Центральные и вписанные углы. Как найти?
Угол и окружность: на первый взгляд — ничего общего. Давайте разберемся, что же такого привлекательного в этих углах, что окружность все время позволяет им вписываться.
Центральный угол и вписанный угол
Окружность — замкнутая линия, все точки которой равноудалены от ее центра.
Определение центрального угла:
Центральный угол — это угол, вершина которого лежит в центре окружности.
Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.
На рисунке: центральный угол окружности EOF и дуга, на которую он опирается EF
Определение вписанного угла:
Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности.
Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается.
На рисунке: вписанный в окружность угол ABC и дуга, на которую он опирается AC
Демоурок по математике
Узнайте, какие темы у вас «хромают», а после — разбирайте их без зубрежки формул и скучных лекций.
Свойства центральных и вписанных углов
Углы просты только на первый взгляд. Свойства центрального угла и свойства вписанного угла помогут решать задачки легко и быстро.
- Вписанный угол в два раза меньше, чем центральный угол, если они опираются на одну и ту же дугу:
Угол AOC — центральный, угол ABC — вписанный. Оба угла опираются на дугу AC, в этом случае центральный угол равен дуге AC, а угол ABC равен половине угла AOC.
- Теорема о центральном угле: центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается:
ㄥAOB = ◡ AB
- Вписанные углы окружности равны друг другу, если опираются на одну дугу:
ㄥADC = ㄥABC = ㄥAEC, поскольку все три угла, вписанные в окружность, опираются на одну дугу AC.
- Вписанный в окружность угол, опирающийся на диаметр, — всегда прямой:
ㄥACB опирается на диаметр и на дугу AB, диаметр делит окружность на две равные части. Значит дуга AB = 180 ํ, ㄥCAB равен половине дуги, на которую он опирается, значит ㄥCAB = 90 ํ.
Если есть вписанный, обязательно найдется и описанный угол. Описанный угол — это угол, образованный двумя касательными к окружности. Вот так:
На рисунке: ㄥCAB, образованный двумя касательными к окружности. AO — биссектриса ㄥCAB, значит центр окружности лежит на биссектрисе описанного угла.
Для решения задачек мало знать, какой угол называется вписанным, а какой — описанным. Нужно знать, что такое хорда и ее свойство.
Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!
Хорда — отрезок, соединяющий две точки на окружности.
- Если две хорды в окружности пересекаются, то произведения отрезков одной равно произведению отрезков другой.
AB * AC = AE * AD
Получается, что стороны вписанного в окружность угла — это хорды.
- Если вписанные углы опираются на одну и ту же хорду — они равны, если их вершины находятся по одну сторону от хорды.
ㄥBAC = ㄥCAB, поскольку лежат на хорде BC.
- Если два вписанных угла опираются на одну и ту же хорду, то их суммарная градусная мера равна 180°, если их вершины находятся по разные стороны от хорды.
ㄥBAC + ㄥBDC = 180°
Примеры решения задач
Задачка 1.
Дана окружность, дуга AC = 200°, дуга BC = 80°. Найдите, чему равен вписанный угол, опирающийся на дугу AB. ㄥACB = ?
Как решаем: окружность 360° − AC − CB = 360° − 200° − 80° = 80°
По теореме: вписанный угол равен дуге ½.
ㄥACB = ½ AB = 40°
Задачка 2. Дана окружность, ㄥAOC = 140°, найдите, чему равна величина вписанного угла.
Мы уже потренировались и знаем, как найти вписанный угол.
На рисунке в окружности центральный угол и дуга AC = 140°
Мы знаем, что вписанный угол равен половине центрального, то ㄥABC = ½ AC = 140/2 = 70°
СB = ⅕ от 360° = 72°
Вписанный угол равен половине дуги, поэтому ㄥCAB = ½ от CB = 72° / 2 = 36°
Шпаргалки по математике родителей
Все формулы по математике под рукой
Острый вписанный угол.
