Размер матриц: Размер матрицы. Что это такое?

7.4.4. Вывод размера матрицы MathCAD 12 руководство

RADIOMASTER

Лучшие смартфоны на Android в 2022 году

Серия iPhone от Apple редко чем удивляет. Когда вы получаете новый iPhone, общее впечатление, скорее всего, будет очень похожим на ваше предыдущее устройство. Однако всё совсем не так в лагере владельцев устройств на Android. Существуют телефоны Android всех форм и размеров, не говоря уже о разных ценовых категориях. Другими словами, Android-телефон может подойти многим. Однако поиск лучших телефонов на Android может быть сложной задачей.

1210 0

Документация Схемотехника CAD / CAM Статьи

MathCAD 12 MatLab OrCAD P CAD AutoCAD MathCAD 8 — 11

• Главная
/
• База знаний
/
• CAD / CAM
/
• org/Breadcrumb»>MathCAD 12

• Линейная алгебра
• 7.1. Простейшие матричные операции
  • 7.1.1. Транспонирование
  • 7.1.2. Сложение и вычитание
  • 7.1.3. Умножение
• 7.2. Векторная алгебра
  • 7.2.1. Модуль вектора
  • 7.2.2. Скалярное произведение
  • 7.2.3. Векторное произведение
  • 7.2.4. Векторизация массива
• 7.3. Вычисление определителей и обращение квадратных матриц
  • 7.3.1. Определитель квадратной матрицы
  • 7.3.2. Ранг матрицы
  • 7.3.3. Обращение квадратной матрицы
  • 7.3.4. Возведение квадратной матрицы в степень
  • 7.3.5. Матричные нормы
  • 7.3.6. Число обусловленности квадратной матрицы
• 7.4. Вспомогательные матричные функции
  • 7.4.1. Автоматическая генерация матриц
  • 7.4.2. Разбиение и слияние матриц
  • 7. 4.3. Сортировка элементов матриц
  • 7.4.4. Вывод размера матрицы

Для получения сведений о характеристиках матриц или векторов предусмотрены следующие встроенные функции (листинги 7.28 и 7.29 соответственно):

•  rows (A) — число строк;
•  cols (А) — число столбцов;
•  length (v) — число элементов вектора;
•  last (v) — индекс последнего элемента вектора:

•  А — матрица или вектор;
•  v — вектор.

ПРИМЕЧАНИЕ

Если матричные индексы нумеруются с 1, т. е. системная константа ORIGIN равна не о (по умолчанию), а 1, то число элементов вектора и индекс его последнего элемента совпадают.

Листинг 7.28. Размер матриц

Листинг 7.29. Размер векторов

 

Теги MathCad САПР

Сюжеты MathCad

Глава 1 Основы работы с системой Mathcad 11

9981 0

Глава 10 Работа с информационными ресурсами Mathcad 11

6992 0

Глава 2 Работа с файлами Mathcad 11

12565 0

Комментарии (0)

Вы должны авторизоваться, чтобы оставлять комментарии.

Вход

О проекте Использование материалов Контакты

Новости Статьи База знаний

Радиомастер
© 2005–2022 radiomaster.ru

При использовании материалов данного сайта прямая и явная ссылка на сайт radiomaster.ru обязательна. 0.2202 s

описание, особенности, принципы работы с ней OTUS

В математике существует немалое количество важных элементов и значений для проведения расчетов. Некоторые из них изучаются в школах, а какие-то – в ВУЗах. Немаловажной составляющей является матрица.

Далее речь зайдет об этой математической единице – что она собой представляет, для чего необходима, какие действия с ней выполняются.

Что это

Матрица представляет собой прямоугольную таблицу элементов. Это – своеобразная таблица чисел.

Некий математический объект, который записывается в виде прямоугольной таблице элементов кольца или поля. Он представлен совокупностью строк и столбцов, на пересечении которых располагаются числа. Последний – его компоненты.

