F 1 3: Mathway | Популярные задачи

и диапазон

Так что все эти разговоры о «, ограничивающем домен »?

В простейшей форме область — это все значения, входящие в функцию (а диапазон , — это все значения, которые выходят).

В его нынешнем виде функция не имеет обратного значения для функции , потому что некоторые значения y будут иметь более одного значения x.

Но мы могли бы ограничить домен так, чтобы было уникальных x для каждого y . ..

… и теперь у нас может быть обратное:

Также примечание:

• Функция f (x) переходит из области в диапазон,
• Обратная функция f ^-1 (y) переходит из диапазона обратно в домен.

Давайте нарисуем их оба в терминах x … так что теперь это f ^-1 (x) , а не f ^-1 (y) :

f (x) и f ^-1 (x) похожи на зеркальные изображения
(перевернут по диагонали).

Другими словами:

Графики f (x) и f ^-1 (x) симметричны по линии y = x

Пример: квадрат и квадратный корень (продолжение)

Первый , мы ограничиваем Домен до x ≥ 0 :

• {x ² | x ≥ 0} «x в квадрате, так что x больше или равно нулю»
• {√x | x ≥ 0} «квадратный корень из x такой, что x больше или равен нулю»

А вы видите, это «зеркальные отражения»
друг друга по диагонали y = x.

Примечание: когда мы ограничиваем область до x ≤ 0 (меньше или равно 0), обратное значение будет f ^-1 (x) = −√x :

• {x ² | х ≤ 0}
• {−√x | x ≥ 0}

Которые тоже обратные.

Не всегда разрешимо!

Иногда невозможно найти обратную функцию.

Пример: f (x) = x / 2 + sin (x)

Мы не можем вычислить обратное, потому что мы не можем решить для «x»:

у = х / 2 + грех (х)

г …? = х

Примечания к обозначениям

Несмотря на то, что мы пишем f ^-1 (x), «-1» — это , а не , показатель степени (или степени):

Сводка

• Значение, обратное f (x), равно f ^-1 (y)
• Мы можем найти обратное, перевернув «блок-схему»
• Или мы можем найти обратное с помощью алгебры:
  • Поместите «y» вместо «f (x)» и
  • Решить относительно x
• Нам может потребоваться ограничить домен , чтобы функция имела инверсию

Обратная функция — объяснение и примеры

Что такое обратная функция?

В математике обратная функция — это функция, которая отменяет действие другой функции.

Например, , сложение и умножение являются инверсией соответственно вычитания и деления.

Обратную функцию можно рассматривать как отражение исходной функции на линии y = x. Проще говоря, обратная функция получается заменой (x, y) исходной функции на (y, x).

Мы используем символ f ^{— 1} для обозначения обратной функции. Например, если f (x) и g (x) противоположны друг другу, то мы можем символически представить это утверждение как:

g (x) = f ^{— 1} (x) или f (x) = g ⁻¹ (x)

Об обратной функции следует обратить внимание на то, что обратная функция не совпадает с ее обратным i.е. f ^{— 1} (x) ≠ 1 / f (x). В этой статье мы обсудим, как найти обратную функцию.

Поскольку не все функции имеют инверсию, важно проверить, есть ли у функции инверсия, прежде чем приступать к процессу определения инверсии.

Мы проверяем, есть ли у функции инверсия, чтобы не тратить время на поиск чего-то, чего не существует.

Однозначные функции

Итак, как мы докажем, что данная функция имеет обратную? Функции, у которых есть обратные, называются взаимно однозначными функциями.

Функция называется взаимно однозначной, если для каждого числа y в диапазоне f существует ровно одно число x в области определения f такое, что f (x) = y.

Другими словами, область и диапазон функции один к одному имеют следующие отношения:

• Область f ⁻¹ = Диапазон f.

• Диапазон f ⁻¹ = Область f.

Например, чтобы проверить, является ли f (x) = 3x + 5 однозначно заданной функцией, f (a) = 3a + 5 и f (b) = 3b + 5.

3a + 5 = 3b + 5

⟹ 3a = 3b

⟹ a = b.

Следовательно, f (x) является взаимно однозначной функцией, потому что a = b.

Рассмотрим другой случай, когда функция f задается формулой f = {(7, 3), (8, –5), (–2, 11), (–6, 4)}. Эта функция взаимно однозначна, потому что ни одно из ее значений y не встречается более одного раза.

