Ряд обратных квадратов – Википедия — свободная энциклопедия

Википедия — свободная энциклопедия

Избранная статья

Первое сражение при реке Булл-Ран (англ. First Battle of Bull Run), также Первое сражение при Манассасе) — первое крупное сухопутное сражение Гражданской войны в США. Состоялось 21 июля 1861 года возле Манассаса (штат Виргиния). Федеральная армия под командованием генерала Ирвина Макдауэлла атаковала армию Конфедерации под командованием генералов Джонстона и Борегара, но была остановлена, а затем обращена в бегство. Федеральная армия ставила своей целью захват важного транспортного узла — Манассаса, а армия Борегара заняла оборону на рубеже небольшой реки Булл-Ран. 21 июля Макдауэлл отправил три дивизии в обход левого фланга противника; им удалось атаковать и отбросить несколько бригад конфедератов. Через несколько часов Макдауэлл отправил вперёд две артиллерийские батареи и несколько пехотных полков, но южане встретили их на холме Генри и отбили все атаки. Федеральная армия потеряла в этих боях 11 орудий, и, надеясь их отбить, командование посылало в бой полк за полком, пока не были израсходованы все резервы. Между тем на поле боя подошли свежие бригады армии Юга и заставили отступить последний резерв северян — бригаду Ховарда. Отступление Ховарда инициировало общий отход всей федеральной армии, который превратился в беспорядочное бегство. Южане смогли выделить для преследования всего несколько полков, поэтому им не удалось нанести противнику существенного урона.

Хорошая статья

«Хлеб» (укр. «Хліб») — одна из наиболее известных картин украинской советской художницы Татьяны Яблонской, созданная в 1949 году, за которую ей в 1950 году была присуждена Сталинская премия II степени. Картина также была награждена бронзовой медалью Всемирной выставки 1958 года в Брюсселе, она экспонировалась на многих крупных международных выставках.

В работе над полотном художница использовала наброски, сделанные летом 1948 года в одном из наиболее благополучных колхозов Советской Украины — колхозе имени В. И. Ленина Чемеровецкого района Каменец-Подольской области, в котором в то время было одиннадцать Героев Социалистического Труда. Яблонская была восхищена масштабами сельскохозяйственных работ и людьми, которые там трудились. Советские искусствоведы отмечали, что Яблонская изобразила на своей картине «новых людей», которые могут существовать только в социалистическом государстве. Это настоящие хозяева своей жизни, которые по-новому воспринимают свою жизнь и деятельность. Произведение было задумано и создано художницей как «обобщённый образ радостной, свободной творческой работы». По мнению французского искусствоведа Марка Дюпети, эта картина стала для своего времени программным произведением и образцом украинской реалистической живописи XX столетия.

Изображение дня

Рассвет в деревне Бёрнсте в окрестностях Дюл

ru.wikipedia.green

Ряд обратных квадратов Википедия

Ряд обратных квадратов — бесконечный ряд:

112+122+132+142+152+…{\displaystyle {\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}+\dots }

Задача нахождения суммы этого ряда долгое время оставалась нерешённой. Поскольку внимание европейских математиков на данную проблему обратил базельский профессор математики Якоб Бернулли (1689 год), в истории она нередко называется «базельской задачей» (или «базельской проблемой»). Первым сумму ряда сумел найти в 1735 году 28-летний Леонард Эйлер, она оказалась равна

16π2≈1,6449340668{\displaystyle {\frac {1}{6}}\pi ^{2}\approx 1{,}6449340668} (см. последовательность A013661 в OEIS).

Решение данной проблемы не только принесло молодому Эйлеру мировую славу, но и оказало значительное влияние на дальнейшее развитие анализа, теории чисел, а впоследствии — комплексного анализа. В очередной раз (после открытия ряда Лейбница) число π{\displaystyle \pi } вышло за пределы геометрии и подтвердило свою универсальность. Наконец, ряд обратных квадратов оказался первым шагом к введению знаменитой дзета-функции Римана^[1].