\circ }$, следовательно, центральный угол $AOB$ равен дуге $AB$. Так как $AO=OC=r$, то треугольник $AOC$ равнобедренный. Значит, углы при основании $CAO$ и $ACO$ равны между собой. По теореме о внешнем угле треугольника, имеем:- Луч $CO$ делит внутренний угол на два угла. Пусть он пересекает окружность в точке $D$ (рис. 4).
Рисунок 4.
Получаем
- Луч $CO$ не делит внутренний угол на два угла и не совпадает ни с одной его стороной (Рис. 5).
Рисунок 5.
Рассмотрим отдельно углы $ACD$ и $DCB$. По доказанному в пункте 1, получим
Получаем
Теорема доказана.
Приведем следствия из данной теоремы.
Следствие 1: Вписанные углы, которые опираются на одну и туже дугу равны между собой.
Следствие 2: Вписанный угол, который опирается на диаметр — прямой.
Центральный угол — это угол, вершина которого находится в центре окружности.
Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают ее.
На рисунке — центральные и вписанные углы, а также их важнейшие свойства.
Итак, величина центрального угла равна угловой величине дуги, на которую он опирается . Значит, центральный угол величиной в 90 градусов будет опираться на дугу, равную 90°, то есть круга. Центральный угол, равный 60°, опирается на дугу в 60 градусов, то есть на шестую часть круга.
Величина вписанного угла в два раза меньше центрального, опирающегося на ту же дугу .
Также для решения задач нам понадобится понятие «хорда».
Равные центральные углы опираются на равные хорды.
1. Чему равен вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности? Ответ дайте в градусах.
Вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой.
2. Центральный угол на 36° больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол. Ответ дайте в градусах.
Пусть центральный угол равен х, а вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, равен у.
Мы знаем, что х = 2у.
Отсюда 2у = 36 + у,
у = 36.
3. Радиус окружности равен 1. Найдите величину тупого вписанного угла, опирающегося на хорду, равную . Ответ дайте в градусах.
Пусть хорда АВ равна . Тупой вписанный угол, опирающийся на эту хорду, обозначим α.
В треугольнике АОВ стороны АО и ОВ равны 1, сторона АВ равна . Нам уже встречались такие треугольники. Очевидно, что треугольник АОВ — прямоугольный и равнобедренный, то есть угол АОВ равен 90°.
Тогда дуга АСВ равна 90°, а дуга АКВ равна 360° — 90° = 270°.
Вписанный угол α опирается на дугу АКВ и равен половине угловой величины этой дуги, то есть 135°.
Ответ: 135.
4. Хорда AB делит окружность на две части, градусные величины которых относятся как 5:7. Под каким углом видна эта хорда из точки C, принадлежащей меньшей дуге окружности? Ответ дайте в градусах.
Главное в этой задаче — правильный чертеж и понимание условия. Как вы понимаете вопрос: «Под каким углом хорда видна из точки С?»
Представьте, что вы сидите в точке С и вам необходимо видеть всё, что происходит на хорде АВ.
Очевидно, что найти нужно угол АСВ.
Сумма двух дуг, на которые хорда АВ делит окружность, равна 360°, то есть
5х + 7х = 360°
Отсюда х = 30°, и тогда вписанный угол АСВ опирается на дугу, равную 210°.
Величина вписанного угла равна половине угловой величины дуги, на которую он опирается, значит, угол АСВ равен 105°.
Угол ABC — вписанный угол. Он опирается на дугу АС, заключённую между его сторонами (рис. 330).
Теорема . Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.
Это надо понимать так: вписанный угол содержит столько угловых градусов, минут и секунд, сколько дуговых градусов, минут и секунд содержится в половине дуги, на которую он опирается.
При доказательстве этой теоремы надо рассмотреть три случая.
Первый случай.
Пусть ∠ABC — вписанный угол и центр круга О лежит на стороне BC.
Требуется доказать, что он измеряется половиной дуги AC.