А что насчет этой другой функции h = {(–3, 8), (–11, –9), (5, 4), (6, –9)}? Функция h не является взаимно однозначной, потому что значение y, равное –9, встречается более одного раза.

Вы также можете графически проверить функцию один к одному, проведя вертикальную и горизонтальную линии через график функции. Функция взаимно однозначна, если и горизонтальная, и вертикальная линия проходят через график один раз.

Как найти обратную функцию?

Нахождение обратной функции — простой процесс, хотя есть несколько шагов, с которыми нам действительно нужно быть осторожными. В этой статье мы будем предполагать, что все функции, с которыми мы будем иметь дело, относятся друг к другу.

Порядок нахождения обратной функции f (x):

• Заменить обозначение функции f (x) на y.
• Поменять местами x на y и наоборот.
• Из шага 2 решите уравнение относительно y. Будьте осторожны с этим шагом.
• Наконец, измените y на f ⁻¹ (x). Это обратная функция.
• Вы можете проверить свой ответ, проверив, верны ли следующие два утверждения:

⟹ (f ∘ f ⁻¹ ) (x) = x

⟹ (f ⁻¹ ∘ f) (x) = x

Давайте рассмотрим пару примеров.

Пример 1

Дана функция f (x) = 3x — 2, найдите обратную ей функцию.

Решение

f (x) = 3x — 2

Замените f (x) на y.

⟹ y = 3x — 2

Поменять местами x на y

⟹ x = 3y — 2

Решить относительно y

x + 2 = 3y

Разделить на 3, чтобы получить;

1/3 (x + 2) = y

x / 3 + 2/3 = y

Наконец, заменим y на f ⁻¹ (x).

f ⁻¹ (x) = x / 3 + 2/3

Проверить (f ∘ f ⁻¹ ) (x) = x

(f ∘ f ⁻¹ ) (x) = f [f ⁻¹ (x)]

= f (x / 3 + 2/3)

⟹ 3 (x / 3 + 2/3) — 2

⟹ x + 2 — 2

= x

Следовательно, f ⁻¹ (x) = x / 3 + 2/3 — правильный ответ.

Пример 2

Учитывая f (x) = 2x + 3, найдите f ⁻¹ (x).

Решение

f (x) = y = 2x + 3

2x + 3 = y

Поменять местами x и y

⟹2y + 3 = x

Теперь решите относительно y

⟹2y = x — 3

⟹ y = x / 2 — 3/2

Наконец, заменим y на f ⁻¹ (x)

⟹ f ⁻¹ (x) = (x– 3) / 2

Пример 3

Задайте функцию f (x) = log ₁₀ (x), найдите f ⁻¹ (x).

Решение

f (x) = log₁₀ (x)

Заменено f (x) на y

⟹ y = log ₁₀ (x) ⟹ 10 ^y = x

Теперь замените x на y получить;

⟹ y = 10 ^x

Наконец, заменим y на f ⁻¹ (x).

f ^-1 (x) = 10 ^x

Следовательно, обратное значение f (x) = log ₁₀ (x) равно f ^-1 (x) = 10 ^x

Пример 4

Найдите обратную функцию следующей функции g (x) = (x + 4) / (2x -5)

Решение

g (x) = (x + 4) / ( 2x -5) ⟹ y = (x + 4) / (2x -5)

Обменять y на x и наоборот

y = (x + 4) / (2x -5) ⟹ x = (y + 4) / (2y -5)

⟹ x (2y − 5) = y + 4

⟹ 2xy — 5x = y + 4

⟹ 2xy — y = 4 + 5x

⟹ (2x — 1) y = 4 + 5x

Разделите обе части уравнения на (2x — 1).

⟹ y = (4 + 5x) / (2x — 1)

Заменить y на g ^{— 1} (x)

= g ^{— 1} (x) = (4 + 5x) / (2x — 1)

Доказательство:

(g ∘ g ⁻¹ ) (x) = g [g ⁻¹ (x)]

= g [(4 + 5x) / (2x — 1)]

= [(4 + 5x) / (2x — 1) + 4] / [2 (4 + 5x) / (2x — 1) — 5]

Умножьте числитель и знаменатель на (2x — 1).

⟹ (2x — 1) [(4 + 5x) / (2x — 1) + 4] / [2 (4 + 5x) / (2x — 1) — 5] (2x — 1).