История[ | ]

Впервые рассуждения о ряде обратных квадратов историки обнаружили в работах итальянского математика Пьетро Менголи (1644), но тогда задача не вызвала общего интереса. Позднее найти сумму ряда безуспешно пытались многие выдающиеся математики, в том числе Лейбниц, Стирлинг, де Муавр, братья Якоб и Иоганн Берну

ru-wiki.ru

Сумма ряда обратных квадратов (Basel problem)

В истории математики имеется много случаев, когда кто-либо ставил задачу перед математическим миром в целом, и эта задача оставалась нерешенной в течение десятилетий или даже веков. Часто в процессе решения такой задачи появлялись новые области математики.

Этот пост – рассказ об одном из таких случаев, так называемой Basel problem (задаче о сумме ряда обратных квадратов, Базель – город в Швейцарии), впервые поставленной в качестве вызова европейским математикам в 1644 году. Она сопротивлялась всем попыткам ее решить до тех пор, пока молодой Леонард Эйлер в 1734 году не нашел ответ. Как увидит читатель, решение Эйлера – работа удивительной изобретательности, хотя уровень математики не превосходит в ней начального курса алгебры.

Задача

Basel problem формулируется просто: требуется найти точное значение следующей бесконечной суммы:

   

Как и для всех остальных бесконечных рядов, для этого ряда возникает вопрос, сходится ли он к конечному значению. Тот факт, что его члены становятся бесконечно малыми, не является достаточным для обеспечения сходимости. Например, следующий ряд

   

имеет бесконечную сумму, т.е. расходится, несмотря на то, что его члены становятся сколь угодно малыми (этот ряд называется гармоническим, и доказательство его расходимости приведено ниже).

Тем не менее, для ряда обратных квадратов ранее было показано, что он сходится к числу, меньшему 2, только не было известно точное значение, к которому он сходится.

Два соперника и их учитель делают безуспешную попытку

Первыми математиками мирового уровня, пытавшимися решить Basel problem, были швейцарцы, братья Якоб Бернулли (1654-1705) и Иоганн Бернулли (1667-1748). Задача названа так, потому что Базель — их родной город. Бернулли были среди первых, кто понял и начал применять новое исчисление, о котором они узнали от Готфрида Лейбница (1646-1716), — одного из его авторов. К 1690 году они считались ведущими европейскими математиками. К сожалению, к этому времени они стали ожесточенными, непримиримыми соперниками, и казалось, испытывали практически убийственную ненависть друг к другу. Каждый из них мог бы лгать, воровать, пошел бы на плагиат, если бы это помогло ему казаться лучше другого. Соперничество не прекратилось даже со смертью Якоба — Иоганн пытался выдать некоторые неопубликованные работы своего покойного брата за свои собственные, и он также отказался помочь опубликовать трактат Якоба по теории вероятности, опасаясь, что это поднимет репутацию брата. По крайней мере, Иоганн, вполне возможно, был просто… нехорошим человеком — когда его собственный сын Даниил позже выиграл математический приз, за который Иоганн также боролся, он выгнал Даниила из дома и лишил его наследства.

В течение многих лет братья Бернулли пытались решить задачу о сумме ряда обратных квадратов, что, вероятно, частично было обусловлено желанием победить соперника, но они не добились успеха. Лейбниц также работал над проблемой в течение многих лет и не получил никакого результата.

Вступление Эйлера

Леонард Эйлер (1707–1786) родился в Базеле, и так случилось, что его отец знал Иоганна Бернулли. Когда Леонарду было 14 лет, его отец попросил Иоганна, чтобы тот учил юношу математике. Иоганн нехотя согласился, но затем быстро обнаружил, что его новый ученик имеет способности, превосходящие все те, какие он когда-либо видел. Вскоре роли поменялись, и Иоганн учился у Эйлера. Иоганн посоветовал отцу Леонарда отказаться от идеи сделать Леонарда министром, предложив ему стать математиком. К чести его, отец согласился.

