Как мы получили реалистичные лица с новых ракурсов с помощью нейросетей / Хабр
В этой статье вы узнаете про глубокий нейросетевой подход Neural Radiance Fields — метод для генерации новых изображений сцены с различных ракурсов. Основная задача — интерполяция новых views между исходными оригинальными изображениями для получения “непрерывной сцены” из ограниченного числа фотографий.
Нейросеть NeRF может интерполировать между изначальными изображениями за счет восстановления непрерывного представления сцены и позволяет получать изображения с новых ракурсов.Поскольку в нашем стартапе twin3d мы занимаемся созданием фотореалистичных 3D моделей людей, то упор будет сделан именно на фотографии людей. Мы расскажем, какие подзадачи нам пришлось решить, чтобы получить новые фотореалистичные изображения людей с разных ракурсов.
Описание метода
Neural Radiance Fields (NeRF) — метод глубокого обучения для генерации изображений новых любых ракурсов для конкретного фотосета.
Сама нейросеть обучается на ограниченном числе фотографий. В нашем случае это всего лишь 22 фотографии лица с различных ракурсов. Таким образом, наша сцена довольно разреженная, решение задачи построения изображений с нового ракурса не является очевидным.
Данный метод был представлен на конференции ECCV весной 2020. Сама статья была удостоена награды Best Paper Honorable Mention. С тех пор появились новые подходы для решения подобной задачи, но, тем не менее, данный подход до сих пор актуален и показывает SOTA результаты для генерации новых изображений.
Как же выглядит данная нейронная сеть и как её учить? Саму нейронную сеть можно представить как сложную функцию многих переменных. На вход этой функции подаются положение точки пространства, в которой предполагаемо находится объект, и вектор направления, заданный угламии.
Функция F возвращает 4 числа.или же плотность, это некоторое число, значение которого даёт нам понять, есть ли в указанной точке пространства какой-то объект или нет.
Можно считать это некоторым аналогом прозрачности со значениями от 0 до 1. RGB же показывают значения цвета в указанной точке пространства.
Эта функцияявляется полносвязной нейронной сетью MLP. Сначала на вход подаются координаты, которые обрабатываются 8 полносвязными слоями (с функциями активации ReLU после каждого слоя, имеющим 256 каналов). Выход из этой части сети это плотностьи 256 размерный вектор, который затем конкатенируется с вектором направленияи подаётся одному полносвязному слою (с ReLU активацией), чтобы получить значения RGB.
Вы спросите, зачем нам направление, ведь достаточно знать положение точки в пространстве? Дополнительная зависимость от направления “взгляда” учитывается для того, чтобы более точно моделировать эффекты отражения и освещенности и консистентно их обобщать в каждой точке пространства.
Почему сетка называется Neural Radiance Fields? Дело в том, что через каждую точку пространства проходят лучи, задаваемые радиальными координатамии. На каждом луче задается некоторое распределениедля того, чтобы моделировать непрерывный объём, volume, внутри пространства и показывать, в какой момент возникает препятствие на пути луча.
Таким образом, учится распределение внутри объёма — прямая альтернатива вокселизации.
Параметрыи задают грубые границы объекта. Данные значения могут быть получены с помощью Multiview Stereo приложений COLMAP или Agisoft Metashape.
По сути, мы имеем модель для восстановления цвета и плотности распределения на луче. Между значениямии мы равномерно сэмплируемточек. Значение цвета на луче в указанной точке вычисляется приближенно:
Где, апоказывает как много света было поглощено перед точкой c индексомна луче, то есть по сути это вероятность, что луч пройдет от точкидо точкибез препятствий.
Величинаприводит функциюк виду вероятностного распределения.
Заметим, что величинадифференцируема по параметрамMLP, и мы можем использовать градиентные методы, чтобы оптимизировать NeRF.
Чтобы сделать сэмплирование на луче более оптимальным, авторы предлагают следующую эвристику — оптимизацию сразу двух сетей, одна из которых называется Coarse, а другая Fine.
Первая сеть получает первое грубое приближение цвета в заданной точке пространства на луче, на котором равномерно насэмплированыточек:
Веса, с которыми суммируются значения цвета RGB на луче, после нормализации задают некоторое распределение, из которого можно дополнительно сэмплироватьточек на луче в местах, где вероятность нахождения объекта высока, и тем самым получать более точные значение плотностии цвета RGB.
На этом дополненном множестве източек вычисляется финальное значения цвета Fine сеткой. Это требует значительно больше вычислительных ресурсов, но даёт более точную оценку распределения.
Распределение на луче уточняется после дополнительного сэмплирования для Fine сетки.Что касается обучения NeRF, то это происходит следующим образом. Выбирается изображение из обучающей выборки, и для него сэмплируется заданное число лучей, проходящих через эту фотографию. На каждом луче оценивается значение цвета — цвет там, где начинается объект.
В итоге вычисляется лосс-функция, оптимизируемая с помощью Adam.
Одним из бонусов моделирования распределения плотности на луче является возможность понимать расположение объектов в пространстве. Таким образом, NeRF можно использовать для получения весьма качественных карт глубин изображений.
NeRF может генерировать качественные карты глубин.Наш опыт работы с NeRF
Подготовка данных
Исходные фотографии имеют сложный фон и, как мы покажем, это вносит существенный шум в модель. Для решения этой проблемы мы применяем background matting с помощью нейросети, которая крайне точно убирает фон с фотографии. О поразительных результатах background matting мы уже писали в нашей предыдущей статье.
До и после удаления фона. Фон убирается с потрясающей точностью!Данные для обучения
Мы имеем ограниченное число фотографий лица с разных ракурсов. Наш сетап будет выглядеть таким образом. Здесь мы имеем 22 фотографии лица человека высокого разрешения 6000×4000 с разных ракурсов, полученных с помощью камер для фотограмметрии.
Набор фотографий лица, полученных с помощью камер для фотограмметрии.
Здесь был применён background matting для удаления фона с фотографий.Для наглядности. Так выглядит наш сетап сцены, выгруженный в Blender.В дальнейшем для модели важно оценить по имеющемуся набору фотографий экстринсики и интринсики камер, также называемые параметрами внешней и внутренней калибровки — положения камер в пространстве, фокусные расстояния, principal points и тд. Это можно сделать как и в бесплатном софте COLMAP, так и в платном Agisoft Metashape. В нашем случае мы пользуемся последним (это не реклама).
Полученные результаты
Теперь перейдём к нашим результатам. В twin3d мы имеем возможность применять и тестировать state-of-the-art подходы машинного и глубокого обучения на наших данныхфотографиях крайне высокого разрешения и фотореалистичных 3D моделях, полученных с помощью сетапа для фотограмметрии. Нам было весьма интересно испытать NeRF на наших high-resolution фотосетах. Мы протестировали алгоритм на различных сценах лиц, каждая из которых имела всего 22 фотографии с разных ракурсов.
Результаты поразительные!
На gif изображены лица с новых ракурсов, сгенерированные NeRF. Важно отметить, что на исходных фотографиях освещение немного отличалось. NeRF выучил свет ровно таким, каким он был на каждой фотографии, и равномерно интерполировал его между novel views!