Соединим точку A с центром круга. Получим равнобедренный \(\Delta\)AOB, в котором АО = OB, как радиусы одного и того же круга. Следовательно, ∠A = ∠B.
∠AOC является внешним по отношению к треугольнику AOB, поэтому ∠AOC = ∠А + ∠В, а так как углы А и В равны, то ∠В составляет 1 / 2 ∠AOC.
Но ∠AOC измеряется дугой АС, следовательно, ∠В измеряется половиной дуги АС.
Например, если \(\breve{AC}\) содержит 60°18’, то ∠В содержит 30°9’.
Второй случай. Центр круга лежит между сторонами вписанного угла (рис. 332).
Пусть ∠ABD — вписанный угол. Центр круга О лежит между его сторонами. Требуется доказать, что ∠ABD измеряется половиной дуги АD.
Для доказательства проведём диаметр BC. Угол ABD разбился на два угла: ∠1 и ∠2.
∠1 измеряется половиной дуги АС, а ∠2 измеряется половиной дуги СD, следовательно, весь ∠АВD измеряется 1 / 2 \(\breve{AC}\) + 1 / 2 \(\breve{CD}\), т. е. половиной дуги АD.
Например, если \(\breve{AD}\) содержит 124°, то ∠В содержит 62°.
Третий случай. Центр круга лежит вне вписанного угла (рис. 333).
Пусть ∠MAD — вписанный угол. Центр круга О находится вне угла. Требуется доказать, что ∠MAD измеряется половиной дуги MD.
Для доказательства проведём диаметр AB. ∠MAD = ∠MAB — ∠DAB. Но ∠MAB измеряется 1 / 2 \(\breve{MB}\), а ∠DAB измеряется 1 / 2 \(\breve{DB}\).
Следовательно, ∠MAD измеряется 1 / 2 (\(\breve{MB} — \breve{DB})\), т. е. 1 / 2 \(\breve{MD}\).
Например, если \(\breve{MD}\) содержит 48° 38″, то ∠MAD содержит 24° 19’ 8″.
Следствия
1. Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой, так как они измеряются половиной одной и той же дуги (рис. 334, а).
2. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой, так как он опирается на половину окружности. Половина окружности содержит 180 дуговых градусов, значит, угол, опирающийся на диаметр, содержит 90 угловых градусов (рис.
334, б).
Сегодня мы рассмотрим очередной тип задач 6 — на этот раз с окружностью. Многие ученики не любят их и считают сложными. И совершенно напрасно, поскольку такие задачи решаются элементарно , если знать некоторые теоремы. Или не решаются вообще, если их не знать.
Прежде чем говорить об основных свойствах, позвольте напомнить определение:
Вписанный угол — тот, у которого вершина лежит на самой окружности, а стороны высекают на этой окружности хорду.
Центральный угол — это любой угол с вершиной в центре окружности. Его стороны тоже пересекают эту окружность и высекают на ней хорду.
Итак, понятия вписанного и центрального угла неразрывно связаны с окружностью и хордами внутри нее. А теперь — основное утверждение:
Теорема. Центральный угол всегда в два раза больше вписанного, опирающегося на ту же самую дугу.
Несмотря на простоту утверждения, существует целый класс задач 6, которые решаются с помощью него — и никак иначе.
Задача. Найдите острый вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности.
Пусть AB — рассматриваемая хорда, O — центр окружности. Дополнительное построение: OA и OB — радиусы окружности. Получим:
Рассмотрим треугольник ABO . В нем AB = OA = OB — все стороны равны радиусу окружности. Поэтому треугольник ABO — равносторонний, и все углы в нем по 60°.
Пусть M — вершина вписанного угла. Поскольку углы O и M опираются на одну и ту же дугу AB , вписанный угол M в 2 раза меньше центрального угла O . Имеем:
M = O : 2 = 60: 2 = 30
Задача. Центральный угол на 36° больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол.
Введем обозначения:
- AB — хорда окружности;
- Точка O — центр окружности, поэтому угол AOB — центральный;
- Точка C — вершина вписанного угла ACB .