Размер матрицы определяется количеством строк и столбцов. Исторически существуют разнообразные «предметы» данного типа. Пример — треугольные. Сейчас каждым математиком изучаются понятия квадратной матрицы и прямоугольной.

Возможные действия

С рассматриваемыми объектами можно выполнять различные действия:

• сложение;
• вычитание;
• умножение числа на заданную матрицу;
• нахождение определителя;
• комплексное сопряжение.

Далее поможем разобраться со всеми этими алгебраическими манипуляциями с наглядными примерами. Предложенная информация пригодится не только математикам, но и программистам.

Сложение

Складывать можно только матрицы, которые содержат в своем составе одинаковое количество чисел. Результатом будет служить объект такого же размера.

Чтобы провести операцию, требуется просто сложить их соответствующие компоненты. Пример приведен ниже.

Здесь манипуляции проделывались через матрицы a и b размером два на два. Сложение происходит и относительно положительных чисел, и относительно отрицательных.

Вычитание

При решении задач по математике, связанных с рассматриваемой темой, важно помнить об элементарных действиях. Вычитание производится по тем же принципам, что и сложение. На выходе получается матрица аналогичного размера.

Умножение на число

Любую матрицу допустимо умножить на произвольное число. Для этого предстоит:

• умножить каждый элемент оной на заданное число;
• произвести запись объекта с новыми данными.

Выше представлен пример умножения числа на заданную матрицу.

Между собой

Также в математике можно перемножать между собой рассматриваемые объекты. Но умножение матриц друг с другом представляется возможным не всегда.

Такая операция допускается, если число столбцов в объекте A равно числу строк объекта B. Каждый элемент, получившийся в i-ой строке и j-м столбце – это сумма произведений соответствующих компонентов в i-й строчке первого множителя и j-м столбце второго.

Все это – примеры того, как математик умножает рассматриваемые объекты между собой. Первый случай – теоретическая запись, второй – наглядное решение.

Транспонирование

Умножение числа на заданную матрицу – это не трудно. Но есть еще транспонирование. Так называют операцию, когда строки и столбцы меняются местами.

Выше – запись транспортированного объекта.

Определитель

Как осуществлять сложение двух матриц, а также их умножение, понятно. Достаточно помнить базовые алгебраические правила. Но рассматриваемый компонент может иметь определитель. Его также называют детерминантом. Встречается в линейной алгебре.

Определитель – численная характеристика квадратной матрицы. Она необходима для решения большого количества задач.

Для поиска определителя требуется вычислить разность произведений элементов главной и побочной диагоналей.

Определитель матрицы первого порядка (состоящей из одного компонента) – это то самое число, что в ней содержится. Если объект размером 3×3, справиться будет сложнее.

Для проведения расчетов необходимо запомнить, что:

1. Значение определителя будет равно сумме произведений главной диагонали и произведений элементов, лежащих на треугольниках с гранью параллельной главной диагонали.
2. От последней нужно вычесть произведение элементов побочной диагонали и произведение составляющих, лежащих на треугольниках с гранью параллельной побочной диагонали.
3. На практике определители крупных матриц необходимо в исключительных случаях.

Выше представлен пример нахождения детерминанта в квадратном объекте 2×2.

Обратные «модели»

Обратная матрица тоже встречается при решении задач. Вырожденная «модель» — это квадратный объект строк и столбцов n-го порядка, когда определитель равен нулю. Невырожденная – когда не равен ему соответственно.

Матрица A^-1 – обратная, если для нее актуально соотношение типа: A x A^-1=A^-1 x A = E.

Если A^-1 не вырождена, то существует всего одна обратная матрица A^-1. Она будет равна значению:

А вот несколько наглядных примеров:

Как найти

Для того, чтобы определить A^-1, необходимо:

• Найти детерминант A.
• Проверить, чтобы он не был равен нулю.
• Найти миноры матрицы – M_ij.
• Определить A_ij= (-1)^i+jM_ij.
• Построить матрицу алгебраических дополнений:

• Поделить каждое из слагаемых (каждый элемент матрицы) объекта на детерминант A.