⟹ [4 + 5x + 4 (2x — 1)] / [2 (4 + 5x) — 5 (2x — 1)]

⟹ [4 + 5x + 8x − 4] / [8 + 10x — 10x + 5]

⟹13x / 13 = x
Следовательно, g ^{— 1} (x) = (4 + 5x) / (2x — 1)

Пример 5

Определите обратное для следующего function f (x) = 2x — 5

Решение

Замените f (x) на y.

f (x) = 2x — 5⟹ y = 2x — 5

Переключите x и y, чтобы получить;

⟹ x = 2y — 5

Изолировать переменную y.

2y = x + 5

⟹ y = x / 2 + 5/2

Измените y обратно на f ^–1 (x).

⟹ f ^–1 (x) = (x + 5) / 2

Пример 6

Найдите функцию, обратную h (x) = (x — 2) ³ .

Решение

Измените h (x) на y, чтобы получить;

h (x) = (x — 2) ³ ⟹ y = (x — 2) ³

Поменять местами x и y

⟹ x = (y — 2) ³

Изолировать y.

y ³ = x + 2 ³

Найдите кубический корень из обеих частей уравнения.

³ √y ³ = ³ √x ³ + ³ √2 ³

y = ³ √ (2 ³ ) + 2

Заменить y на h ^{— 1} (x)

h ^{— 1} (x) = ³ √ (2 ³ ) + 2

Пример 7

Найдите обратное значение h (x) = ( 4x + 3) / (2x + 5)

Решение

Замените h (x) на y.

h (x) = (4x + 3) / (2x + 5) ⟹ y = (4x + 3) / (2x + 5)

Поменять местами x и y.

⟹ х = (4у + 3) / (2у + 5).

Решите относительно y в приведенном выше уравнении следующим образом:

⟹ x = (4y + 3) / (2y + 5)

Умножьте обе стороны на (2y + 5)

⟹ x (2y + 5) = 4y + 3

Распределить x

⟹ 2xy + 5x = 4y + 3

Изолировать y.

⟹ 2xy — 4y = 3 — 5x

⟹ y (2x — 4) = 3 — 5x

Разделим на 2x — 4, чтобы получить;

⟹ y = (3 — 5x) / (2x — 4)

Наконец, замените y на h ^-1 (x).

⟹ h ^{— 1} (x) = (3 — 5x) / (2x — 4)

Найдите обратное из следующих функций:

1. g (x) = (2x — 5) / 3.
2. h (x) = –3x + 11.
3. г (x) = — (x + 2) ² — 1.
4. г (x) = (5/6) x — 3/4
5. f (x) = 3 x — 2.
6. h (x) = x ² + 1.
7. g (x) = 2 (x — 3) ² — 5
8. f (x) = x ² / (x ² + 1)
9. h (x) = √x — 3.
10. f (x) = (x — 2) ⁵ + 3
11. f (x) = 2 x ³ — 1
12. f (x) = x ² — 4 x + 5
13. г (x) = ⁵ √ (2x + 11)
14. h (x) = 4x / (5 — x)

1.7 — Обратные функции

Обозначение

Функция, обратная f, обозначается f ^-1 (если ваш браузер не поддерживает надстрочные индексы, это выглядит как f с показателем -1) и произносится как «f инверсия».Хотя обратная функция функции выглядит как вы возводите функцию в степень -1, это не так. Обратная функция не означает обратная функция.

Обратные

Функция обычно сообщает вам, что такое y, если вы знаете, что такое x. Обратная функция скажет вы, каким должен быть x, чтобы получить это значение y.

Функция f ^-1 является обратной функцией f, если

• для каждого x в области f, f ^-1 [f (x)] = x и
• для каждого x в области f ^-1 , f [f ^-1 (x)] = x

Область f — это диапазон f ^-1 , а диапазон f — область f ^-1 .

График обратной функции

Обратная функция функции отличается от функции тем, что все координаты x и y были переключены. То есть, если (4,6) — точка на графике функции, то (6,4) — точка на графике обратной функции.

Точки на функции идентичности (y = x) останутся в функции идентичности при переключении. Все координаты других точек будут изменены, и их местоположение будет перемещено.

График функции и обратный ей график являются зеркальным отображением друг друга.Они размышляют о тождественная функция y = x.

Существование обратной функции

Функция говорит, что для каждого x существует ровно один y. То есть значения y могут дублироваться, но x значения не могут быть повторены.

Если функция имеет инверсию, которая также является функцией, тогда может быть только один y для каждого x.

Однозначная функция — это функция, в которой для каждого x существует ровно один y и для каждого y, есть ровно один x. У однозначной функции есть обратная функция, которая также является функцией.