Поскольку мы ищем вписанный угол ACB
, обозначим его ACB
= x
.
Тогда центральный угол AOB
равен x
+ 36. С другой стороны, центральный угол в 2 раза больше вписанного. Имеем:
AOB
= 2 · ACB
;
x
+ 36 = 2 · x
;
x
= 36.
Вот мы и нашли вписанный угол AOB — он равен 36°.
Окружность — это угол в 360°
Прочитав подзаголовок, знающие читатели, наверное, сейчас скажут: «Фу!» И действительно, сравнивать окружность с углом не совсем корректно. Чтобы понять, о чем речь, взгляните на классическую тригонометрическую окружность:
К чему эта картинка? А к тому, что полный оборот — это угол в 360 градусов. И если разделить его, скажем, на 20 равных частей, то размер каждой из них будет 360: 20 = 18 градусов. Именно это и требуется для решения задачи B8.
Точки A , B и C лежат на окружности и делят ее на три дуги, градусные меры которых относятся как 1: 3: 5. Найдите больший угол треугольника ABC .
Для начала найдем градусную меру каждой дуги. Пусть меньшая из них равна x
. На рисунке эта дуга обозначена AB
.
Тогда остальные дуги — BC
и AC
— можно выразить через AB
: дуга BC
= 3x
; AC
= 5x
. В сумме эти дуги дают 360 градусов:
AB
+ BC
+ AC
= 360;
x
+ 3x
+ 5x
= 360;
9x
= 360;
x
= 40.
Теперь рассмотрим большую дугу AC , которая не содержит точку B . Эта дуга, как и соответствующий центральный угол AOC , равна 5x = 5 · 40 = 200 градусов.
Угол ABC — самый большой из всех углов треугольника. Это вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, что и центральный угол AOC . Значит, угол ABC в 2 раза меньше AOC . Имеем:
ABC = AOC : 2 = 200: 2 = 100
Это и будет градусная мера большего угла в треугольнике ABC .
Окружность, описанная вокруг прямоугольного треугольника
Эту теорему многие забывают. А зря, ведь некоторые задачи B8 без нее вообще не решаются. Точнее, решаются, но с таким объемом вычислений, что вы скорее уснете, чем дойдете до ответа.
Теорема. Центр окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы.
Что следует из этой теоремы?
- Середина гипотенузы равноудалена от всех вершин треугольника. Это прямое следствие теоремы;
- Медиана, проведенная к гипотенузе, делит исходный треугольник на два равнобедренных. Как раз это и требуется для решения задачи B8.
В треугольнике ABC провели медиану CD . Угол C равен 90°, а угол B — 60°. Найдите угол ACD .
Поскольку угол C равен 90°, треугольник ABC — прямоугольный. Получается, что CD — медиана, проведенная к гипотенузе. Значит, треугольники ADC и BDC — равнобедренные.
В частности, рассмотрим треугольник ADC . В нем AD = CD . Но в равнобедренном треугольнике углы при основании равны — см. «Задача B8: отрезки и углы в треугольниках ». Поэтому искомый угол ACD = A .
Итак, осталось выяснить, чему равен угол A . Для этого снова обратимся к исходному треугольнику ABC . Обозначим угол A = x . Поскольку сумма углов в любом треугольнике равна 180°, имеем:
A
+ B
+ BCA
= 180;
x
+ 60 + 90 = 180;
x
= 30.
Разумеется, последнюю задачу можно решить по-другому. Например, легко доказать, что треугольник BCD — не просто равнобедренный, а равносторонний. Значит, угол BCD равен 60 градусов. Отсюда угол ACD равен 90 − 60 = 30 градусов. Как видите, можно использовать разные равнобедренные треугольники, но ответ всегда будет один и тот же.
