Главная — Фотошкола ЮУрГУ

Что значит dx: Производная как смысл жизни или что такое дифференциал(d) / Хабр

Содержание

Производная как смысл жизни или что такое дифференциал(d) / Хабр

Пролог:

Эта одна из статей серии «Производная как смысл жизни», сначала я хотел сделать одну огромную статью про почти все темы по дифференцированию, но я передумал и сделаю несколько статей, возможно так даже будет легче для людей которые пытаются найти конкретную для себя тему.

Начало

Для начала лучше ознакомиться со статьей о самой прозводной(скоро будет). Ну если вы ознакомились, или уже были ознакомлены то идем дальше.

Как мы уже знаем формула записи производной выглядит так:

-напоминаю, что Δx — приращение аргумента, Δy — приращение функции.

Мы должны понимать, что если мы уберем предел, то к f'(x) прибавиться коофициент, я ее называю «неточность».

Так же вполне логично, что при Δx->0, β->0, так как чем меньше мы делаем разницу между x и x₀, тем меньше значение «неточности»(в статье о производной об этом подробнее рассказано).

Теперь выразим из этого равенства приращение функции(Δy):

И на этом следует пока остановиться и рассмотреть график.

Смотрим дифференциалу в лицо

Расмотрим такой график:

Как мы знаем производная в точке равняется значению тангенса угла в этой точке, то есть f'(x)=tg(α). Так что давайте обозначим производную, ну и приращения которыми она ограничена.

Как мы видим приращение функции(Δy) как бы разделено на две части: BC и CD.
И ведь по-сути нам ведь интересна именно та часть, которая показывает на сколько изменился у относительно касательной — то есть BC, а CD — это лишь та «погрешность» которая нам не особо интересна, поэтому введем понятие дифференциала:

Дифференциал(d) — это линейная часть приращения функции.
Дифференциал функции(dy) — это главная линейная часть приращения функции.

Зная это введем обозначение на графике:

Вернемся к равенству

BD = Δy и мы знаем, что BD = BC + CD, а значит Δy = BC + CD, где BC мы назвали главной линейной частью приращения функции(dy), следовательно Δy = dy + βΔx.

Из формулы мы понимаем, что dy=f'(x)Δx.

Хорошо, мы определили чему равен дифференциал функции, а что же тогда является дифференциалом независимой пременной функции(аргумента).

Графически мы видим, что Δx никак не разделена касательной, то есть Δx это полное приращение функции, а значит dx = Δx.

Так же мы можем найти по формуле: dx = (x)’Δx = 1*Δx = Δx

И зная, что dy = f'(x)dx, мы можем выразить производную: f'(x)=dy/dx.

Немного пределов

Добавим с левой части и с правой предел

Тогда:

В самом начале мы сказали, что если β->0, то Δx->0 и наборот, а значит:

Зная, что f'(x)Δx = dy, мы делаем вывод, что:

Тогда так же мы можем сказать, что дифференциал функции — это приращения функции у которой приращение аргумента стремиться к нулю, ну и это следуется из того же графика.

В свою очередь dx по прежнему Δx

Производные, определение производных, дифференциалов, правила для дифференциалов

Определение производной

Если y = f(x), производная функции y или f(x) по отношению к x определяется как
13. 1           
где h = Δx. Производная также обозначается как y’, df/dx от f'(x). Процесс взятия производной называется дифференцированием.

Общие правила дифференцирования

В нижеследующем u, v, w есть функции x; a, b, c, n — константы [ограниченные, если указано]; e = 2.71828… есть натуральная основа логарифмов; ln u — натуральный логарифм u [т.е. логарифм по основанию е] где предполагается, что u > 0 и все углы — в радианах.

Производные тригонометрических и обратных тригонометрических функций
Производные экспоненциальных и логарифмических функций

Производные гиперболических и обратных гиперболических функций


Высшие производные

Вторая, третья и более высокие производные определяется следующим образом.
13.43 Вторая производная = (d/dx).(dy/dx) = d2y/dx2 = f»(x) = y »
13.44 Третья производная = (d/dx).(d2y/dx2) = d3/dx3 = f»'(x) = y»’

13. 45 n-ая производная = (d/dx).(dn — 1/dxn — 1) = dn/dxn = f(n)(x) = y(n)

Правило Лейбница для высших производных произведения

Пусть Dp с оператором dp/dxp так, что DP u = dpu/dxp = p-ый дериватив u. Тогда
13.46       
где есть биномиальные коэффициенты.