Обратите внимание на консистентность между кадрами! Геометрия и черты лица сохранены, освещение меняется непрерывно между всеми новыми изображениями. Нейросеть выучила мельчайшие детали на каждом лице: щетину, морщинки, особенности и дефекты кожи. Также она неплохо справилась с рендерингом волос и глаз — довольно сложной задачей в области 3D Computer Vision. Так, на первых трёх gif получилось выучить прическу с точностью до волосков. Таким образом, NeRF показал весьма интересные и впечатляющие результаты на фотосетах для 3D фотограмметрии.
Примеры сгенерированных лиц с новых ракурсов. Выглядят весьма фотореалистично!С какими трудностями мы столкнулись?
Фон на фотографии вызывает сильное переобучение нейросети и вносит значительный шум в генерируемую сцену.
Для решения этой проблемы мы использовали удаление фона с помощью упомянутой background matting нейросети. На gif вы можете видеть результат. Слева фон был оставлен в фотографиях обучающей выборки. Справа фон в обучающей выборке был удален.
Нашей целью было сгенерировать изображение лица в высоком разрешении с нового ракурса. Для этого нужны значительные как вычислительные (GPU, TPU), так и временные ресурсы.
Для ускорения экспериментов разумно использовать версию NeRF от Google Research, написанную с элементами JAX и распараллеливания на нескольких GPU и TPU. По нашему опыту, это значительно сокращает как время обучения нейросети, так и финальное время генерации новых изображений.
Из-за архитектуры NeRF можно обучить только под конкретную сцену. Если вы хотите восстановить непрерывное представление новой сцены, вам потребуется заново тренировать эту нейросеть на новом наборе фотографий. В свежих статьях представлены способы получения novel views на сценах, которых не было в обучающей выборке.
Но об этом мы поговорим в наших следующих публикациях.Итоги
NeRF — крайне значимая работа в области генерации новых фотореалистичных изображений с разных ракурсов. Она вызвала феномен в области 3D Deep Learning, называемый NeRF Explosion — в течение года после публикации появилось много статей с выдающимися результатами, использующих и дополняющих идеи NeRF для Novel View Synthesis.
У подхода много плюсов: непрерывное и консистентное восстановление сцены, возможность работы в сценарии, когда число фотографий, как у нас, крайне ограничено, и высокая детализированность генерируемых изображений по сравнению со стандартными методами рендеринга мешей с текстурой.
Однако много и заметных недостатков: число фотографий для обучения не может быть слишком маленьким — должно быть заметное пересечение областей на изображениях. Также для обучения требуются значительные ресурсы, при этом сеть тренируется только под конкретную сцену.
Тем не менее, нам было интересно прощупать этот алгоритм на наших данных в контексте внутренних разработок для фотореалистичной 3D реконструкции людей.
В наших следующих публикациях мы расскажем о новых, самых свежих результатах из области Novel View Synthesis, представленных на конференции CVPR 2021. В них вы узнаете о модификациях NeRF, совершенно новых подходах для воссоздания непрерывной сцены и генерации novel views.
Также всем интересующимся темой 3D реконструкции людей могут быть полезны наши последние публикации на Хабр:
В twin3d мы занимаемся разными и интересными задачами, связанными с созданием фотореалистичных 3D моделей людей. Не пропустите наши следующие публикации на Хабр, будет интересно 🙂
Будем рады вашим комментариям и обсуждениям!
Но об этом мы поговорим в наших следующих публикациях.
Выбор удачного ракурса лица для фото селфи и видео
Обновление: 2020-11-16.
Вы уже выбрали для себя правильный ракурс? Как можно выбрать наилучший ракурс для создания селфи, для фотосъемки вас в instagram а также для съемки на YouTube?
На профессиональном языке — это называется выбор рабочей стороны.
Какая из ваших сторон будет наиболее выигрышно смотреться в кадре, с точки зрения фотографии. Соответственно можете выбрать такой ракурс, который будет наилучшим образом отображать и вашу личность, сущность и характер.
Выбор 9 точек разных ракурсов
Для этого вам необходимо нарисовать 9 условных точек вокруг вашего лица. Первая линия с 3 точками будет находиться примерно на уровне лба, вторая линия где-то на уровне глаз и третья линия на уровне бороды, может быть даже чуть-чуть ниже и соответственно по каждой из этих линий разбить зону на 9 точек.
Чтобы сделать такие фото вам необходимо сзади иметь монотонный фон, без картин, дверей, и окон, а так же перед вами мягкий рассеянный свет, чтобы он освещал равномерно всё лицо со всех сторон.
Затем в можете кого-то попросить пройтись по всем этим 9 точкам и сфотографировать, а вы соответственно только глазами сопровождаете камеру в эти точках, не меняя положения лица. Потом вы можете выбрать из этих фотографии самостоятельно, либо попросить друзей, чтобы вам дать обратную связь, в каком из ракурсов вы лучше смотритесь.
После выбора вашей рабочей стороны, наиболее удачного ракурса, который вам будет нравиться больше всего, старайтесь, чтобы камеры всегда была именно с этой стороны, что фотокамера, что видеокамера. Это правило очень хорошо работает при съёмке видео, т.к. в фото вы статичны, а вот на видео вы в динамике, движетесь, говорите и жестикулируете.
Смотрите так же видео обзор про led свет для видеосъемки.
— Как в 3ds max поставить на рендер сразу несколько ракурсов? — Batch Render. |
Называется эта полезная для здоровья вещь Batch Render (Пакетный рендер).Источник: superuroki.ru
Итак, сцена окончательно составлена — модели, текстуры, светильники…
Далее нам понадобятся:
1. Камеры
Для каждого ракурса создаем отдельную камеру. Даем камерам понятные имена, это пригодится; например — «вид из коридора», «кухня из гостиной» и так далее.
2. Предустановки рендеринга
Еще нужно сохранить настройки рендеринга для каждого ракурса. Настройки размера картинки, настройки качества рендера и все остальное, что в окне Render Setup (Настройки рендера) сохраняем пресет (предустановку, преднастройку) в файл:
Появится окно, в котором нужно выбрать, какие вкладки окна настроек рендера вы хотите сохранить в качестве пресета (какие вкладки окна Render Settings), например:
Чтобы выделить несколько отдельных строчек, используем клавишу Ctrl.
2. Состояния сцены
В меню Tools –> Manage Scene States… (Инструменты –> Редактировать состояния сцены…) можно сохранять и восстанавливать различные состояния сцены. Что такое состояния сцены? Например, в одном состоянии сцены можно поставить какую-то камеру так, а в другом сяк — переместить или повернуть ее, изменить ее настройки для рендеринга… Также и с остальными аспектами сцены — например, оставить включенными только нужные светильники, оставить видимой только нужную геометрию, переместить или повернуть какие-то объекты и так далее.
3. Настраиваем собственно пакетный рендер
Далее идем в Rendering –> Batch Render… (Рендеринг –> Пакетный рендер…). Добавляем задания рендера в очередь кнопкой Add… (Добавить…). Эти задания покажутся в списке снизу и при запуске рендера будут выполняться одно за другим.
Задаем каждому заданию свои
- Имя (в поле Name),
- Путь, куда будут сохранятся файлы (Output Path (Выходной путь),
- Камеру, из которой нужно рендерить конкретное задание (Camera),
- Состояние сцены (Scene State),
- Преднастройку (пресет) рендера (Preset)
Также можно с помощью галочки Override Preset (Переназначить предустановку) перекрыть некоторые присутствующие в пресете настройки, такие как начальные и конечные кадры (Frame Start и Frame End), ширину и высоту картинки (Width и Height), пропорции пикселя (Pixel Aspect).
