##
## Два образца Уэлча t-критерий
##
## data: mat [1,] и mat [2,]
## t = 1,4683, df = 2,8552, значение p = 0,2427
## альтернативная гипотеза: истинная разница в средних не равна 0
## 95-процентный доверительный интервал:
## -1.271985 3.338652
## примерные оценки:
## среднее значение x среднее значение y
## 35.65000 34.61667  

Фактически, это можно считать парным выборочным t-критерием, поскольку значения могут быть объединены в пары оператором. По умолчанию t.test выполняет непарный t-тест. Мы видим в документации (? T.test ), что мы можем дать paired = TRUE в качестве аргумента для выполнения парного t-теста.

  ##
## Парный t-тест
##
## data: mat [1,] и mat [2,]
## t = 1,8805, df = 2, значение p = 0.2008 г.
## альтернативная гипотеза: истинная разница в средних не равна 0
## 95-процентный доверительный интервал:
## -1.330952 3.397618
## примерные оценки:
## среднее значение различий
## 1.033333  

Challenge — использование t.test

Можете ли вы найти значительную разницу между любыми двумя смолами?

Когда мы вызываем t.test , он возвращает объект, который ведет себя как список . Напомним, что в R список представляет собой разнообразный набор значений.

  ## [1] "статистика" "параметр" "p.value" "conf.int" "оценка"
## [6] "null.value" "альтернативный" "метод" "data.name"  

  ## [1] 0.2007814  

Это означает, что мы можем написать программное обеспечение, которое использует различные результаты из t.test , например, выполняет целую серию t-тестов и сообщает важные результаты.

Совет — Типы в R под капотом

Откуда мы могли знать, что т. Н.тест дал нам результат, который вел себя как список?

Ранее мы использовали класс , , чтобы увидеть, к какому типу относятся различные значения. Здесь это говорит нам, что это «htest» , но на самом деле это просто «публичное лицо» значения. Иногда нам нужно присвоить Скуби-Ду значение и посмотреть, как R думает об этом под капотом. typeof показывает, как R думает о значении внутри себя. Если мы обнаружим, что тип объекта — это «список» , тогда мы узнаем, что можем использовать $ или [[]] для доступа к его элементам.

  ## [1] "htest"  

  ## [1] "список"  

Попробуйте это с dat и mat .

Участок

Математик Ричард Хэмминг однажды сказал: «Цель вычислений — понимание, а не числа», и лучший способ развить понимание — часто визуализировать данные. Визуализация заслуживает отдельной лекции (или курса), но мы можем изучить некоторые особенности построения графиков R.

Давайте посмотрим на средний размер частиц смолы.Напомним, что мы уже вычисляли эти значения выше с помощью apply (mat, 1, mean) и сохранили их в переменной avg_resin . График значений выполняется с помощью функции plot .

Выше мы дали функции plot вектор чисел, соответствующих среднему значению на смолу по всем операторам. График График создал диаграмму рассеяния, где ось Y представляет собой средний размер частиц, а ось X представляет собой порядок или индекс значений в векторе, которые в данном случае соответствуют 8 смолам.

график может принимать множество различных аргументов для изменения внешнего вида вывода. Вот сюжет с дополнительными аргументами:

Challenge — построение данных

Создайте график, показывающий стандартное отклонение для каждой смолы.

Накопительные участки

Можно сохранить график в формате .PNG или .PDF из интерфейса RStudio с помощью кнопки «Экспорт». Однако, если мы хотим вести полную запись того, как именно мы создаем каждый график, мы предпочитаем делать это с помощью кода R.

График в R отправляется на «устройство». По умолчанию это устройство RStudio. Однако мы можем временно отправить графики на другое устройство, например, файл .PNG ( png ("filename.png") ) или файл .