Как особый случай, мы имеем
13.47        
13.48        

Дифференциалы

Пусть y = f(x) и Δy = f(x + Δx) — f(x). Тогда
13.49          Δy/Δx = [f(x + Δx) — f(x)]/Δx = f'(x) + ε = dy/dx + ε
где ε → 0 когда Δx → 0. Таким образом,
13.50          Δy = f'(x)Δx + εΔx
Если мы назовем Δx = dx дифференциалом x, тогда мы определяем дифференциал y как
13.51        dy = f'(x)dx

Правила для дифференциалов

Правила для дифференциалов аналогичны правилам для производных. В качестве примера отметим, что

Частные производные

Пусть f(x, y) будет функцией двух переменных x и y. Тогда мы определяем частную производную f(x, y) по x, сохраняя у постоянным, как
13.58        
Подобно, частная производная f(x, y) по y, сохраняя x постоянным, будет
13.59       
Частные производные высших порядков могут быть определены следующим образом.
13.60        
13.61       
Результаты в 13.61 будут равны, если функция и ее частные производные являются непрерывными, т.е. в этом случае порядок дифференцирования не имеет значения.

Дифференциал f(x, y) определяется как
13.62          
где dx = Δx и dy = Δy.

Применение к функциям, имеющим более чем две переменные, в точности аналогично.

Но что такое «дх» на самом деле? Объяснение терминов исчисления

Символ «dx» встречается везде в исчислении. Например:

  • Если y является функцией x, то мы иногда записываем производную y по x следующим образом:
  • Когда мы записываем неопределенные интегралы, они записываются как:

 

  • Когда мы записываем определенные интегралы, они записываются как:

Но что такое «дх» на самом деле? Это больше, чем просто запись! В этом посте мы рассмотрим значение «dx» и попытаемся лучше понять некоторые символы, которые мы часто видим в исчислении.

Исчисление — это изучение непрерывных или бесконечно малых изменений. Чтобы понять, что это значит, давайте рассмотрим следующее: предположим, что вы участвуете в забеге. Вы начинаете бежать в момент времени x=0 секунд, а затем отслеживаете свое перемещение как функцию f(x). Тогда ваша функция смещения f(x) представляет собой непрерывную функцию , которая меняется со временем.

Теперь предположим, что вы хотите узнать свою скорость в момент времени x=10 секунд. Это расчетный вопрос, поскольку вы ищете скорость изменения в определенный момент времени. Как ты мог это сделать? Что ж, вы можете оценить свою скорость в момент времени t=10 как нашу среднюю скорость между моментами времени x=10 и x=11, которая может быть выражена как:

Но вы можете получить более точную оценку, выбрав меньший временной интервал, скажем, от x=10 до x=10,1 или даже лучше от x=10 до x=10,01.

На самом деле, то, что вы хотите сделать, это взять предел, когда размер вашего временного интервала стремится к нулю. То есть вы хотите получить бесконечно малое изменение x. Тогда, согласно определению производной, ваша скорость в момент x=10 секунд будет равна:

. Мы должны думать, что h стремится к нулю, как все меньшее и меньшее увеличение x, когда мы берем среднюю скорость от времени x=10 до времени x. =10+ч.

Здесь на помощь приходит «dx».

«dx» — бесконечно малое изменение x. Мы можем думать о «dx» (читается как dee-ex) как о бесконечно малом изменении x. Буква «d» в «dx» должна напоминать вам о дельте ∆, которая является символом изменения. «dx не имеет численного значения. Скорее, он отражает идею, которая часто встречается в исчислении, заключающуюся в том, чтобы взять предел все меньших и меньших размеров интервала, чтобы точно выяснить что-то о непрерывной функции.