Но следует быть внимательными, т.к. если в пресете настроек рендера (Preset) мы не сохраняли настройки вкладки Common, где и задаются размеры рендера и т.д., и если выключена галочка Override Preset, то будут использоваться текущие настройки вкладки Common (те, что в данный момент находятся там).
Кнопками Duplicate и Delete можно соответственно делать копии и удалять задания очереди.
4. Рендерим!
Когда все готово, – сохраняем сцену и запускаем очередь просчета кнопкой
Как сделать так, чтобы комп сам выключился по завершении очереди рендера?
Этот скрипт дает команду Windows’у завершить работу, т.е. выключить компьютер. (Проверено на 3ds Max 2012 x64, работает.)
Запускаем его через меню MAXScript –> Run Script… (Запустить скрипт…) и в окне Batch Render жмем Render.
По завершении очереди заданий Windows выключится.
Удобно, если нужно куда-то надолго уйти, или лечь спать, оставив компьютер просчитывать ваш шедевр.
Как поставить в очередь не один, а сразу несколько разных сцен?
Интересно, есть ли способ запустить Batch Render для сразу нескольких отдельных сцен (файлов .max)? Этот вопрос я оставляю открытым на обсуждение.
В случае копирования статьи просьба указывать Источник: /posts/batch-render/
Типы углов, определение, свойства, примеры
Углы образуются, когда две прямые пересекаются в одной точке. Мера «проема» между этими двумя линиями называется «Угол». Обозначается символом. Углы обычно измеряются в градусах и радианах, что является мерой округлости или вращения. Углы — часть нашей повседневной жизни. Инженеры и архитекторы используют углы при проектировании дорог, зданий и спортивных сооружений. На изображении выше мы видим геодезиста, использующего теодолит на строительной площадке для измерения угла.
Части угла
Геометрия в плоскости: угол образуется, когда два луча соединяются в их конечных точках. Есть разные части уголка —
1. Два луча, которые называются сторонами угла . Посмотрите на данное изображение, стороны OA и OB являются сторонами угла AOB.
2. Вершина
3. Угол равен в градусах. Один полный оборот равен 360 градусам.
4. Размер угла: Лучший способ измерить размер угла — использовать транспортир. Стандартный размер транспортира 180 °.На транспортире :
есть два набора номеров .
- по часовой стрелке
- другой против часовой стрелки
Типы углов и их свойства
Есть шесть типов углов. Каждый тип угла имеет уникальную идентификацию на основе измерения угла. Давайте узнаем о каждом типе угла в отдельности, а также об их свойствах.
Острый угол
Острый угол — это угол, размер которого больше 0 ° и меньше 90 °.
Прямоугольный
Угол, измеренный в 90 градусов, называется прямым углом. Прямой угол легко заметить, поскольку он образует форму буквы L.
Тупой угол
Если угол меньше 180 градусов, но больше 90 градусов, это тупой угол.
Уголок прямой
Угол, образованный прямой линией, называется прямым углом . Это половина полного оборота круга.Измерение прямого угла составляет 180 °.
Угол рефлекса
Угол отражения — угол, размер которого больше 180 °, но меньше 360 °
Уголок полный
Если угол равен 360 градусам, это полный угол.
Угол поворота
В зависимости от направления измерения или направления вращения углы могут быть двух типов:
- Положительные углы
- Отрицательные углы
Положительные углы
Угол, измеренный против часовой стрелки (против часовой стрелки), является положительным углом.Если от начала координат провести угол в плоскости (+ x, + y), он образует положительный угол.
Отрицательные углы
Отрицательные углы — это те углы, которые измеряются по часовой стрелке от основания. Если от начала координат провести угол к плоскости (−x, −y), он образует отрицательный угол.
Как измерить угол?
Мы используем транспортиры для измерения углов. См. Изображение ниже. Мы видим ∠AOB. Давайте попробуем и посмотрим, сможем ли мы выяснить, какой тип угла ∠ AOB.Разве это не похоже на острый угол? Это означает, что его размер больше 0 ° и меньше 90 °.
Давайте узнаем, как измерить угол, используя транспортир геометрического инструмента.
Шаги для измерения ∠AOB.
- Шаг 1: Совместите транспортир с OB луча, как показано ниже. Начните чтение с отметки 0 ° в правом нижнем углу транспортира.
- Шаг 2: Число на транспортире, которое совпадает со вторым лучом , является мерой угла.Измерьте угол, используя число на « нижней дуге » транспортира. Таким образом, ∠ AOB = 37 °
Теперь попробуем измерить этот ∠AOC.
- Шаг 1: Измерьте угол от отметки 0 ° в нижнем левом углу .
- Шаг 2: Число на « верхней дуге » транспортира, которое совпадает с OA, является мерой ∠ AOC. Таким образом, ∠ AOC = 143 °
Как построить углы?
Для построения углов мы используем транспортир.
Нарисуем угол 50 °.
- Шаг 1: Сначала нарисуйте луч OB и совместите транспортир с OB , как показано.
- Шаг 2: Поместите точку над отметкой на транспортире, соответствующую 50 °.
- Шаг 3: Удалите транспортир и нарисуйте луч, начинающийся в точке O , который проходит через эту точку. Таким образом, AOB — это искомый угол, то есть ∠ AOB = 50 ° .
Примечание. Если луч выходит в другом направлении, мы измеряем угол от отметки 0 ° в нижнем левом углу.
На приведенном ниже изображении показано, как нарисовать угол 50 °, когда луч указывает в другом направлении.
Важные примечания по углам
- 0 ° <острый угол <90 °
- 90 ° <тупой угол <180 °
- 180 ° <угол отражения <360 °
- Прямой угол равен 90 °
- Прямой угол равен 180 °.
- Транспортиры обычно имеют два набора чисел, идущих в противоположных направлениях.В случае сомнений подумайте: «Должен ли этот угол быть больше или меньше 90 °?»
☛ Статьи по теме Уголки
Ниже приводится список тем, тесно связанных с ракурсами. Эти темы также дадут вам представление о том, как такие концепции рассматриваются в Cuemath.
Часто задаваемые вопросы по углам
Что такое угол в математике?
Геометрия в плоскости, угол — это фигура, образованная двумя лучами, называемыми сторонами угла, имеющими общую конечную точку, называемую вершиной угла.Угол обозначается символом.
Какие бывают 6 типов углов?
6 типов углов: прямые углы, острые углы, тупые углы, прямые углы, углы отражения и полные углы.
Как описать углы?
Геометрия на плоскости, угол можно описать как фигуру, образованную двумя лучами, встречающимися в общей конечной точке, называемой вершиной угла.
☛ Также проверьте:
Какие типы углов основаны на вращении?
Углы бывают двух типов в зависимости от направления измерения или направления вращения:
- Положительные углы
- Отрицательные углы
В чем разница между прямым углом и углом отражения?
Угол, образованный прямой линией, называется прямым углом.Измерение прямого угла составляет 180 °. Принимая во внимание, что величина угла рефлекса больше 180 °, но меньше 360 °.
Какие типы углов образуются, когда поперечный элемент проходит через параллельные линии?
Когда трансверсаль проходит через параллельные линии, образуется множество пар углов, таких как соответствующие углы, вертикально противоположные углы, чередующиеся внутренние углы и чередующиеся внешние углы. Все эти пары углов равны по меру.