Через несколько лет Эйлер занял пост в Академии в Санкт-Петербурге, в России. Именно там, в 1734 году, Эйлер нашел решение Basel problem. В результате его сразу же стали считаеть ведущим математиком Европы.

Решение

Для начала рассмотрим алгебраическое уравнение, степень которого я произвольно полагаю равной четырем:

   

Предположим, что его корни и . Тогда мы можем разложить полином на линейные множители следующим образом:

   

Если ни один из этих корней не равен нулю, мы можем записать также

   

Далее, имеются некоторые полиномы бесконечной степени, например,

   

Эти особые бесконечные ряды были открыты Ньютоном, и довольно легко вывести такие разложения с помощью математического анализа. Здесь я буду считать его известным. Мы знаем нули синуса, это Первой идеей Эйлера было предположение, что теорема о разложении на множители верна для бесконечных полиномов, т.е.

   

Заметим, что каждая пара множителей и перепишем равенство

   

Теперь Эйлер получил, что бесконечная сумма равна бесконечному произведению!? (также обратите внимание на знаменатели в этом произведении — в них имеются квадраты натуральных чисел, что намекает о присутствии где-то здесь ряда обратных квадратов).

Хотя произведение состоит из бесконечного числа множителей, мы можем выяснить, какой коэффициент будет при каждой степени . Рискуя обидеть читателя, я все же объясню: рассмотрим конечное произведение

   

Каждый элемент при раскрытии скобок в произведении, скажем , равен произведению слагаемых, взятых из каждой скобки слева по одному. Так, Эйлер увидел, что в нашем бесконечном произведении член, содержащий , будет равен

   

Однако, поскольку бесконечное произведение равно бесконечному ряду для , коэффициент при должен быть равен . Приравняем коэффициенты и умножим полученное равенство на , получим

   

Итак, через 90 лет был найден ответ. Он остается одним из самых странных, самых удивительных результатов в математике. Мы связываем постоянную с кругами, а Basel problem содержит обратные квадраты. И что здесь вдобавок делает синус из тригонометрии? Когда Иоганн Бернулли увидел решение Эйлера, он должен был сказать: “Был бы только мой брат жив, чтобы увидеть это’’. Возможно, Иоганн смягчился с годами.

Это не все, что установил Эйлер в своей исторической работе. Используя подобные методы, он показал, что

   

и

   

Оставался очевидный вопрос: а что с нечетными степенями натуральных чисел? Оказывается, что подобные методы не работают для нечетных степеней. В течение всей своей жизни Эйлер много раз пытался найти эти суммы, но ему этого сделать не удалось. В конце концов он просто сказал: “Задача представляется сложной’’. Когда Эйлер сказал о математической задаче, что она сложная, обычным математикам, вероятно, не стоит заботиться о ее решении. И конечно же, сегодня, спустя 200 с лишним лет, эти суммы не найдены.

Следствия

Практики могут задать вопрос, оправданы ли все эти усилия, принесшие результат, не имеющий никакой очевидной пользы. Простой ответ состоит в том, что эта задача из теории чисел, а в теории чисел подобные вопросы просто не возникают. Менее циничным ответом будет тот, что теория чисел иногда находит свой путь в реальный мир. Хорошим примером тому является теорема Ферма, открытая им в 1640 году, так называемая малая теорема Ферма. На этом абстрактном результате основан алгоритм криптографии, который применяется в Интернете для передачи секретной информации, такой как номера кредитных карт. Без него электронная коммерция была бы невозможна.

Что касается задачи о сумме ряда обратных квадратов, то позже оказалось, что она тесно связана с гипотезой Римана, которая сегодня считается одной из самых важных нерешенных проблем в математике. Эта гипотеза была предложена в 1859 году. Она считается верной, но до сих пор ее еще никто не доказал. Нам нужен новый Леонард Эйлер.

