Как определить размерность матрицы: основные определения, обозначение, формулы и элементы матрицы

Ранг матрицы онлайн

Число r называется рангом матрицы A, если:
1) в матрице A есть минор порядка r, отличный от нуля;
2) все миноры порядка (r+1) и выше, если они существуют, равны нулю.
Иначе, ранг матрицы – это наивысший порядок минора, отличного от нуля.
Обозначения: rangA, r_A или r.
Из определения следует, что r – целое положительное число. Для нуль-матрицы считают ранг равным нулю.

Назначение сервиса. Онлайн-калькулятор предназначен для нахождения ранга матрицы. При этом решение сохраняется в формате Word и Excel. см. пример решения.

• Шаг №1
• Шаг №2
• Видеоинструкция
• Оформление Word

Инструкция. Выберите размерность матрицы, нажмите Далее. Выберите размерность матрицы 34567 x 34567

Определение. Пусть дана матрица ранга r. Любой минор матрицы, отличный от нуля и имеющий порядок r, называется базисным, а строки и столбцы его составляющие – базисными строками и столбцами.
Согласно этому определению, матрица A может иметь несколько базисных миноров.

Ранг единичной матрицы E равен n (количеству строк).

Пример 1. Даны две матрицы , и их миноры , . Какой из них можно принять в качестве базисного?
Решение. Минор M₁=0, поэтому он не может быть базисным ни для одной из матриц. Минор M₂=-9≠0 и имеет порядок 2, значит его можно принять в качестве базисного матриц A или / и B при условии, что они имеют ранги, равные 2. Поскольку detB=0 (как определитель с двумя пропорциональными столбцами), то rangB=2 и M₂ можно взять за базисный минор матрицы B. Ранг матрицы A равен 3, в силу того, что detA=-27≠0 и, следовательно, порядок базисного минора этой матрицы должен равняться 3, то есть M

2 не является базисным для матрицы A. Отметим, что у матрицы A единственный базисный минор, равный определителю матрицы A.

Теорема (о базисном миноре). Любая строка (столбец) матрицы является линейной комбинацией ее базисных строк (столбцов).
Следствия из теоремы.

1. Всякие (r+1) столбцов (строк) матрицы ранга r линейно зависимы.
2. Если ранг матрицы меньше числа ее строк (столбцов), то ее строки (столбцы) линейно зависимы. Если rangA равен числу ее строк (столбцов), то строки (столбцы) линейно независимы.
3. Определитель матрицы A равен нулю тогда и только тогда, когда ее строки (столбцы) линейно зависимы.
4. Если к строке (столбцу) матрицы прибавить другую строку, (столбец) умноженную на любое число, отличное от нуля, то ранг матрицы не изменится.
5. Если в матрице зачеркнуть строку (столбец), являющуюся линейной комбинацией других строк (столбцов), то ранг матрицы не изменится.
6. Ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк (столбцов).
7. Максимальное число линейно независимых строк совпадает с максимальным числом линейно независимых столбцов.

Пример 2. Найти ранг матрицы .
Решение. Исходя из определения ранга матрицы, будем искать минор наивысшего порядка, отличный от нуля. Сначала преобразуем матрицу к более простому виду. Для этого первую строку матрицы умножим на (-2) и прибавим ко второй, затем ее же умножим на (-1) и прибавим к третьей:

Поскольку вторая и третья строки пропорциональны, то одну из них можно вычеркнуть, что не изменит ранг. Получаем , так как в матрице есть минор второго порядка, отличный от нуля, а миноры более высокого порядка отсутствуют.

Пример 3. Привести данную матрицу к ступенчатому виду и определить её ранг. .
Решение. Получим нули в первом столбце, оперируя первой строкой .
Третью строку вычеркиваем, поскольку она получается умножением второй строки на 2, а в последней строке отбросим общий множитель:

7.