Какие типы углов меньше 180 °?
Есть два типа углов, которые меньше 180 °, т.е.е., острый и тупой углы. Размер острых углов всегда меньше 90 °, в то время как тупые углы больше 90 °, но всегда меньше 180 °. Примеры острого угла — 50 °, 60 °, а примеры тупых углов — 170 °, 165 °.
Какова сумма всех трех углов треугольника?
Сумма трех углов треугольника составляет 180 градусов.
☛ Проверьте сейчас:
Сколько углов в 90 градусов в прямом угле?
Есть два угла 90 градусов в углу 180 градусов или прямом угле.Так как сумма двух углов в 90 градусов равна 180 градусам, половина 180 градусов равна 90 градусам. Таким образом, два угла по 90 градусов составляют прямой угол.
Перечислить типы углов в парах?
Типы парных углов перечислены ниже:
Что такое полный угол?
Когда угол завершает свое полное вращение, начиная с 0 градусов и заканчивая 360 градусами, он известен как полный угол. Его размер равен 360 градусам.
Измерение углов
Измерение угловПонятие угла
Понятие угла — одно из важнейших понятий в геометрии.Понятия равенства, суммы и разности углов важны и используются во всей геометрии, но предмет тригонометрии основан на измерении углов .Есть две обычно используемые единицы измерения углов. Более знакомая единица измерения — это градусы. Круг делится на 360 равных градусов, так что прямой угол равен 90 °. Пока мы будем рассматривать только углы от 0 ° до 360 °, но позже, в разделе о тригонометрических функциях, мы будем рассматривать углы больше 360 ° и отрицательные углы. Градусы можно разделить на минуты и секунды, но это деление не так универсально, как раньше. Каждый градус делится на 60 равных частей, называемых минут. Итак, семь с половиной градусов можно назвать 7 градусами и 30 минутами, записанными как 7 ° 30 ‘. Каждая минута далее делится на 60 равных частей, называемых секунд, и, например, 2 градуса 5 минут 30 секунд записывается как 2 ° 5 ’30 «. Деление градусов на минуты и угловые секунды аналогично делению на часы в минуты и секунды. |
Части градуса теперь обычно обозначаются десятичной дробью. Например, семь с половиной градусов теперь обычно пишут как 7,5 & deg.
Когда один угол нарисован на плоскости xy для анализа, мы нарисуем его в стандартной позиции с вершиной в начале координат (0,0), одна сторона угла вдоль x ось, а другая сторона выше оси x .
Радианы
Другое распространенное измерение углов — радианы.Для этого измерения рассмотрим единичный круг (круг радиуса 1), центр которого является вершиной рассматриваемого угла. Затем угол отсекает дугу окружности, и длина этой дуги является мерой угла в радианах. Легко переходить между градусами и радианами. Окружность всего круга равна 2 π , следовательно, 360 ° равняется 2 π радиан. Следовательно, 1 ° равняется π /180 радиана также 1 радиан равен 180/ π градусБольшинство калькуляторов можно настроить на использование углов, измеряемых в градусах или радианах.Убедитесь, что вы знаете, в каком режиме работает ваш калькулятор. |
Краткая заметка по истории радианов
Хотя слово «радиан» было придумано Томасом Мьюиром и / или Джеймсом Томпсоном около 1870 года, математики долгое время измеряли углы таким способом. Например, Леонард Эйлер (1707–1783) в своей работе Elements of Algebra явно сказал, что углы следует измерять по длине дуги, отрезанной в единичной окружности.Это было необходимо, чтобы дать его знаменитую формулу, включающую комплексные числа, которая связывает функции знака и косинуса с экспоненциальной функцией. e iθ = cos θ + i sin θгде θ — это то, что позже было названо измерением угла в радианах. К сожалению, объяснение этой формулы выходит далеко за рамки этих заметок. Но для получения дополнительной информации о комплексных числах см. Мой Краткий курс комплексных чисел.
Радианы и длина дуги
Альтернативное определение радианов иногда дается в виде отношения. Вместо того, чтобы брать единичную окружность с центром в вершине угла θ , возьмите любую окружность с центром в вершине угла. Тогда радианная мера угла — это отношение длины вытянутой дуги к радиусу r окружности. Например, если длина дуги равна 3, а радиус окружности равен 2, тогда мера в радианах равна 1.5.Причина, по которой это определение работает, заключается в том, что длина вытянутой дуги пропорциональна радиусу круга. В частности, определение в терминах отношения дает ту же цифру, что и приведенная выше с использованием единичного круга. Однако это альтернативное определение более полезно, поскольку вы можете использовать его для соотнесения длин дуг с углами. Длина дуги равна радиусу r, умноженному на угол θ , где угол измеряется в радианах.
Например, дуга θ = 0,3 радиана в окружности радиуса r = 4 имеет длину 0,3 умноженную на 4, то есть 1,2.
Радианы и площадь сектора
Сектор круга — это часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой круга, соединяющей их концы. Площадь этого сектора легко вычислить по радиусу r круга и углу θ между радиусами, если он измерен в радианах.Так как площадь всего круга составляет πr 2 , а сектор — это весь круг, так как угол θ равен 2 π , поэтомуУглы общие
Ниже приведена таблица общих углов для измерения в градусах и радианах. Обратите внимание, что измерение в радианах дано в терминах π . Его, конечно, можно было бы указать в десятичной дроби, но радианы часто появляются с коэффициентом π . .| Уголок | Градусов | Радианы |
|---|---|---|
| 90 ° | π /2 | |
| 60 ° | π /3 | |
| 45 ° | π /4 | |
| 30 ° | π /6 |
Упражнения
Эдвин С.Кроули написал книгу Тысяча упражнений в плоской и сферической тригонометрии, Университет Пенсильвании, Филадельфия, 1914. Задачи этого короткого курса взяты из этого текста (но не все 1000 из них!). пять знаков точности, поэтому студентам пришлось потрудиться, чтобы решить их, и они использовали таблицы логарифмов, чтобы помочь в умножении и делении. Студенты должны были уметь пользоваться таблицей синус-косинусов, таблицей касательных, таблицей логарифмов, таблицей log-sin-cos и таблицей log-tan.Теперь мы можем пользоваться калькуляторами! Это означает, что вы можете сосредоточиться на концепциях, а не на трудоемких вычислениях.Кроули использовал не десятичные дроби для дробей градуса, а минуты и секунды.
Каждый комплекс упражнений включает в себя, во-первых, формулировку упражнений, во-вторых, некоторые подсказки для решения упражнений, а в-третьих, ответы на упражнения.
1. Выразите следующие углы в радианах.
(а). 12 градусов, 28 минут, то есть 12 ° 28 ‘.
(б). 36 ° 12 ‘.
2. Сократите следующие числа радианов до градусов, минут и секунд.
(а). 0,47623.
(б). 0,25412.
3. Учитывая угол a и радиус r, , чтобы найти длину продолжающейся дуги.
(а). a = 0 ° 17 ’48 дюймов, r = 6,2935.
(б). a = 121 ° 6 ’18 дюймов, r = 0,2163.
4. Учитывая длину дуги l и радиус r, , чтобы найти угол, стянутый в центре.
(а). л = 0,16296, л = 12,587.
(б). л = 1,3672, л = 1,2978.
5. Зная длину дуги l и угол a , который она проходит в центре, найти радиус.