Есть функции, у которых есть инверсии, которые не являются функциями. Есть и обратные для связи. По большей части мы не обращаем на них внимания и имеем дело только с функциями, обратными к которым являются также функции.

Если обратная функция также является функцией, то обратная зависимость должна проходить вертикальную черту. тест. Поскольку все координаты x и y меняются местами при нахождении обратного, говоря что обратная функция должна пройти проверку вертикальной линии — это то же самое, что сказать, что исходная функция должна пройти тест горизонтальной линии.

Если функция проходит как тест вертикальной линии (так что это в первую очередь функция), так и проверка горизонтальной линии (так что его обратная функция является функцией), тогда функция взаимно однозначна и имеет обратная функция.

Неформальный поиск инверсий

Инверсия некоторых функций, особенно тех, где есть только одно вхождение независимая переменная, может быть решена путем отмены операций. Чтобы отменить операции, вы должен не только изменить порядок, но и использовать обратную операцию.

Пример 1

Функция f (x) = 5x-2

1. Начать с x: x
2. Умножить на 5: 5x
3. Вычесть 2: 5x-2

Обратное f

1. Начать с x: x
2. Добавить 2: x + 2
3. Разделить на 5: (x + 2) / 5

Пример 2

Функция f (x) = 2 (x-3)

Обратите внимание, что на x есть ограничение.

1. Начать с x: x
2. Вычесть 3: x-3
3. Квадрат: (x-3) ²
4. Умножить на 2: 2 (x-3) ²
5. Вычесть 5: 2 (x-3) ² -5

Обратное f

1. Начать с x: x
2. Добавить 5: x + 5
3. Разделить на 2: (x + 5) / 2
4. Извлеките квадратный корень: ± sqrt [(x + 5) / 2]
5. Добавить 3: 3 ± sqrt [(x + 5) / 2]
6. Подождите! Эта инверсия не является функцией, потому что для каждого x есть два значения y. Это из-за ±, которое появилось, когда мы извлекли квадратный корень из обеих частей. Теперь вернемся к исходной области x≥3. Это означает, что для обратного диапазон y≥3. Поскольку y должно быть не меньше 3, нам нужен положительный квадратный корень, а не отрицательный. Без ограничения на x в исходная функция, у нее не было бы обратная функция: 3 + sqrt [(x + 5) / 2]

Пример 3

Функция f (x) = x

Уххх ????

Что происходит, когда встречается более одного раза независимая переменная в функции? Ты не знаю, что вы сделали с x, потому что вы сделали это с двумя разных x, и вы не сделали одно и то же с обоими их.

Формальный поиск инверсий

Нельзя сказать, что последний пример не может быть выполнен, но он включает завершение квадрата до получить f (x) = (x-2) ² +2, а затем инвертировать его, чтобы получить f ^-1 (x) = 2-sqrt (x-2).

Однако есть другой способ, который не слишком полагается на неформальность и будет работать независимо от того, Вы не можете точно определить, что вы сделали с одним x.

1. Начните с функции
2. Заменить f (x) на y, если необходимо
3. Поменяйте местами x и y.На этом этапе вы имеете дело с инверсией
4. Решить для y
5. Замените y на f ^-1 (x), если обратная функция также является функцией, в противном случае оставьте ее как y

Пример 4

Функция f (x) = x

Ограничение важно сделать 1-1.

1. Начните с функции: f (x) = x ² / (x ² +1), x≥0
2. Заменить f (x) на y: y = x ² / (x ² +1), x≥0
3. Поменяйте местами x и y: x = y ² / (y ² +1), y ≥0
4. Решить относительно y:
   1. Умножаем на знаменатель: x (y ² +1) = y ²
   2. Распределить: xy ² + x = y ²
   3. Переместите y в одну сторону, а все остальное в другую: xy ² -y ² = -x
   4. Фактор: y ² (x-1) = — x
   5. Разделить на коэффициент при y ² : y ² = -x / (x-1)
   6. Упростить правую часть: y ² = x / (1-x)
   7. Извлеките квадратный корень: y = ± sqrt [x / (1-x)]
   8. Поскольку y≥0, нам нужен положительный квадратный корень: y = sqrt [x / (1-x)]
5. Назовите это f ^-1 (x): f ^-1 (x) = sqrt [x / (1-x)]
   

Для этой последней функции подразумеваемая область обратного преобразования — [0,1). Это означает, что диапазон исходная функция также должна быть [0,1). Проверьте это на своем калькуляторе, и вы увидите, что это так.