Приложение. Расходимость гармонического ряда

Как было написано выше, это ряд:

   

Якоб Бернулли доказал, что эта сумма бесконечна. Якоб заметил, что ряд может быть разделен на группы слагаемых:

   

Он предположил, что сумма слагаемых в каждой группе единица или больше. Если так, то сумма гармонического ряда бесконечна, поскольку она равна сумме бесконечного числа слагаемых, каждое из которых единица или больше (групп бесконечно много). Чтобы доказать предположение, рассмотрим одну группу без первого слагамого:

   

Число слагаемых в этой группе равно . Наименьшее слагаемое — последнее, так что

   

или

   

Добавляя к обеим частям равенства, получаем требуемый результат.

Перевод статьи The Basel Problem.

hijos.ru

Ряд обратных квадратов — Википедия

Ряд обратных квадратов — бесконечный ряд:

112+122+132+142+152+…{\displaystyle {\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}+\dots }

Задача нахождения суммы этого ряда долгое время оставалась нерешённой. Поскольку внимание европейских математиков на данную проблему обратил базельский профессор математики Якоб Бернулли (1689 год), в истории она нередко называется «базельской задачей» (или «базельской проблемой»). Первым сумму ряда сумел найти в 1735 году 28-летний Леонард Эйлер, она оказалась равна

16π2≈1,6449340668{\displaystyle {\frac {1}{6}}\pi ^{2}\approx 1{,}6449340668} (см. A013661).

Решение данной проблемы не только принесло молодому Эйлеру мировую славу, но и оказало значительное влияние на дальнейшее развитие анализа, теории чисел, а впоследствии — комплексного анализа. В очередной раз (после открытия ряда Лейбница) число π{\displaystyle \pi } вышло за пределы геометрии и подтвердило свою универсальность. Наконец, ряд обратных квадратов оказался первым шагом к введению знаменитой дзета-функции Римана^[1].

История

Впервые рассуждения о ряде обратных квадратов историки обнаружили в работах итальянского математика Пьетро Менголи (1644), но тогда задача не вызвала общего интереса. Позднее найти сумму ряда безуспешно пытались многие выдающиеся математики, в том числе Лейбниц, Стирлинг, де Муавр, братья Якоб и Иоганн Бернулли. Они вычислили несколько значащих цифр суммы ряда, Якоб Бернулли строго доказал, что ряд сходится к некоторому конечному значению, однако никто не смог определить, с чем это значение могло бы быть связано^[2].

Леонард Эйлер

Якоб Бернулли призвал в своей книге «Арифметические предложения о бесконечных рядах» (1689): «Если кому-либо удастся найти то, что до сих пор не поддавалось нашим усилиям, и если он сообщит это нам, то мы будем очень ему обязаны»^[1][3]. Но при жизни Якоба Бернулли решение так и не появилось.

Первым успеха добился Эйлер, спустя почти полвека после обращения Бернулли. Скорее всего, о данной проблеме Эйлеру рассказал Иоганн Бернулли, брат Якоба. Эйлер сообщил об открытии в заметке «О суммах обратных рядов» (De summis serierum reciprocarum, Commentarii, 1735 год)^[4] для журнала Петербургской академии наук. Найденное им значение суммы Эйлер также сообщил письмом своему другу Даниилу Бернулли, сыну Иоганна Бернулли^[5]:

Недавно я нашёл, и совсем неожиданно, изящное выражение для суммы ряда, связанного с квадратурой круга… А именно, шестикратная сумма этого ряда равна квадрату периметра круга, диаметр которого 1.

Даниил рассказал отцу, который выразил сомнение в справедливости эйлеровского разложения синуса в бесконечное произведение (см. ниже). Поэтому в 1748 году Эйлер более строго обосновал результат в своей монографии «Введение в анализ бесконечно малых» (Introductio in analysin infinitorum, том I, глава X)^[6].