(а). a = 0 ° 44 ’30 дюймов, l = 0,032592.
(б). a = 60 ° 21 ‘6 дюймов, l = 0,4572.
6. Найдите длину с точностью до дюйма дуги окружности 11 градусов 48,3 минуты, если радиус составляет 3200 футов.
7. Кривая железной дороги образует дугу окружности 9 градусов 36,7 минут, радиус до центральной линии пути составляет 2100 футов. Если калибр 5 футов, найдите разницу в длине двух рельсов с точностью до полудюйма.
9. На сколько можно изменить широту, идя на север на одну милю, если предположить, что Земля представляет собой сферу радиусом 3956 миль?
10. Вычислите длину в футах одной угловой минуты на большом круге Земли. Какова длина дуги в одну секунду?
14. На окружности радиусом 5,782 метра длина дуги составляет 1,742 метра. Какой угол он образует в центре?
23. Воздушный шар, известный как 50 футов в диаметре, сужается к глазу под углом 8 1/2 минут.Как далеко это?
Подсказки
1. Чтобы преобразовать градусы в радианы, сначала преобразуйте количество градусов, минут и секунд в десятичную форму. Разделите количество минут на 60 и прибавьте к количеству градусов. Так, например, 12 ° 28 ‘равно 12 + 28/60, что равно 12,467 °. Затем умножьте на π и разделите на 180, чтобы получить угол в радианах.
2. И наоборот, чтобы преобразовать радианы в градусы, разделите на π и умножьте на 180.Таким образом, 0,47623, деленное на π и умноженное на 180, дает 27,286 °. Вы можете преобразовать доли градуса в минуты и секунды следующим образом. Умножьте дробь на 60, чтобы получить количество минут. Здесь 0,286 умножить на 60 равно 17,16, поэтому угол можно записать как 27 ° 17,16 ‘. Затем возьмите любую оставшуюся долю минуты и снова умножьте на 60, чтобы получить количество секунд. Здесь 0,16 умножить на 60 равно примерно 10, поэтому угол также можно записать как 27 ° 17 ’10 дюймов.
3. Чтобы найти длину дуги, сначала преобразуйте угол в радианы. Для 3 (a) 0 ° 17’48 «составляет 0,0051778 радиана. Затем умножьте его на радиус, чтобы найти длину дуги.
4. Чтобы найти угол, разделите его на радиус. Это дает вам угол в радианах. Это можно преобразовать в градусы, чтобы получить ответы Кроули.
5. Как упоминалось выше, радиан умноженный на радиус = длина дуги, поэтому, используя буквы для этой задачи, ar = l, , но a необходимо сначала преобразовать из градусного измерения в радиан .Итак, чтобы найти радиус r, сначала преобразует угол a в радианы, а затем разделит его на длину l дуги.
6. Длина дуги равна радиусу, умноженному на угол в радианах.
7. Помогает нарисовать фигуру. Радиус внешнего рельса равен 2102,5, а радиус внутреннего рельса — 2097,5.
9. У вас есть круг радиусом 3956 миль и дуга этого круга длиной 1 милю.Какой угол в градусах? (Средний радиус Земли был известен довольно точно в 1914 году. Посмотрим, сможете ли вы узнать, каким, по мнению Эратосфена, был радиус Земли, еще в III веке до н. Э.)
10. Угловая минута равна 1/60 градуса. Преобразовать в радианы. Радиус — 3956. Какова длина дуги?
14. Поскольку длина дуги равна радиусу, умноженному на угол в радианах, отсюда следует, что угол в радианах равен длине дуги, деленной на радиус.Радианы легко преобразовать в градусы.
23. Представьте, что диаметр воздушного шара является частью дуги окружности с вами в центре. (Это не совсем часть дуги, но довольно близко). Длина дуги составляет 50 футов. Вы знаете угол, так каков радиус этого круга?
ответы
1. (а). 0,2176. (б). 0,6318.2. (а). 27 ° 17 ’10 «. (B). 14,56 ° = 14 ° 33,6′ = 14 ° 33’36».
3. (а). 0,03259 (б). 2,1137 умножить на 0,2163 равно 0,4572.
4. (а). 0,16296 / 12,587 = 0,012947 радиан = 0 ° 44 ’30 дюймов.
(б). 1,3672 / 1,2978 = 1,0535
радианы = 60,360 ° = 60 ° 21,6 ‘= 60 ° 21’ 35 «.
5. (а). л / год = 0,032592 / 0,01294 = 2,518.
(б). л / год = 0,4572 / 1,0533 = 0,4340.
6. ra = (3200 ‘) (0.20604) = 659,31 ‘= 659’ 4 дюйма.
7. Угол a = 0,16776 радиана. Разница в длине составляет 2102,5 a — 1997,5 a , что составляет 5 a. Таким образом, ответ составляет 0,84 фута, что с точностью до дюйма составляет 10 дюймов.
9. Угол = 1/3956 = 0,0002528 радиан = 0,01448 ° = 0,8690 ‘= 52,14 дюйма.
10. Одна минута = 0,0002909 радиан. 1.15075 миль = 6076 футов.Следовательно, одна секунда будет соответствовать 101,3 фута.
14. a = л / об = 1,742 / 5,782 = 0,3013 радиан = 17,26 ° = 17 ° 16 ‘.
23. Угол a равен 8,5 ‘, что составляет 0,00247 радиана. Таким образом, радиус равен r = л / год = 50 / 0,00247 = 20222 ‘= 3,83 мили, почти четыре мили.
Насчет цифр точности.
Кроули старается давать свои ответы примерно с той же точностью, что и данные в вопросах.Это важно, особенно теперь, когда у нас есть калькуляторы. Например, в задаче 1 точка отсчета равна 12 ° 28 ‘, что соответствует примерно четырем знакам точности, поэтому ответ 0,2176 также должен быть дан только с точностью до четырех знаков. (Обратите внимание, что ведущие нули не учитываются при вычислении цифр точности.) Ответ 0,21758438 предполагает восемь цифр точности, и это будет вводить в заблуждение, поскольку данная информация не была такой точной.Другой пример см. В задаче 3 (a). Данные 0 ° 17’48 «и 6.2935 с точностью до 4 и 5 знаков соответственно. Следовательно, ответ должен быть дан только с точностью до 4 цифр, так как ответ не может быть более точным, чем наименее точные данные. Таким образом, ответ, который может дать калькулятор, а именно 0,032586547, следует округлить до четырех цифр (не включая ведущие нули) до 0,03259.
Хотя окончательные ответы должны быть выражены с соответствующим числом цифр точности, вы все равно должны сохранять все цифры для промежуточных вычислений.
типов углов — Бесплатная математическая справка
Типы углов
Вы, конечно, использовали слово «угол» в повседневной жизни, но оно также имеет важное значение в математике. Одна из тем, с которой вы захотите познакомиться, — это различные типы или классификации углов, определяемые величиной угла. Эта страница представляет собой простое и понятное руководство для начинающих по различным типам углов.
Три основных типа углов
Acute — любой угол менее 90 градусов.Эти углы кажутся «острыми», как лезвие ножа.
Пример: угол ABC составляет 40 градусов. Угол ABC острый.
Справа — любой угол, равный точно 90 градусам. Это как края деревянного бруска.
Пример: Угол CAT составляет 90 градусов. Угол КПП — это прямой угол.