Умножение числа на матрицу, как и другие операции – это не так трудно. Зная соответствующую базу, человек сможет производить вручную или через специальные калькуляторы необходимые подсчеты. А некоторые видео уроки объяснят теорию простым языком.

Как лучше разобраться в теме

Для того, чтобы лучше понимать рассматриваемую тему, можно отправиться на специализированные IT-курсы. Там помогут:

• получить практику;
• освоить разнообразные направления математики и информационных технологий;
• обзавестись новыми полезными знакомствами;
• заниматься максимально комфортно – в удобное время, через интернет.

В конце обучения выдается сертификат, подтверждающий знания в выбранном направлении. Предложения есть как для новичков, так и для продвинутых математиков/разработчиков/системных администраторов.

Хотите освоить современную IT-специальность? Огромный выбор курсов по востребованным IT-направлениям есть в Otus!

Также, возможно, вам будет интересен следующий курс:

Что такое матрица?

Этот урок знакомит с матрицей — прямоугольным массивом, лежащим в основе матричная алгебра. Матричная алгебра довольно часто используется в расширенной статистике, в основном потому что это дает два преимущества.

• Эффективные методы манипулирования наборами данных и решения наборов уравнения.

Определение матрицы

Матрица представляет собой прямоугольный массив чисел, расположенных в строки и столбцы. Массив чисел ниже является примером матрицы.

	21	62	33	93
	44	95	66	13
	77	38	79	33

Число строк и столбцов матрицы называется ее измерение

или его порядок . Условно, строки перечислены первыми; и столбцы, во-вторых. Таким образом, мы бы сказали, что размер (или порядок) приведенной выше матрицы равен 3 x 4, что означает, что она имеет 3 строки и 4 столбца.

Числа, которые появляются в строках и столбцах матрицы, называются элементов матрицы. В приведенной выше матрице элемент в первом столбце первой строки — 21; элемент во втором столбец первой строки равен 62; и так далее.

Объявление

Матричное обозначение

Статистики используют символы для идентификации матричных элементов и матриц.

• Элементы матрицы. Рассмотрим матрицу ниже, в котором матричные элементы полностью представлены символами.

  	А 1 1	А 1 2	А 1 3	А 1 4
  	А 2 1	А 2 2	А 2 3	А 2 4

  По соглашению первый нижний индекс относится к номер строки; и второй нижний индекс, к номеру столбца. Таким образом, первый элемент в первой строке представлен
  А _{1 1} . Второй элемент в первой строке равен представленный А _{1 2} . И так далее, пока не дойдем до четвертого элемента во второй строке, которая представлена А _{2 4} .

• Матрицы. Существует несколько способов представления матрица символически. Простейший использовать жирный шрифт, например A , B , или С . Таким образом, A может представлять собой Матрица 2 x 4, как показано ниже.

  А =	11 62 33 93 44 95 66 13

  Другой способ представления матрицы A :

  A = [ A _{i j} ], где i = 1, 2 и j = 1, 2, 3, 4

  Это обозначение указывает, что A представляет собой матрицу с 2 строками и 4 колонки. Фактические элементы массива не отображаются; они есть представлен символом A _{i j} .

При необходимости будут вводиться другие матричные обозначения. Для описания всех матричных обозначений, используемых в этом руководстве, см. см. Приложение «Матричная нотация».

Равенство матриц

Чтобы понять алгебру матриц, нам нужно понять матрицу равенство. Две матрицы равны, если все три из следующих условий встречаются:

• Каждая матрица имеет одинаковое количество строк.
• Каждая матрица имеет одинаковое количество столбцов.
• Соответствующие элементы в каждой матрице равны.

Рассмотрим три матрицы, показанные ниже.

А =	111 х у 444

Б =	111 222 333 444

С =	л м н о  стр  q

Если А = В , мы знаем, что х = 222 и у = 333; поскольку соответствующие элементы равных матриц также равны.

И мы знаем, что матрица C не равно A или B , потому что C имеет больше столбцов, чем A или Б .