4.4. Вывод размера матрицы MathCAD 12 руководство

RADIOMASTER

Лучшие смартфоны на Android в 2022 году

Серия iPhone от Apple редко чем удивляет. Когда вы получаете новый iPhone, общее впечатление, скорее всего, будет очень похожим на ваше предыдущее устройство. Однако всё совсем не так в лагере владельцев устройств на Android. Существуют телефоны Android всех форм и размеров, не говоря уже о разных ценовых категориях. Другими словами, Android-телефон может подойти многим. Однако поиск лучших телефонов на Android может быть сложной задачей.

1685 0

Документация Схемотехника CAD / CAM Статьи

MathCAD 12 MatLab OrCAD P CAD AutoCAD MathCAD 8 — 11

• Главная
/
• База знаний
/
• CAD / CAM
/
• org/Breadcrumb»>MathCAD 12

• Линейная алгебра
• 7.1. Простейшие матричные операции
  • 7.1.1. Транспонирование
  • 7.1.2. Сложение и вычитание
  • 7.1.3. Умножение
• 7.2. Векторная алгебра
  • 7.2.1. Модуль вектора
  • 7.2.2. Скалярное произведение
  • 7.2.3. Векторное произведение
  • 7.2.4. Векторизация массива
• 7.3. Вычисление определителей и обращение квадратных матриц
  • 7.3.1. Определитель квадратной матрицы
  • 7.3.2. Ранг матрицы
  • 7.3.3. Обращение квадратной матрицы
  • 7.3.4. Возведение квадратной матрицы в степень
  • 7.3.5. Матричные нормы
  • 7.3.6. Число обусловленности квадратной матрицы
• 7.4. Вспомогательные матричные функции
  • 7.4.1. Автоматическая генерация матриц
  • 7.4.2. Разбиение и слияние матриц
  • 7. 4.3. Сортировка элементов матриц
  • 7.4.4. Вывод размера матрицы

Для получения сведений о характеристиках матриц или векторов предусмотрены следующие встроенные функции (листинги 7.28 и 7.29 соответственно):

•  rows (A) — число строк;
•  cols (А) — число столбцов;
•  length (v) — число элементов вектора;
•  last (v) — индекс последнего элемента вектора:

•  А — матрица или вектор;
•  v — вектор.

ПРИМЕЧАНИЕ

Если матричные индексы нумеруются с 1, т. е. системная константа ORIGIN равна не о (по умолчанию), а 1, то число элементов вектора и индекс его последнего элемента совпадают.

Листинг 7.28. Размер матриц

Листинг 7.29. Размер векторов

 

Теги MathCad САПР

Сюжеты MathCad

Глава 1 Основы работы с системой Mathcad 11

10095 0

Глава 10 Работа с информационными ресурсами Mathcad 11

7083 0

Глава 2 Работа с файлами Mathcad 11

12813 0

Комментарии (0)

Вы должны авторизоваться, чтобы оставлять комментарии.

Вход

О проекте Использование материалов Контакты

Новости Статьи База знаний

Радиомастер
© 2005–2022 radiomaster.ru

При использовании материалов данного сайта прямая и явная ссылка на сайт radiomaster.ru обязательна. 0.2273 s

линейная алгебра — Какова размерность матрицы?

Задавать вопрос

спросил 10 лет, 2 месяца назад

Изменено 6 лет, 3 месяца назад

Просмотрено 173 тыс. раз

$\begingroup$ 9н$.

Другими словами, я был убежден, что размерность — это количество элементов, составляющих векторы в нашем векторном пространстве, но размерность — это сколько векторов содержит векторное пространство?!

Где я ошибаюсь?

• линейная алгебра
• векторные пространства

$\endgroup$

7

$\begingroup$

Размерность векторного пространства — это количество координат, необходимых для описания точки в нем. 3$ имеет размерность $2$, поскольку каждая точка плоскости может быть описана двумя параметрами, даже если реальная точка будет иметь вид $(x,y, г) $.