Тупой — любой угол, который составляет более 90 градусов, но менее 180 градусов. Это «толстые» углы, очень широкие.
Пример: угол DEF составляет 125 градусов. Тогда угол DEF тупой.
Особый случай
Прямой — любой угол, равный 180 градусам. Это даже не совсем угол … это просто прямая линия!
Пример: Точки ABC лежат на линии L, образуя ПРЯМОЙ ЛИНИЙ. Тогда линия L прямая.
Взаимосвязь между несколькими углами
Вертикальные углы — Два угла, образованные пересекающимися линиями.Они не могут быть смежными, но всегда равны по размеру. Они находятся напротив друг друга в углах буквы «X», образованной линиями.
На приведенном выше рисунке углы 1 и 3 и углы 2 и 4 вертикальны, потому что они расположены напротив друг друга. Теперь углы 1 и 2 и углы 3 и 4 НЕ являются вертикальными углами.
Дополнительные уголки — Два угла, сумма которых составляет 90 градусов.
Пример: угол A = 30 градусов и угол B = 60 градусов.
Тогда угол A + угол B = 90 градусов. Можно сказать, что углы A и B дополняют друг друга.
Дополнительные углы — Два угла, сумма которых составляет 180 градусов. Дополнительные углы можно разместить так, чтобы они образовывали прямую линию.
Пример: угол A = 80 градусов и угол B = 100 градусов. Тогда угол A + угол B = 180 градусов. Можно сказать, что углы A и B дополнительные.
связанные страницы
Знакомство с углами | SkillsYouNeed
После того, как вы усвоили представление о точках, линиях и плоскостях, следующее, что нужно рассмотреть, — это то, что происходит, когда две прямые или лучи встречаются в точке, образуя между ними угол .
Углы используются во всей геометрии для описания таких форм, как многоугольники и многогранники, а также для объяснения поведения линий, поэтому рекомендуется ознакомиться с некоторой терминологией, а также с тем, как мы измеряем и описываем углы.
Что такое угол?
Углы образуются между двумя лучами, выходящими из одной точки:
Углы обычно рисуются в виде дуги (части круга), как указано выше.
Свойства углов
Углы измеряются в градусах , что является мерой округлости или поворота.
Полный оборот, который вернет вас лицом к лицу в том же направлении, составляет 360 °. Таким образом, полукруг составляет 180 °, а четверть круга или прямой угол — 90 °.
Два или более угла на прямой в сумме составляют 180 °. На приведенной выше диаграмме круг слева разделен на три сектора, причем углы зеленого и белого секторов равны 90 °, а в сумме — 180 °.
На рисунке справа показано, что сумма углов a и b также составляет 180 °. Когда вы смотрите на диаграмму вот так, это легко увидеть, но на практике об этом также удивительно легко забыть.
Обозначение различных углов
Угол меньше 90 ° считается острым , а угол больше 90 °, но меньше 180 ° — тупым .
Угол ровно 180 ° считается прямым . Углы больше 180 ° называются углами рефлекса .
Циферблат часов может быть показан под разными углами. Часовая стрелка часов вращается по мере того, как время идет в течение дня. Угол поворота выделен зеленым цветом.
Противоположные углы: пересекающиеся линии
Когда две линии пересекаются, противоположные углы равны. В этом случае не только a и a совпадают, но, конечно же, a и b в сумме дают 180 °:
Перекрестки с параллельными линиями: особый случай
Наша страница Введение в геометрию вводит понятие параллельных линий: линий, которые всегда идут бок о бок и никогда не пересекаются, как железнодорожные пути.
Углы вокруг любых прямых, пересекающих параллельные прямые, также обладают некоторыми интересными свойствами.
Если две параллельные прямые (A и B) пересекаются третьей прямой (C), то угол пересечения пересекающейся прямой будет одинаковым для обеих параллельных прямых.
Два угла a и два угла b называются соответствующими.
Вы также сразу увидите, что a и b в сумме дают 180 °, так как они находятся на прямой линии.
Угол c, который, как вы поймете из предыдущего раздела, идентичен a, называется , альтернативным с a.
Углы Z и F
c и a называются z-углами , потому что, если вы проследите линию от вершины c к основанию a, она образует форму z (выделена красным на диаграмме выше).
a и a называются F-углами , потому что линия образует F-образную форму от нижней части верхнего угла a вниз и вокруг нижней части нижнего угла a (на диаграмме выделено зеленым цветом)
Измерительные углы
Транспортир обычно используется для измерения углов.Транспортиры обычно круглые или полукруглые и сделаны из прозрачного пластика, так что их можно размещать поверх фигур, нарисованных на листе бумаги, что позволяет измерить угол.
В этом примере показано, как использовать транспортир для измерения трех углов треугольника, но тот же метод применяется к другим формам или любым углам, которые вы хотите измерить.
- Совместите центральную метку на основании транспортира с вершиной , или точкой, в которой линии пересекаются.Треугольник имеет три вершины, по одной на каждый угол, который необходимо измерить.
- Большинство транспортиров имеют двунаправленную шкалу, что означает, что вы можете проводить измерения в любом направлении. Убедитесь, что вы используете правильную шкалу — вы должны легко определить, больше или меньше ваш угол 90 °, и поэтому используйте правильную шкалу. Если вы не уверены, взгляните на наш раздел, посвященный углам именования.
В этом примере зарегистрированные углы равны A = 90 °, B = 45 ° и C = 45 °.
Многоугольники часто определяются их внутренними углами, а сумма внутренних углов зависит от количества сторон. Например, внутренние углы треугольника всегда составляют 180 °. Подробнее об этом читайте на нашей странице о Polygons .
градуса или радиана?
Когда нам нужно измерить или описать угол, мы обычно используем «градусы» в качестве единицы измерения. Однако изредка можно встретить углы, указанные в радианах .
Радиан — это международная стандартная единица измерения углов (СИ), которая используется во многих областях науки и математики.
Выше мы говорили, что полный поворот углов по дуге окружности равен 360 °. Он также равен 2π радиан, где π (пи) — специальное число, равное (приблизительно) 3,142 (больше о π можно найти на нашей странице в Special Numbers and Concepts ).
Один радиан равен 360 / 2π = 57,3 °. Мы также используем число Пи, когда нам нужно вычислить площадь или длину окружности круга или объем сферы (подробнее об этом читайте на нашей странице в Curved Shapes ).
Двигаемся дальше…
Как только вы поймете, что такое углы и как их измерять, вы можете применить это на практике с многоугольниками и многогранниками всех видов, а также использовать свои знания для расчета площади (подробнее об этом читайте на нашей странице Расчет площади).
Что такое угол? — [Определение, факты и пример]
Угловые игры
Типы угловКлассифицируйте углы на основе их меры, то есть идентифицируйте прямые углы, острые углы и тупые углы.
охватывает Common Core Curriculum 4.G.1Играть сейчасПосмотреть все игры по геометрии >>Учитесь с полной программой обучения математике K-5
Что такое угол? В геометрии угол можно определить как фигуру, образованную двумя лучами, встречающимися в общей конечной точке.Угол обозначается символом ∠. Здесь угол ниже AOB.
Углы измеряются в градусах с помощью транспортира.
Части угла:Плечи: два луча, соединяющиеся в угол, называются плечами угла.Здесь OA и OB — руки AOB.
Вершина: общая конечная точка, в которой два луча встречаются и образуют угол, называется вершиной. Здесь точка O — вершина AOB.