Для контроля Эйлер вычислил вручную сумму ряда с 20 знаками (видимо, используя формулу Эйлера — Маклорена, так как ряд обратных квадратов сходится довольно медленно). Далее он сопоставил сумму со значением π26,{\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{6}},} используя уже известное в тот период приближённое значение числа π{\displaystyle \pi }, и убедился, что оба значения, в пределах точности счёта, совпадают^[7]. Впоследствии (1743) Эйлер опубликовал ещё два разных способа суммирования ряда обратных квадратов^[8], один из них описан ниже как 4-й способ из книги Г. М. Фихтенгольца.

Видео по теме

Доказательство сходимости ряда

Достаточно доказать, что сходится ряд:

1+11⋅2+12⋅3+13⋅4+14⋅5⋯ ,{\displaystyle 1+{\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{2\cdot 3}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}+{\frac {1}{4\cdot 5}}\cdots \ ,}

потому что каждое слагаемое в нём (кроме первого) больше, чем в ряде обратных квадратов. Представим новый ряд в виде:

1+(1−12)+(12−13)+(13−14)+⋯ {\displaystyle 1+\left(1-{\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}\right)+\left({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}\right)+\cdots \ }

Очевидно, частичная сумма Sn{\displaystyle S_{n}} этого ряда равна 2−1n,{\displaystyle 2-{1 \over n},} поэтому ряд сходится, и его сумма равна 2. Следовательно, и ряд обратных квадратов сходится к некоторому числу в интервале (1, 2).

Метод Эйлера для нахождения суммы ряда

К концу XVII века, благодаря работам Ньютона и других математиков, было известно разложение в ряд функции синуса:

sin⁡(x)=x−x33!+x55!−x77!+⋯{\displaystyle \sin(x)=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots }

Эйлер сумел получить другое разложение синуса — не в сумму, а в бесконечное произведение:

sin⁡(x)=x(1−x2π2)(1−x24π2)(1−x29π2)(1−x216π2)⋯{\displaystyle \sin(x)=x\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{4\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{9\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{16\pi ^{2}}}\right)\cdots }

Приравняв оба выражения и сократив на x,{\displaystyle x,} получим:

(1−x2π2)(1−x24π2)(1−x29π2)(1−x216π2)⋯=1−x23!+x45!−x67!+⋯{\displaystyle \left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{4\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{9\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{16\pi ^{2}}}\right)\cdots =1-{\frac {x^{2}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{5!}}-{\frac {x^{6}}{7!}}+\cdots }

(1)

Поскольку это тождество выполняется при всех x,{\displaystyle x,} коэффициенты при x2{\displaystyle x^{2}} в обеих его частях должны быть равны:

−1π2−14π2−19π2−116π2−⋯=−16{\displaystyle -{\frac {1}{\pi ^{2}}}-{\frac {1}{4\pi ^{2}}}-{\frac {1}{9\pi ^{2}}}-{\frac {1}{16\pi ^{2}}}-\cdots =-{\frac {1}{6}}}

Умножив обе части равенства на (−π2),{\displaystyle (-\pi ^{2}),} окончательно получаем^[9]:

112+122+132+142+152+⋯=π26{\displaystyle {\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}+\dots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}}

Альтернативные способы нахождения суммы

Ряд Фурье

Аппарат разложения в ряд Фурье в применении к функции f(x)=x2{\displaystyle f(x)=x^{2}} позволяет особенно легко и быстро получить сумму ряда обратных квадратов. Для чётной функции это разложение имеет следующий общий вид:

f(x)=a0+∑n=1∞ancos⁡nx{\displaystyle f(x)=a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\cos nx}

Вычислим коэффициенты an{\displaystyle a_{n}} по стандартным формулам:

a0=12π∫−ππx2dx=π23;an=1π∫−ππx2cos⁡(nx)dx=(−1)n4n2{\displaystyle a_{0}={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }x^{2}dx={\pi ^{2} \over 3};\quad a_{n}={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }x^{2}\cos(nx)dx=(-1)^{n}{\frac {4}{n^{2}}}}

В итоге разложение приобретает вид:

x2=π23+∑n=1∞(−1)n4cos⁡(nx)n2{\displaystyle x^{2}={\pi ^{2} \over 3}+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {4\cos(nx)}{n^{2}}}}

Подставив в эту формулу x=π,{\displaystyle x=\pi ,} получаем

π2=π23+∑n=1∞(−1)n4(−1)nn2,{\displaystyle \pi ^{2}={\pi ^{2} \over 3}+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {4(-1)^{n}}{n^{2}}},} или:

23π2=4∑n=1∞1n2{\displaystyle {2 \over 3}\pi ^{2}=4\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}}

Разделив на 4, получим окончательный результат.