Иногда в инструкциях говорится, что если функция не является взаимно однозначной, то не находите обратную функция (потому что ее нет). Поэтому всегда проверяйте, прежде чем тратить время на поиск обратная функция. Теперь, если вы должны найти обратное, независимо от того, функция или нет, тогда вперед.

Хорошая вещь!

Индивидуальные функции — замечательные вещи.

При решении уравнений вы можете прибавить одно и то же к обеим сторонам, вычесть одно и то же из обе стороны, умножьте обе стороны на одно и то же ненулевое значение и разделите обе стороны на одно и то же отличная от нуля вещь, и все равно получите то же решение, не беспокоясь о необходимости проверять свой ответ.

Вы также можете применить взаимно-однозначную функцию к обеим сторонам уравнения, не беспокоясь о введении посторонних решений (решений, которые работают после выполнения чего-то, что не работало раньше). Это не обязательно верно для функций, которые не являются взаимно однозначными, как функция возведения в квадрат, где вы всегда должны проверять ответы после возведения в квадрат обеих сторон уравнения. Например, уравнение sqrt (x) = -2 не имеет решения, но если вы возведете в квадрат обе стороны, вы получите x = 4, но оно не проверяется в исходной задаче. Благодаря индивидуальным функциям вы не будете предлагать никаких посторонних решений.

Вау! Говорить о мощный. Вы не цените это сейчас, и книга не справится с этим должным образом, пока вы не получите к главе 4 и имеют дело с логарифмическими и экспоненциальными функциями, и даже тогда они не делают как бы то ни было.

Хорошо, попробуем сейчас. Поверьте мне на слово, что exp (x) является взаимно однозначной функцией и является инверсия ln (x).

ln (x) = 3

Решите относительно x.

ехр [ln (x)] = ехр [3]

«Погодите, мистер Джонс» — вот ваш ответ. Вы никогда не видели такого зверя. Это Ладно. Возьмите обратную функцию и примените ее к обеим сторонам.

х = ехр (3)

Вернитесь к определению инверсии в верхней части этого документа.x и находится на клавише [2 ^nd ] [ln].

Вау — больше сплоченности. Обратную функцию можно найти, взяв функцию [2 ^nd ]. Смотреть у него для прочего на калькуляторе.

Корень квадратный — это величина, обратная квадрату. Если вы посмотрите на три тригонометрических ключа [sin], [cos] и [tan], их инверсии находятся с помощью клавиши [2 ^nd ].

Режим мыльницы включен.

Я говорю вам — все сочетается друг с другом.Для тех, кто помнит строчку, которую Ганнибал Смит использовал в A-Team: «Мне нравится, когда план слагается».

Математика — один из самых совместных предметов. Все дополняет еще. Я надеюсь, что вы получите от этого курса гораздо больше, чем просто механику математика, но понимание, понимание и оценка того, как работает система. Имея такой прочный фундамент, математика может быть менее напряженной и даже приятной. У вас есть перестать иметь дело с концепциями как с отдельными вещами, не связанными друг с другом и стоящими отдельно.Все они связаны друг с другом и переплетены. Вы не можете их разделить и понять.

Режим мыльницы выключен.

Ограничить область определения значения, обратного полиномиальной функции

Пример 7: Нахождение области определения радикальной функции, составленной с помощью рациональной функции

Найдите область определения функции [латекс] f \ left (x \ right) = \ sqrt {\ frac {\ left (x + 2 \ right) \ left (x — 3 \ right)} {\ left (x — 1 \ right)}} [/ латекс].

Решение

Поскольку квадратный корень определяется только тогда, когда величина под радикалом неотрицательна, нам нужно определить, где [латекс] \ frac {\ left (x + 2 \ right) \ left (x — 3 \ right)} { \ left (x — 1 \ right)} \ ge 0 [/ латекс].Выходные данные рациональной функции могут менять знаки (с положительных на отрицательные и наоборот) на интервалах x и на вертикальных асимптотах. Для этого уравнения график может менять знаки при x = –2, 1 и 3.

Чтобы определить интервалы, на которых рациональное выражение является положительным, мы могли бы проверить некоторые значения в выражении или нарисовать график. Хотя оба подхода работают одинаково хорошо, для этого примера мы будем использовать график.