Мы можем найти углы в различных вещах вокруг нас, например, в ножницах, хоккейной клюшке, стуле.
Типы угловУголки можно классифицировать на основании их размеров как
— острые углы — прямые углы — тупые углы
— Прямые углы — Отражающие углы — Полные углы
Внутренние и внешние углы: Внутренние углы: внутренние углы — это углы, образованные внутри или внутри формы.Здесь ∠ABC, ∠BCA и ∠CAB — внутренние углы.
Внешние углы: Внешние углы — это углы, образованные снаружи между любой стороной формы и линией, продолжающейся от прилегающей стороны. Здесь ∠ACD — внешний угол.
Интересные факты
|
Давайте споем!
Острый угол немного такой маленький,
Угол прямой в углу стены,
Тупой угол в 2:50 днем,
Прямой уголок в соломке из натронной извести!
Столько ракурсов вокруг, даже в миме!
Давай сделаем это!
Вместо того, чтобы раздавать своим детям рабочие листы с геометрическими углами, попросите ребенка наблюдать / отмечать предметы, в которых они могут найти разные углы, например, в вешалке, стрелках часов или крыше дома.
Связанный математический словарь
Типы углов — острый, прямой, тупой, прямой и зеркальный
Когда две прямые пересекаются, в точке их пересечения образуется угол. Изучение углов важно, поскольку они составляют основу геометрии. Два луча, образующие угол, называются сторонами угла. Также необязательно, чтобы угол образовывался путем пересечения двух прямых линий; он также может быть образован пересечением двух изогнутых линий.
Существуют различные типы углов в зависимости от их меры. Типы:
Острый угол
Прямой угол
Тупой угол
Прямой угол
Угол отражения
Типы углов
027
1. угол, который составляет менее 90 °, называется острым углом. Измерение от 0 ° до 90 °. На рисунке ниже угол, образованный пересечением PQ и QR в точке Q, образует угол PQR, который составляет 45 °.Таким образом, PQR называется острым углом.
2. Прямой угол
Угол, который составляет точно 90 °, называется прямым углом. Обычно он образуется, когда две линии перпендикулярны друг другу. На рисунке ниже линия AB пересекает линию BC в точке B и образует угол ABC, который составляет 90 °.
3. Тупой угол
Угол, превышающий 90 °, называется тупым углом. Диапазон углов от 90 ° до 180 °.Тупой угол также можно узнать, если у нас есть мера острого угла.
Измерение тупого угла = (180 — измерение острого угла)
На рисунке выше отрезок линии DO пересекает отрезок линии OQ в точке O и образует угол DOQ размером 120 °. Таким образом, это тупой угол.
Кроме того, если мы продолжим линию OQ до OP, то мы сможем найти меру острого угла.
DOP = 180 ° — DOQ = 180 ° — 120 ° = 60 °
1. Прямой угол
Угол, который составляет точно 180 °, называется прямым углом.Это похоже на прямую линию, отсюда и название прямой угол.
Прямой угол — это не что иное, как смесь тупого угла и острого угла на прямой.
2. Угол отражения
Угол, который измеряется больше 180 ° и меньше 360 °, называется углом отражения. Угол рефлекса можно вычислить, если дана величина острого угла, поскольку он дополняет острый угол на другой стороне линии.
Используя угол отражения, мы можем найти величину острого угла.
Мера острого угла = 360 ° — мера угла отражения
Дополнительный и дополнительный угол
1. Дополнительный угол
Если два угла в сумме составляют 90 °, они называются дополнительными углами. Углы не обязательно должны быть смежными, чтобы их можно было назвать дополнительными. Пока они в сумме составляют 90 °, они будут называться дополнительными углами.
На рисунке a и b углы присутствуют рядом друг с другом и в сумме составляют 90 ° и, таким образом, известны как дополнительные углы.На рисунках c и d углы не примыкают друг к другу, но в сумме они составляют 90 °, и поэтому они известны как дополнительные углы.
2. Дополнительные углы
Когда два угла в сумме составляют 180 °, они называются дополнительными углами. Существуют различные типы дополнительных углов.
Вертикальные углы
Углы, которые имеют общую вершину, и стороны угла образованы одними и теми же линиями, называются вертикальными углами. Вертикальные углы равны между собой.
На рисунке выше 1 и 3, 2 и 4, 6 и 8, 5 и 7 — вертикальные углы. Кроме того, 3, 4,5, 6 известны как внутренние углы, а 1,2,7,8 — как внешние углы.
Альтернативные внутренние углы
Это пара внутренних углов, находящихся на противоположной стороне поперечины. Самый простой способ определить альтернативные внутренние углы — это обозначить на внутренней стороне букву «Z».
На приведенном выше рисунке 3 и 5, 4 и 6 — внутренние углы.Внутренние углы равны между собой.
Альтернативные внешние углы
Аналогично альтернативным внутренним углам; просто он присутствует на внешней стороне. На приведенном выше рисунке 1 и 7, 2 и 8 представляют собой пару чередующихся внешних углов. Подобно альтернативным внутренним углам, даже альтернативные внешние углы равны друг другу.
Соответствующие углы
Углы, находящиеся в аналогичном положении, называются соответствующими углами.На приведенном выше рисунке 1 и 5 — соответствующие углы, и они равны друг другу.
Линии и углы — определения, свойства, типы, практические вопросы
Древние математики ввели понятие линий для обозначения прямых объектов, имеющих незначительную ширину и глубину. Считаемые Евклидом шириной меньше длины, линии составляют основу евклидовой геометрии.
Когда два луча (часть прямой) пересекаются в одной плоскости, они образуют угол.Точка пересечения называется вершиной.
В этой статье мы рассмотрим основные свойства, определения и типы линий и углов, связанные с геометрией. Мы также рассмотрим несколько примеров, чтобы вы могли лучше понять свойства линий и углов. Прежде чем двигаться дальше, взгляните на пятиступенчатый план подготовки к GMAT, чтобы набрать 700+ на GMAT:
.Определение строки
Линия не имеет конечных точек. Имеет бесконечную длину.
Определение линейного сегмента
Сегмент линии — это сегмент линии, или, другими словами, мы можем сказать, что сегмент линии — это линия с двумя конечными точками.
Например, , на схеме показана линия L, и один из сегментов этой линии — AB.
На плоскости может быть много отрезков или отрезков.
И эти линии можно разделить на несколько типов на основе взаимного расположения одной линии с другой.
Виды линий
Пересечение линий
Две прямые являются пересекающимися, если они встречаются в общей точке.
Например, L 1 и L 2 являются пересекающимися линиями на диаграмме ниже
Параллельные линии
Пара прямых параллельна, если они никогда не пересекаются.
Например, L 1 , L 2 и L 3 — это параллельные линии на диаграмме ниже.
Поперечная линия
Поперечная линия разрезает две или более линий в разных точках.
Например, линия L 3 — это поперечная линия на диаграмме ниже.
Далее мы рассмотрим углы и их свойства.
Если вы наберете Q50-51 за GMAT, вы сможете набрать 700+ баллов за GMAT. Начните свой путь к получению Q50-51 на GMAT с онлайн-курса подготовки e-GMAT, основанного на искусственном интеллекте. Наш xPERT не только подбирает наиболее оптимизированный путь обучения, но и отслеживает ваши улучшения, гарантируя, что вы быстро и надежно достигнете целевого балла Quant. Посмотрите это видео, чтобы узнать больше:
Угол — Что это?