Мы увидим это, если вернемся к нашей скорости пример из предыдущего. При вычислении нашей производной

Нижняя часть этой дроби равна (10+h)-10, когда h стремится к нулю, что является бесконечно малым изменением x. Поэтому мы могли бы думать о знаменателе при стремлении h к нулю как о dx. Если мы допустим y=f(x), то числитель этой дроби равен f(10+h)-f(10) при стремлении h к нулю, что является бесконечно малым изменением y или dy. Собрав все это вместе, мы восстанавливаем обозначение:

То есть производная f(x) есть частное бесконечно малого изменения y на бесконечно малое изменение x. Точнее говоря, это как раз и есть предел изменения у над изменением х при все меньших и меньших изменениях х. Обозначения «dx» и «dy» просто фиксируют эту процедуру ограничения и вместо этого выражают ее как бесконечно малое изменение x или y.

«dx» в интегралах

Другое место, где «dx» часто встречается, — это интегралы. Остановимся на определенных интегралах. Что означает «dx» в определенном интеграле?

«dx» здесь по-прежнему бесконечно малое изменение x. Чтобы понять, почему он здесь, мы должны думать об интеграле как о площади со знаком и как о пределе сумм Римана. Мы помним, что для вычисления левой суммы Римана функции f(x) от x=a до x=b с n интервалами допустимо следующее:

Тогда берем:

…где x принимает значения a, a + ∆x, a + 2∆x,…, a + (n — 1)∆x = b — ∆x.

Затем, когда мы устремляем n к бесконечности, ∆x становится все меньше и меньше, а сумма Римана сходится по значению к интегралу, который представляет собой площадь со знаком под кривой f(x) между x=a и x=b . Рисунок ниже (из статьи Википедии о суммах Римана) показывает этот процесс сходимости:

 

Теперь мы можем видеть, откуда взялись обозначения для интеграла. Знак интеграла ∫ является непрерывной версией знака суммы ∑. Границы интегрирования от a до b подобны первому и последнему значениям x для суммирования. А dx — это бесконечно малая версия ∆x, которую мы получаем, когда делаем все меньшие и меньшие размеры шага по x.

 

Другой способ представить это так: в нашем интеграле мы суммируем бесконечно малые прямоугольники с высотой f(x) и шириной dx, чтобы точно вычислить площадь со знаком.

Надеюсь, символ «dx» теперь немного менее загадочен!

Что означает DX?

Аббревиатура » Термин

Термин » Аббревиатура

Слово в термине

#ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ НОВЫЙ

Термин Определение Рейтинг
27 Dx

диагностика

Медицина » Физиология — и не только. ..

 Оценить it:
DX

Дуплекс

Компьютеры » Телекоммуникации

 Оценить:
0 DX0002 Выписан

Медицина » Больницы

 Оценить:
DX

Direct X

Компьютеры » Общие вычисления

DX

Delta X

Государственный » Транспорт

 Оценить:
DX

Дегенерация X

Разное0117

DX

Distance X

Разное » Unclassified

 Оценить:
dX Оценить:
DX

Dynex Capital, Inc.

Бизнес » Символы NYSE

 Оценить:
DX

23 Прямой обмен0002 Правительственные » Военные

Оценить:
DX

Declare X

Компьютеры » Сборка

 Оценить1:

2 0110 DX

Delta Chi

Академический и научный » Университеты

 Оценить:
DX

DEC Формат WPS/DX Текстовый файл

Компьютеры » Расширения файлов

 Оценить:2 220117
DX

Digital Xchange

Компьютеры » Аппаратное обеспечение

 Оценить:
DX 90902 3 900 Файл документа 02 Компьютеры » Расширения файлов

 Оценить:
DX

База данных THOR Данные перекрестных ссылок

Вычисления » Расширения файлов

 Оценить:
DX

Глубокий донор 9 соединений III-V0003

Академия и наука » Электроника

 Оценить:
DX

Dat’s Xpensive

Разное » Оценить:

DX

Дана Ксенофонт

Разное » Имена и прозвища

 Оценить:
DX

Digital Experience

Интернет

 Оценить:
Оценить:
DX

Управление Внешние связи (DIA)

Правительственный » Военный

 Оценить:
DX

Dead Xylophone

Разное » Funnies

 Оценить:
DX

Dandelion Xcitement

Разное » Приколы

1212