Рисунок 9

Эта функция имеет два перехвата x , оба из которых демонстрируют линейное поведение рядом с перехватами x .Имеется одна вертикальная асимптота, соответствующая линейному множителю; это поведение аналогично базовой функции обратного инструментария, и здесь нет горизонтальной асимптоты, потому что степень числителя больше степени знаменателя. В точке (0, 6) есть перехват y .

Из интервала y и интервала x при x = –2, мы можем нарисовать левую часть графика. По поведению на асимптоте мы можем нарисовать правую часть графика.

Теперь по графику мы можем сказать, на каких интервалах выходы будут неотрицательными, так что мы можем быть уверены, что исходная функция f ( x ) будет определена. f ( x ) имеет домен [latex] -2 \ le x <1 \ text {or} x \ ge 3 [/ latex], или в интервальной записи [latex] \ left [-2,1 \ right) \ чашка \ left [3, \ infty \ right) [/ латекс].

Функции — Алгебра — Математика A-Level Revision

В этом разделе рассматриваются функции в рамках более широкой темы алгебры.

Функцию можно рассматривать как правило, которое берет каждый элемент x набора и присваивает ему то же самое значение y , известное на его изображении.

x → Функция → y

Такие буквы, как f, g или h , часто используются для обозначения функции. Функция, которая возводит число в квадрат и добавляет 3, может быть записана как f (x) = x ² + 5 . То же понятие можно использовать, чтобы показать, как функция влияет на определенные значения.

Пример

f (4) = 4 ² + 5 = 21, f (-10) = (-10) ² +5 = 105 или, альтернативно, f : x → x ² + 5 .

Фраза «y является функцией x» означает, что значение y зависит от значения x, поэтому:

• y можно записать через x (например, y = 3x).
• Если f (x) = 3x и y является функцией x (т.е. y = f (x)), то значение y, когда x равно 4, равно f (4), которое находится путем замены x «s на 4. «с.

Пример

Если f (x) = 3x + 4, найти f (5) и f (x + 1).

f (5) = 3 (5) + 4 = 19
f (x + 1) = 3 (x + 1) + 4 = 3x + 7

Домен и диапазон

Область функции — это набор значений, которые вам разрешено вводить в функцию (то есть все значения, которые может принимать x). Диапазон функции — это набор всех значений, которые функция может принимать, другими словами, все возможные значения y, когда y = f (x).Итак, если y = x ² , мы можем выбрать в качестве домена все действительные числа. Диапазон — это все действительные числа, большие (или равные) нулю, поскольку, если y = x ² , y не может быть отрицательным.

Один к одному

Мы говорим, что функция является взаимно однозначной , если для каждой точки y в диапазоне функции существует только одно значение x такое, что y = f (x). f (x) = x ² не один к одному, потому что, например, есть два значения x, такие что f (x) = 4 (а именно –2 и 2).На графике функция взаимно однозначна, если любая горизонтальная линия разрезает график только один раз.

Функции составления

fg означает выполнение функции g, затем функции f. Иногда fg записывается как fog

Пример

Если f (x) = x ² и g (x) = x — 1, то
gf (x) = g (x ² ) = x ² — 1
fg (x) = f (x — 1) = (х — 1) ²

Как видите, fg не обязательно равно gf

Обратная функция

Обратной функцией функции является функция, которая обращает действие исходной функции.Например, y = 2x, обратное y = ½ x.
Чтобы найти обратную функцию, поменяйте местами x «s и y» s и сделайте y предметом формулы.

Пример

Найдите обратное f (x) = 2x + 1
Пусть y = f (x), поэтому y = 2x + 1
поменять местами x «s и y» s:
x = 2y + 1
Сделайте y объектом формулы:
2y = x — 1, поэтому y = ½ (x — 1)
Следовательно, f ^-1 (x) = ½ (x — 1)

f ^-1 (x) — это стандартное обозначение, обратное f (x).Говорят, что обратное существует тогда и только тогда, когда существует функция f ^-1 с ff ^-1 (x) = f ^-1 f (x) = x

Обратите внимание, что график f ^-1 будет отражением f в линии y = x.

Это видео объясняет больше об обратной функции

Графики

Функции можно изобразить. Функция является непрерывной , если ее график не имеет разрывов. Пример прерывистого графа — y = 1 / x, так как граф нельзя нарисовать, не отрывая карандаш от бумаги:

Функция является периодической , если ее график повторяется через равные промежутки времени, этот интервал называется периодом.