Угол образуется при пересечении двух прямых.Обозначим угол символом.
Угол состоит из двух сторон и одной общей вершины, в которой пересекаются две прямые.
Например, ∠AOD образуется при пересечении прямых AB и CD.
Кроме того, AOD образуется между ветвью AO и OD, поэтому мы включаем A, O и D, называя угол.
Знаете ли вы, что положение точек ног не имеет значения, если общая вершина является средней буквой в названии угла
Измерение угла
Угол измеряется в градусах.
Угол может составлять от нуля (0) градусов до 360 градусов. По измерению угла они делятся на четыре типа:
- Острый угол
- Прямой угол
- Тупой угол
- Угол отражения
Острый угол
Когда угол измерения составляет от 0 до 90 градусов.
Прямоугольный
При измерении угла точно 90 градусов.
- Если между двумя линиями есть прямой угол, то говорят, что эти две линии перпендикулярны друг другу .
Тупой угол
При измерении угла от 90 до 180 градусов.
Прямая линия имеет угол 180 градусов.
Угол рефлекса
При измерении угла от 180 до 360 градусов.
Мы обсудили основной тип углов.
Давайте теперь обсудим углы, образующиеся при пересечении двух прямых.
Если вы планируете сдавать GMAT, мы можем предоставить вам доступ к качественному онлайн-контенту для подготовки.По состоянию на 4 октября 2021 года наша компания по подготовке к GMAT является самой обсуждаемой компанией по подготовке к GMAT с более чем 2200 отзывами.
Углы, образованные между двумя пересекающимися линиями
Вертикально противоположные углы
Когда две прямые пересекаются друг с другом, образуются 4 угла.
- И, углы, которые противоположны друг другу в точке пересечения , известны как вертикально противоположные углы .
- Вертикально противоположные углы всегда равны.
Давайте теперь обсудим углы, образованные, когда две прямые пересекаются третьей линией, то есть поперечной линией.
Углы, образованные поперечной линией
Когда поперечная линия пересекает две прямые, образуются восемь углов, как показано.
Итак, есть несколько специальных пар углов, которые получаются из этой диаграммы.
Например: Если вы заметили, что (∠1, ∠3), (∠2, ∠4), (∠5, ∠7) и (∠6, ∠8) все углы противоположны по вертикали.
Аналогичным образом получаем несколько других типов углов. Давайте обсудим их.
Уголки прочие
Внутренние и внешние углы
Внутренние углы — это углы, которые присутствуют внутри области между двумя линиями.
- И внешние углы — это углы , а не , присутствующие внутри этой области.
Например:
- ∠2, ∠3, ∠5 и ∠8 — внутренние углы.
- А, ∠1, ∠4, ∠6 и ∠7 — внешние углы.
Соответствующие углы
Два угла называются соответствующими углами, если они лежат на одной стороне от поперечной линии, так что:
- Один угол — это внутренний угол, а
- Другой — внешний угол
Например:
(∠4, ∠8), (∠3, ∠7), (∠1, ∠5) и (∠2, ∠6) — это 4 пары соответствующих углов
Альтернативные внутренние углы
Два внутренних угла, находящихся на противоположной стороне поперечной линии, называются альтернативными внутренними углами.
Например:
- (∠2, ∠8) и (∠3, ∠5) — альтернативные внутренние углы.
Альтернативные внешние углы
Два внешних угла, которые присутствуют на противоположной стороне поперечной линии, называются альтернативными внешними углами.
Например:
- (1, ∠7) и (∠4, ∠6) — альтернативные внешние углы.
Примечание: Если поперечная линия пересекает две параллельные прямые, то соответствующие углы, альтернативные внутренние углы и альтернативные внешние углы равны.
Итак, мы обсудили все виды углов.
Давайте теперь узнаем о некоторых свойствах углов.
Свойства углов
Сумма углов на одной стороне прямой
Сумма всех углов на одной стороне прямой всегда составляет 180 градусов.
Например, сумма ∠1, ∠2 и ∠3 составляет 180 градусов.
Сумма углов вокруг точки
Сумма всех углов вокруг точки всегда равна 360 градусам.
Например, сумма углов (∠1, ∠2 и ∠3) вокруг точки O равна 360 градусам.
Если вам понравилась эта статья, вот еще несколько статей, которые могут вам понравиться:
Применение свойств линий и углов в вопросах
Линии и углы — Вопрос 1
На приведенной выше диаграмме линия CD параллельна линии EF. Если ∠AHD и ∠JIE равны 118 ° и 30 ° соответственно, то какова мера угла GIB?
- 30
- 32
- 34
- 40
- 62
Решение
Шаг 1: Дано
- Линия CD параллельна линии EF.
- ∠AHD = 118 °
- ∠JIE = 30 °
Шаг 2: найти
Шаг 3: подход и разработка
Нам нужно найти меру угла GIB.
- Итак, имея данную информацию, мы знаем, что прямая CD параллельна прямой EF, а прямая AB трансверсальна им.
- Следовательно, ∠DHI = ∠FIB, поскольку оба являются соответствующими углами.
- Мы можем найти DHI или ∠FIB как
- ∠AHD + ∠DHI = 180 °
- 118 ° + ∠FIB = 180 °
- ∠FIB = 62 °
- Теперь ∠FIB = ∠FIG + ∠GIB
- Если смотреть на диаграмму, ∠FIG = ∠JIE, поскольку это вертикальные противоположные углы между EF и JG.
- ∠FIB = ∠FIG + ∠GIB
- 62 ° = ∠JIE + ∠GIB
- 62 ° = 30 ° + ∠GIB
- ∠GIB = 32 °
- Мы можем найти DHI или ∠FIB как
- Следовательно, ∠DHI = ∠FIB, поскольку оба являются соответствующими углами.
Следовательно, правильный ответ — вариант Б.
Линии и углы — Вопрос 2
На приведенной выше диаграмме угол DFE и угол BFC представлены как X и Y соответственно. Если ∠AFC = 100 ° и ∠BFE = 45 °, то каково значение Y-X?
- 20
- 25
- 30
- 35
- 40
Решение
Шаг 1: Дано
- ∠DFE = X
- ∠BFC = Y
- ∠AFC = 100 °
- ∠BFE = 45 °
Шаг 2: найти
Шаг 3: подход и разработка
Чтобы найти Y-X, нам нужно сначала найти Y и X.
Измерение угла Y:
- Нам даны ∠AFC = 100 ° и,
- ∠AFC + ∠BFC = 180 °, поскольку сумма углов на одной боковой прямой составляет 180 °
- 100 ° + ∠BFC = 180 °
Измерение угла X:
- Нам даны ∠BFE = 45 ° и
- ∠DFE + ∠BFE + ∠BFC = 180 °, поскольку сумма углов на одной боковой прямой равна 180 °.
- X + 45 ° + 80 ° = 180 °
Следовательно, Y — X = 80 ° — 55 ° = 25 °.
Таким образом, правильный ответ — вариант Б.
.Если вы планируете сдавать GMAT, мы можем предоставить вам доступ к качественному онлайн-контенту для подготовки. По состоянию на 4 октября 2021 года наша компания по подготовке к GMAT является самой обсуждаемой компанией по подготовке к GMAT с более чем 2200 отзывами.