Простое руководство по треугольнику 30-60-90
Острые, тупые, равнобедренные, равносторонние… Когда дело доходит до треугольников, существует множество их разновидностей, но лишь некоторые из них являются «особыми». Эти специальные треугольники имеют стороны и углы, которые постоянны и предсказуемы, и их можно использовать для быстрого решения задач по геометрии или тригонометрии. И треугольник 30-60-90 — произносится как «тридцать шестьдесят девяносто» — действительно является очень особым типом треугольника.
В этом руководстве мы расскажем вам, что такое треугольник 30-60-90, почему он работает и когда (и как) использовать ваши знания о нем.
Итак, приступим!
Что такое треугольник 30-60-90?
Треугольник 30-60-90 — это особый прямоугольный треугольник (прямоугольным треугольником считается любой треугольник, содержащий угол в 90 градусов), углы которого всегда равны 30, 60 и 90 градусов. Поскольку это особый треугольник, у него также есть значения длин сторон, которые всегда находятся в постоянном соотношении друг с другом.
Основное соотношение треугольника 30-60-90:
Сторона, противоположная углу 30°: $x$
Сторона, противоположная углу 60°: $x * √3$
Сторона, противоположная углу 90°: $2 x
Например, треугольник 30-60-90 градусов может иметь боковую длину:
2, 2√3, 4
7, 7√3, 14
√3, 3, 2√3
(Почему более длинная сторона равна 3? В этом треугольнике самая короткая сторона ($x$) равна $√3$, поэтому для более длинной стороны $x√ 3 = √3 * √3 = √9= 3$. А гипотенуза в 2 раза больше кратчайшего катета, или $2√3$)
И так далее.
Сторона, противоположная углу 30°, всегда является наименьшей , потому что 30 градусов — это наименьший угол. Сторона, противоположная углу 60°, будет средней длиной , потому что 60° — средний угол в градусах в этом треугольнике. И, наконец, сторона, противоположная углу 90°, всегда будет наибольшей стороной (гипотенуза) , потому что 90 градусов — это наибольший угол.
Хотя он может быть похож на другие типы прямоугольных треугольников, треугольник 30-60-90 настолько особенный, что вам нужно всего три элемента информации, чтобы найти все остальные измерения. Пока вы знаете значение двух углов и длины одной стороны (неважно, какой стороны), вы знаете все, что вам нужно знать о своем треугольнике.
Например, мы можем использовать формулу треугольника 30-60-90, чтобы заполнить все оставшиеся информационные пробелы треугольников ниже.
Пример 1
Мы видим, что это прямоугольный треугольник, в котором гипотенуза вдвое больше длины одного из катетов.
Это означает, что это должен быть треугольник 30-60-90 и меньшая заданная сторона противоположна 30°.
Следовательно, более длинная сторона должна располагаться напротив угла 60° и иметь размер $6 * √3$, или $6√3$.
Пример 2
Мы можем видеть, что это должен быть треугольник 30-60-90, потому что мы видим, что это прямоугольный треугольник с одним заданным измерением, 30°. Тогда немаркированный угол должен быть равен 60°.
Так как 18 — это мера, противоположная углу 60°, она должна быть равна $x√3$. Тогда самая короткая нога должна быть равна $18/√3$.
(Обратите внимание, что длина ноги на самом деле будет $18/{√3} * {√3}/{√3} = {18√3}/3 = 6√3$, потому что знаменатель не может содержать радикальный/квадратный корень ).
А гипотенуза будет равна $2(18/√3)$
(Обратите внимание, что в знаменателе снова не может быть радикала, так что окончательный ответ действительно будет в 2 раза больше длины катета $6√3$ = > $12√3$).
Пример 3
Опять же, нам даны два измерения угла (90° и 60°), поэтому третье измерение будет равно 30°. Поскольку это треугольник 30-60-90, а гипотенуза равна 30, самый короткий катет будет равен 15, а более длинный катет будет равен 15√3.
Не нужно обращаться к волшебной восьмерке — эти правила работают всегда.
Почему это работает: 30-60-90 Доказательство теоремы о треугольнике
Но почему этот особый треугольник работает именно так? Откуда мы знаем, что эти правила законны? Давайте пройдемся по тому, как именно 30-60-9Теорема треугольника 0 работает и доказывает, почему эти длины сторон всегда будут постоянными.