Функция равна и даже , если она не изменяется при замене x на -x. График такой функции будет симметричным по оси ординат. Даже функции, которые являются полиномами, имеют четные степени (например, y = x²).
Функция нечетная , если знак функции изменяется при замене x на -x. График функции будет иметь симметрию вращения относительно начала координат (например, y = x³).

Функция модуля

Модуль числа — это величина этого числа.Например, модуль -1 (| -1 |) равен 1. Модуль x, | x |, равен x для значений x, которые положительны, и -x для значений x, которые отрицательны. Итак, график y = | x | y = x для всех положительных значений x и y = -x для всех отрицательных значений x:

Преобразование графиков

Если y = f (x), график y = f (x) + c (где c — константа) будет графиком y = f (x), сдвинутым на c единиц вверх (в направлении y- ось).
Если y = f (x), график y = f (x + c) будет графиком y = f (x), сдвинутым на c единиц влево.
Если y = f (x), график y = f (x — c) будет графиком y = f (x), сдвинутым на c единиц вправо.
Если y = f (x), график y = af (x) представляет собой отрезок графика y = f (x), масштабный коэффициент (1 / a), параллельный оси x. [Масштабный коэффициент 1 / a означает, что «растяжение» фактически приводит к сжатию графика, если a — число больше 1]

Пример

График y = | x — 1 | будет таким же, как на приведенном выше графике, но со смещением на одну единицу вправо (так, чтобы точка V ударилась о ось x на 1, а не на 0).

Исчисление I — Обратные функции

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана (, т.е. , вероятно, вы используете мобильный телефон). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме.Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (вы должны иметь возможность прокручивать их, чтобы увидеть их), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 1-2: Обратные функции

В последнем примере из предыдущего раздела мы рассмотрели две функции \ (f \ left (x \ right) = 3x — 2 \) и \ (g \ left (x \ right) = \ frac {x} {3 } + \ frac {2} {3} \) и увидел, что

и, как отмечено в этом разделе, это означает, что между этими двумя функциями существует хорошая взаимосвязь.Посмотрим, что это за отношения. Рассмотрим следующие оценки.

В первом случае мы подключили \ (x = — 1 \) к \ (f \ left (x \ right) \) и получили значение \ (- 5 \). Затем мы развернулись и подключили \ (x = — 5 \) к \ (g \ left (x \ right) \) и получили значение -1, число, с которого мы начали.

Во втором случае мы сделали нечто подобное. Здесь мы подключили \ (x = 2 \) к \ (g \ left (x \ right) \) и получили значение \ (\ frac {4} {3} \), мы развернулись и вставили это в \ ( f \ left (x \ right) \) и получил значение 2, которое снова является числом, с которого мы начали.

Обратите внимание, что здесь мы действительно выполняем некоторую композицию функций. Первый случай действительно,

а второй корпус действительно

Также обратите внимание, что оба они согласуются с формулой композиций, которые мы нашли в предыдущем разделе. Мы возвращаем из оценки функции число, которое мы изначально вставили в композицию.

Итак, что здесь происходит? В некотором смысле мы можем думать об этих двух функциях как об отмене того, что другой сделал с числом. В первом случае мы вставили \ (x = — 1 \) в \ (f \ left (x \ right) \), а затем вставили результат этой оценки функции обратно в \ (g \ left (x \ right) \) и каким-то образом \ (g \ left (x \ right) \) отменил то, что \ (f \ left (x \ right) \) сделал с \ (x = — 1 \), и вернул нам оригинал \ (x \), с которой мы начали.

Пары функций, которые демонстрируют такое поведение, называются обратными функциями . Прежде чем формально определять обратные функции и обозначения, которые мы собираемся использовать для них, нам нужно получить определение.

Функция называется взаимно однозначной , если никакие два значения \ (x \) не дают одинаковых \ (y \). Математически это то же самое, что сказать

Показать, что функция является индивидуальной, часто бывает утомительно и / или сложно. По большей части мы будем предполагать, что функции, с которыми мы будем иметь дело в этом курсе, либо взаимно однозначны, либо мы ограничили область определения функции, чтобы сделать ее взаимно однозначной. одна функция.

Теперь давайте формально определим, что такое обратные функции.Для двух взаимно однозначных функций \ (f \ left (x \ right) \) и \ (g \ left (x \ right) \), если

, то мы говорим, что \ (f \ left (x \ right) \) и \ (g \ left (x \ right) \) являются обратными друг другу. Более конкретно, мы скажем, что \ (g \ left (x \ right) \) — это , обратный к \ (f \ left (x \ right) \), и обозначим его как

Теперь мы уже знаем, что является обратным к этой функции, поскольку мы уже поработали с ней. Однако было бы неплохо начать именно с этого, поскольку мы знаем, что должны получить. Это будет хорошей проверкой процесса.