Если взять строки матрицы за основу векторного пространства, размерность этого векторного пространства даст вам количество независимых строк. Для векторного пространства, базисные элементы которого сами являются матрицами, размерность будет меньше или равна количеству элементов в матрице, это $\dim[M_2(\mathbb{R})]=4$

$\endgroup$

8

$\begingroup$

Здесь может быть полезна следующая литература из «Линейной алгебры» Фридберга:

---

Определения. Векторное пространство называется конечномерным , если оно имеет базис, состоящий из конечного числа векторов. Уникальное число векторов в каждом базисе $V$ называется размерностью $V$ и обозначается $\dim(V)$.

---

Базис, если вы еще не знали, это набор линейно независимых векторов, которые охватывают некоторое векторное пространство, скажем, $W$, являющееся подмножеством $V$.

$\endgroup$

$\begingroup$

Размерность — это количество оснований в ПРОСТРАНСТВЕ СТОЛБЦА матрицы, представляющей линейную функцию между двумя пространствами. т. е. если у вас есть отображение линейной функции R3 -> R2, то пространство столбцов матрицы, представляющей эту функцию, будет иметь размерность 2, а недействительность будет равна 1. Это результат теоремы ранг + недействительность -> например. размерность R3 = rank(col(A)) + null(A), или 3 = 2 + 1. По существу, один из базисных векторов в R3 коллапсирует (или отображается) в вектор 0 (ядро) в R2.

$\endgroup$

1

линейная алгебра — Очень запутанная размерность матрицы

Задавать вопрос

спросил 6 лет, 2 месяца назад

Изменено 6 лет, 2 месяца назад

Просмотрено 4к раз

$\begingroup$

Меня очень раздражает и смущает размер матрицы. До сих пор я думал, что размерность матрицы равна ее рангу. Но, похоже, это не так. Или так бывает иногда, в особых случаях?.. Вы видите мое замешательство прямо здесь.

Возьмем в качестве примера эту матрицу $A= \begin{pmatrix} 1 и 3 и 2\\ 2 и 4 и 4\\ 3 и 5 и 6 \end{pmatrix}$

Ранг этой матрицы $2$. Я использовал Gauss, и это был последний результат, который я получил (я хочу быть кратким):

$$A= \begin{pmatrix} 6 и 18 и 12\\ 0 и -8 и 0\\ 0 и 0 и 0 \end{pmatrix}$$

Но почему размерность $3$? Неужто просто потому, что в этой матрице $3$ столбцов?

Почему говорят, что размерность равна рангу? Или они имеют в виду размер изображения, когда говорят это?

Пожалуйста, пожалуйста, я сейчас в отчаянии, потому что до сих пор ничего не знаю об этом, и прошу разъяснений.

• линейная алгебра
• матрицы
• векторные пространства
• векторы

$\endgroup$

5

$\begingroup$

Путаница, вероятно, возникает из-за того, что слово «измерение(я)» используется для разных вещей. Однако в контексте векторных пространств это имеет очень специфическое значение.

Матрица, состоящая из $m$ строк и $n$ столбцов, называется $m \times n$-матрицей. Это дает вам размером матрицы, но иногда «$m$ на $n$» называют «размерами» матрицы. Когда $m=n$, это число иногда называют просто размерностью квадратной матрицы.

Существует ряд эквивалентных способов описания ранга матрицы, например количество линейно независимых столбцов (или строк). В контексте векторных пространств это размерность пространства столбцов (или строк) матрицы. Слово «размерность» имеет в этом контексте очень конкретное значение, а именно количество элементов в основе подпространства.

$\endgroup$

$\begingroup$

Использование термина размерность лучше отнести только к векторным пространствам и их элементам.

Таким образом, для матрицы из $m$ строк и $n$ столбцов мы можем сказать, что это матрица размера $m \times n$ , которая представляет собой линейное преобразование из векторного пространства размерности $n$ ( его область определения) в векторное пространство размерности $m$ (его область значений) и что его ранг может быть числом $p \le \mbox{min}(m,n)$.