Во-первых, давайте на секунду забудем о прямоугольных треугольниках и посмотрим на равносторонний треугольник .
Равносторонний треугольник — это треугольник, у которого все стороны равны и все углы равны. Поскольку сумма внутренних углов треугольника всегда равна 180°, а $180/3 = 60$, равносторонний треугольник всегда будет иметь три угла по 60°.
Теперь опустим высоту от самого верхнего угла к основанию треугольника.
Итак, мы создали два прямых угла и два конгруэнтных (равных) треугольника.
Откуда мы знаем, что это равные треугольники? Поскольку мы отбросили высоту от равностороннего треугольника , мы разделили основание ровно пополам. Новые треугольники также имеют одну общую длину стороны (высоту), и каждый из них имеет одинаковую длину гипотенузы. Поскольку они имеют три общие длины сторон (SSS), это означает, что треугольники конгруэнтны.
Примечание: два треугольника конгруэнтны не только на основе принципов длины стороны-стороны-стороны, или SSS, но также на основе мер стороны-угла-стороны (SAS), угла-угла-стороны (AAS) и угол-бок-угол (ASA). В принципе? Они определенно конгруэнтны.
Теперь, когда мы доказали конгруэнтность двух новых треугольников, мы можем видеть, что каждый верхний угол должен быть равен 30 градусам (поскольку каждый треугольник уже имеет углы 90° и 60° и должен в сумме составлять 180°).
). Это означает мы сделали два треугольника 30-60-90.
А поскольку мы знаем, что мы разрезаем основание равностороннего треугольника пополам, мы можем видеть, что сторона, противоположная углу в 30° (самая короткая сторона) каждого из наших треугольников 30-60-90, составляет ровно половину длины гипотенузы.
Итак, назовем исходную длину стороны $x$, а нашу длину, разделенную пополам, $x/2$.
Теперь все, что нам осталось сделать, это найти длину средней стороны двух треугольников. Для этого мы можем просто использовать теорему Пифагора. 92}/4$
$b = {√3x}/2$
Итак, у нас осталось: $x/2, {x√3}/2, x$
Теперь давайте умножим каждую меру на 2. , просто чтобы облегчить жизнь и избежать всех дробей. Таким образом, у нас остается:
$x$, $x√3$, $2x$
Таким образом, мы можем видеть, что треугольник 30-60-90 будет всегда иметь постоянную длину стороны $ x$, $x√3$ и $2x$ (или $x/2$, ${√3x}/2$ и $x$).
К счастью для нас, мы можем доказать 30-60-90 правил треугольника истинны без всего.
.. этого.
Когда использовать правила треугольника 30-60-90
Знание правил треугольника 30-60-90 поможет вам сэкономить время и энергию при решении множества различных математических задач, а именно самых разнообразных геометрических и задачи по тригонометрии.
Геометрия
Правильное понимание треугольников 30-60-90 позволит вам решать вопросы геометрии, которые либо невозможно решить, не зная этих правил соотношения, либо, по крайней мере, потребуется значительное время и усилия для их решения. решить «длинный путь».
С помощью специальных соотношений треугольников вы можете определить отсутствующие высоты треугольников или длины катетов (без использования теоремы Пифагора), найти площадь треугольника, используя недостающую информацию о высоте или длине основания, и быстро вычислить периметры.
Каждый раз, когда вам нужно быстро ответить на вопрос, вам пригодится запоминание таких сокращений, как ваши правила 30-60-90.
Тригонометрия
Запоминание и понимание соотношения треугольников 30-60-90 также позволит вам решать многие задачи по тригонометрии без использования калькулятора или необходимости аппроксимировать свои ответы в десятичной форме.
Треугольник 30-60-90 имеет довольно простые синусы, косинусы и тангенсы для каждого угла (и эти измерения всегда будут согласованы).
Синус 30° всегда будет $1/2$.