Проверьте свое понимание

Задача 1

Приведенные ниже обозначения описывают две матрицы — матрица A и матрица B .

A = [ A _{I J} ]

, где I = 1, 2, 3 и J = 1, 2

B =	111 222 333 444 555 666 777 888

Какое из следующих утверждений о A и B верны?

I. Матрица А состоит из 5 элементов.
II. Размер матрицы B равен 4 х 2.
III. В матрице B элемент B _{2 1} есть равно 222.

(А) только я
(B) только II
(С) только III
(Г) Все вышеперечисленное
(E) Ничего из вышеперечисленного

Решение

Правильный ответ (Е).

• Матрица А имеет 3 строки и 2 столбца; то есть, 3 ряда по 2 элемента в каждом. Это составляет 6 элементов, всего — не 5.
• Размер матрицы B 2 х 4, а не 4 х 2. То есть матрица В имеет 2 строки и 4 столбца — не 4 ряда и 2 столбца.
• И, наконец, элемент B _{2 1} относится к первый элемент в вторая строка матрицы B , что равно 555, а не 222.

Последний урок Следующий урок

линейная алгебра — Очень запутался в размерности матрицы

Задавать вопрос

спросил 5 лет, 11 месяцев назад

Изменено 5 лет, 11 месяцев назад

Просмотрено 4к раз

$\begingroup$

Меня очень раздражает и смущает размер матрицы. До сих пор я думал, что размерность матрицы равна ее рангу. Но, похоже, это не так. Или так бывает иногда, в особых случаях?.. Вы видите мое замешательство прямо здесь.

Возьмем в качестве примера эту матрицу $A= \begin{pmatrix} 1 и 3 и 2\\ 2 и 4 и 4\\ 3 и 5 и 6 \end{pmatrix}$

Ранг этой матрицы равен $2$. Я использовал Gauss, и это был последний результат, который я получил (я хочу быть кратким):

$$A= \begin{pmatrix} 6 и 18 и 12\\ 0 и -8 и 0\\ 0 и 0 и 0 \end{pmatrix}$$

Но почему размерность $3$? Неужели просто потому, что в этой матрице $3$ столбцов?

Почему говорят, что размерность равна рангу? Или они имеют в виду размер изображения, когда говорят это?

Пожалуйста, пожалуйста, я сейчас в отчаянии, потому что до сих пор ничего не знаю об этом, и прошу разъяснений.

• линейная алгебра
• матрицы
• векторные пространства
• векторы

$\endgroup$

5

$\begingroup$

Путаница, вероятно, возникает из-за того, что слово «измерение(я)» используется для разных вещей. Однако в контексте векторных пространств это имеет очень специфическое значение.

Матрица, состоящая из $m$ строк и $n$ столбцов, называется $m \times n$-матрицей. Это дает вам размер матрицы , но иногда «$m$ на $n$» называют «размерами» матрицы. Когда $m=n$, это число иногда называют просто размерностью квадратной матрицы.

Существует ряд эквивалентных способов описания ранга матрицы, например количество линейно независимых столбцов (или строк). В контексте векторных пространств это 90 541 измерение 90 542 пространства столбца (или строки) матрицы. Слово «размерность» имеет в этом контексте очень конкретное значение, а именно количество элементов в основе подпространства.

$\endgroup$

$\begingroup$

Использование термина размерность лучше отнести только к векторным пространствам и их элементам.

Таким образом, для матрицы из $m$ строк и $n$ столбцов мы можем сказать, что это матрица размера $m \times n$ , которая представляет собой линейное преобразование из векторного пространства размерности $n$ ( его область определения) в векторное пространство размерности $m$ (его область значений) и что его ранг может быть числом $p \le \mbox{min}(m,n)$.

Можно также сказать, что такая матрица является элементом векторного пространства размерности $q=n \cdot m$, поскольку набор матриц имеет структуру векторного пространства: векторное пространство матриц , т.е. отличается от домена и доменного пространства.