Итак, приступим. Сначала заменим \ (f \ left (x \ right) \) на \ (y \).

Затем замените все \ (x \) на \ (y \) и все \ (y \) на \ (x \).{- 1}} \ left (x \ right) \). Показать решение

Тот факт, что мы используем \ (g \ left (x \ right) \) вместо \ (f \ left (x \ right) \), не меняет принцип работы процесса. Вот несколько первых шагов.

Теперь, чтобы найти \ (y \), нам нужно сначала возвести в квадрат обе стороны, а затем действовать как обычно. {- 1}} \ left (x \ right) = \ frac {{4 + 5x}} {{2x — 1}} \]

Наконец, нам нужно провести верификацию.{- 1}}} \ right) \ left (x \ right) & = \ frac {{2x — 1}} {{2x — 1}} \, \, \ frac {{\ frac {{4 + 5x} } {{2x — 1}} + 4}} {{2 \ left ({\ frac {{4 + 5x}} {{2x — 1}}} \ right) — 5}} \\ & = \ frac { {\ left ({2x — 1} \ right) \ left ({\ frac {{4 + 5x}} {{2x — 1}} + 4} \ right)}} {{\ left ({2x — 1}) \ right) \ left ({2 \ left ({\ frac {{4 + 5x}} {{2x — 1}}} \ right) — 5} \ right)}} \\ & = \ frac {{4 + 5x + 4 \ left ({2x — 1} \ right)}} {{2 \ left ({4 + 5x} \ right) — 5 \ left ({2x — 1} \ right)}} \\ & = \ гидроразрыв {{4 + 5x + 8x — 4}} {{8 + 10x — 10x + 5}} \\ & = \ frac {{13x}} {{13}} = x \ end {align *} \]

Вау.Это было много работы, но в конце концов все получилось. Мы сделали всю нашу работу правильно, и у нас действительно есть обратное.

Есть еще одна последняя тема, которую нам нужно быстро обсудить, прежде чем мы покинем этот раздел. Существует интересная взаимосвязь между графиком функции и графиком, обратным ей.

Вот график функции и обратной из первых двух примеров.

В обоих случаях мы можем видеть, что график инверсии является отражением фактической функции относительно линии \ (y = x \).Это всегда будет иметь место с графиками функции и ее обратной.

3.7: Производные обратных функций

В этом разделе мы исследуем связь между производной функции и производной ее обратной. Для функций, производные которых мы уже знаем, мы можем использовать это соотношение для поиска производных от обратных без необходимости использовать предельное определение производной. В частности, мы применим формулу для производных обратных функций к тригонометрическим функциям.{−1} (x) \ big)}. \ Label {inverse1} \]

В качестве альтернативы, если \ (y = g (x) \) является обратным \ (f (x) \), то

\ [g ‘(x) = \ dfrac {1} {f ′ \ big (g (x) \ big)}. \ label {inverse2} \]

Пример \ (\ PageIndex {1} \): применение теоремы об обратной функции

Используйте теорему об обратной функции, чтобы найти производную от \ (g (x) = \ dfrac {x + 2} {x} \). Сравните полученную производную с производной, полученной прямым дифференцированием функции.

Раствор

Обратным к \ (g (x) = \ dfrac {x + 2} {x} \) является \ (f (x) = \ dfrac {2} {x − 1} \).{−1/3} \ nonumber \]

и

\ [\ dfrac {dy} {dx} \ Bigg | _ {x = 8} = \ frac {1} {3} \ nonumber \]

, наклон касательной к графику в точке \ (x = 8 \) равен \ (\ frac {1} {3} \).

Подставляя \ (x = 8 \) в исходную функцию, получаем \ (y = 4 \). Таким образом, касательная проходит через точку \ ((8,4) \). Подставляя в формулу угла наклона прямой, получаем касательную

\ [y = \ tfrac {1} {3} x + \ tfrac {4} {3}. \ nonumber \]

Упражнение \ (\ PageIndex {3} \)

Найдите производную от \ (s (t) = \ sqrt {2t + 1} \).{−1/2} \)

Производные обратных тригонометрических функций

Теперь обратимся к нахождению производных от обратных тригонометрических функций. Эти производные окажутся неоценимыми при изучении интеграции далее в этом тексте.