Косинус 60° всегда равен $1/2$.
Хотя другие синусы, косинусы и тангенсы довольно просты, эти два проще всего запомнить, и они, скорее всего, появятся на тестах. Так что знание этих правил позволит вам найти эти тригонометрические измерения как можно быстрее.
Советы по запоминанию правил 30-60-90
Вы знаете, что эти правила соотношения 30-60-90 полезны, но как удержать информацию в голове? Чтобы запомнить правила треугольника 30-60-90, нужно помнить соотношение 1: √3 : 2 и знать, что самая короткая сторона всегда находится напротив самого короткого угла (30°), а самая длинная сторона всегда находится напротив угла.
наибольший угол (90°).
Некоторые люди запоминают соотношение, думая: « $\bi x$, $\bo 2 \bi x$, $\bi x \bo √ \bo3$, «, потому что последовательность «1, 2, 3», как правило, легко запомнить. Единственная мера предосторожности при использовании этого метода состоит в том, чтобы помнить, что самая длинная сторона на самом деле равна $2x$, , а не $x$, умноженному на $√ 3$.
Еще один способ запомнить ваши пропорции — это использовать мнемоническую игру слов с соотношением 1: корень 3: 2 в правильном порядке. «: один, корень три, два. (И это настоящий факт из истории бейсбола!)
Поэкспериментируйте со своими мнемоническими приемами, если они вас не устраивают, — спойте отношение к песне, найдите свои собственные фразы «один, корень три, два» или придумайте стихотворение с отношением. Вы даже можете просто вспомнить, что треугольник 30-60-90 — это половина равностороннего треугольника, и вычислить измерения оттуда, если вам не нравится их запоминать.
Однако вам имеет смысл запомнить эти правила 30-60-90, держите эти отношения в голове для будущих вопросов по геометрии и тригонометрии.
Запоминание — ваш друг, но вы можете его заставить.
Пример 30-60-90 Вопросы
Теперь, когда мы рассмотрели как и почему треугольники 30-60-90, давайте поработаем над некоторыми практическими задачами.
Геометрия
Строитель прислоняет 40-футовую лестницу к стене здания под углом 30 градусов к земле. Земля ровная, а сторона здания перпендикулярна земле. Как далеко вверх по зданию доходит лестница с точностью до ближайшего фута?
Не зная наших специальных правил треугольника 30-60-90, нам пришлось бы использовать тригонометрию и калькулятор, чтобы найти решение этой проблемы, поскольку у нас есть только одна сторона треугольника. Но поскольку мы знаем, что это особый треугольник , мы можем найти ответ за считанные секунды.
Если здание и земля перпендикулярны друг другу, это должно означать, что здание и земля образуют прямой (90°) угол. Также известно, что лестница касается земли под углом 30°. Таким образом, мы видим, что оставшийся угол должен быть равен 60°, что делает его равным 30-60-9.0 треугольник.
Теперь мы знаем, что гипотенуза (самая длинная сторона) этого числа 30-60-90 равна 40 футам, а это значит, что самая короткая сторона будет вдвое меньше. (Помните, что самая длинная сторона всегда в два раза — $2x$ — длиннее самой короткой стороны.) Поскольку самая короткая сторона находится напротив угла в 30°, а этот угол — градусная мера лестницы от земли, это означает, что верхняя часть лестницы ударяется о здание в 20 футах от земли.
Наш окончательный ответ: 20 футов.
Тригонометрия
Если в прямоугольном треугольнике sin Θ = $1/2$ и длина кратчайшего катета равна 8. Какова длина недостающей стороны, которая НЕ является гипотенузой?
Поскольку вы знаете правила 30-60-90, вы можете решить эту задачу, не прибегая ни к теореме Пифагора, ни к калькулятору.
Нам сказали, что это прямоугольный треугольник, а из наших специальных правил прямоугольного треугольника мы знаем, что синус 30° = $1/2$. Таким образом, недостающий угол должен составлять 60 градусов, что делает это 30-60-9.0 треугольник.
И поскольку это треугольник 30-60-90, и нам сказали, что самая короткая сторона равна 8, гипотенуза должна быть равна 16, а недостающая сторона должна быть равна $8 * √3$, или $8√3$.
Наш окончательный ответ 8√3.
Выводы
Запоминание правил для треугольников 30-60-90 поможет вам быстрее решать различные математические задачи . Но имейте в виду, что хотя знание этих правил и является удобным инструментом, который можно всегда носить на поясе, вы все же можете решить большинство проблем без них.
Следите за правилами $x$, $x√3$, $2x$ и 30-60-90 любым удобным для вас способом и старайтесь соблюдать их, если можете, но не паникуйте, если ваш разум отключается, когда наступает решающий момент.
В любом случае, у вас есть это.
А если вам нужно больше практики, пройдите этот тест на треугольник 30-60-90. Удачной сдачи теста!
Нужна дополнительная помощь по этой теме? Проверьте Tutorbase!
Наша проверенная база данных репетиторов включает ряд опытных преподавателей, которые могут помочь вам отшлифовать эссе по английскому языку или объяснить, как производные работают для исчисления. Вы можете использовать десятки фильтров и критериев поиска, чтобы найти идеального человека для ваших нужд.
У вас есть друзья, которым тоже нужна помощь в подготовке к экзаменам? Поделись этой статьей!
Кортни Монтгомери
Об авторе
Кортни набрала 99-й процентиль по SAT в старшей школе и закончила Стэнфордский университет со степенью в области культурной и социальной антропологии. Она увлечена тем, чтобы предоставить образование и инструменты для достижения успеха учащимся из всех слоев общества и слоев общества, поскольку она считает, что открытое образование является одним из величайших социальных уравнителей.
Имеет многолетний опыт репетиторства, в свободное время пишет творческие работы.
Краткое руководство по треугольнику 30-60-90 -Исчисление для чайников
Исследуйте книгу Купить на Amazon
Треугольник 30-60-90 имеет форму половины равностороннего треугольника, разрезанного прямо посередине вдоль его высоты. Он имеет углы 30 градусов, 60 градусов и 90 градусов, отсюда и его название! В любом 30-60-90, вы видите следующее: самый короткий катет находится напротив угла 30 градусов, длина гипотенузы всегда вдвое больше длины самого короткого катета, и вы можете найти длину длинного катета, умножив короткую катет на квадратный корень из 3.Гипотенуза — самая длинная сторона прямоугольного треугольника, отличная от длинного катета. Длинная нога — это сторона, противоположная углу 60 градусов.
Двумя наиболее распространенными прямоугольными треугольниками являются треугольники 30-60-90 и 45-45-90 градусов. Все 30-60-90 треугольников имеют стороны с одним и тем же основным отношением.
Если вы посмотрите на треугольник с углами 30–60–90 градусов в радианах, это будет выглядеть следующим образом:На рисунке показано отношение сторон треугольника с углами 30–60–90 градусов.
Прямоугольный треугольник 30-60-90 градусов
Если вы знаете одну сторону треугольника 30-60-90, вы можете найти две другие с помощью ярлыков. Вот три ситуации, с которыми вы столкнетесь при выполнении этих расчетов:Тип 1: Вы знаете короткую ногу (сторона напротив угла 30 градусов). Удвойте его длину, чтобы найти гипотенузу. Вы можете умножить короткую сторону на квадратный корень из 3, чтобы найти длинную сторону.
Тип 2: Вы знаете гипотенузу. Разделите гипотенузу на 2, чтобы найти короткую сторону. Умножьте этот ответ на квадратный корень из 3, чтобы найти длинную ногу.
Тип 3: Вы знаете длинную сторону (сторона напротив угла 60 градусов). Разделите эту сторону на квадратный корень из 3, чтобы найти короткую сторону.
Угол 36 градусов рисунок: в трапеции ABCD известны угол A=36 градусов и угол C=117 градусов найти углы B и…