Если вместо x=π{\displaystyle x=\pi } подставить x=0,{\displaystyle x=0,} получится ещё одна сумма:

112−122+132−142+152+⋯=π212{\displaystyle {\frac {1}{1^{2}}}-{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}-{\frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}+\dots ={\pi ^{2} \over 12}}

Другой путь к решению задачи — использовать равенство Парсеваля для функции f(x)=x{\displaystyle f(x)=x}.

Методы из курса анализа Г. М. Фихтенгольца

Во втором томе трёхтомного «Курсе дифференциального и интегрального исчисления» Г. М. Фихтенгольца приводятся несколько способов суммирования ряда обратных квадратов^[10].

Первый способ (стр. 461) основан на разложении арксинуса:

2(arcsin⁡y)2=∑m=1∞[(m−1)!]2(2m)!(2y)2m{\displaystyle 2(\arcsin y)^{2}=\sum _{m=1}^{\infty }{{\frac {[(m-1)!]^{2}}{(2m)!}}(2y)^{2m}}}

При y=12{\displaystyle y={1 \over 2}} получаем

∑m=1∞[(m−1)!]2(2m)!=π218{\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }{\frac {[(m-1)!]^{2}}{(2m)!}}={\frac {\pi ^{2}}{18}}}

Но ранее в томе 2 (стр. 340) было показано, что левая часть последнего уравнения равна трети суммы ряда обратных квадратов, откуда получаем сумму ряда.

Второй способ (стр. 490) по существу совпадает с приведенным выше методом Эйлера.

Третий способ замечателен тем, что сразу даёт суммы всех рядов обратных чётных степеней:

S2n=∑m=1∞1m2n{\displaystyle S_{2n}=\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{m^{2n}}}}

Он основан на двух формулах разложения гиперболического котангенса. Первая (стр. 484) справедлива при |x|<1{\displaystyle |x|<1}:

πx⋅cth⁡(πx)=1+2∑n=1∞(−1)n−1S2nx2n{\displaystyle \pi x\cdot \operatorname {cth} (\pi x)=1+2\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}S_{2n}x^{2n}}

Вторая (стр. 495) связывает гиперболический котангенс с числами Бернулли Bn{\displaystyle B_{n}}:

πx⋅cth⁡(πx)=1+∑n=1∞(−1)n−1(2π)2nBn(2n)!x2n{\displaystyle \pi x\cdot \operatorname {cth} (\pi x)=1+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}{\frac {(2\pi )^{2n}B_{n}}{(2n)!}}x^{2n}}

Приравнивая одинаковые степени в обеих формулах, получаем формулу связи сумм рядов с числами Бернулли:

Bn=2(2n)!(2π)2nS2n{\displaystyle B_{n}={\frac {2(2n)!}{(2\pi )^{2n}}}S_{2n}}

Для n=1{\displaystyle n=1}, с учётом B1=16,{\displaystyle B_{1}={1 \over 6},} получаем ожидаемый результат.

Четвёртый способ (стр. 671), найденный ещё Эйлером в 1741 году, основан на интегрировании рядов. Обозначим:

E=∫01arcsin⁡x1−x2 dx=∫01arcsin⁡x darcsin⁡x=π28{\displaystyle E=\int \limits _{0}^{1}{{\frac {\arcsin x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\ dx}=\int \limits _{0}^{1}{\arcsin x\ d\arcsin x}={\frac {\pi ^{2}}{8}}}

Воспользуемся разложением арксинуса в ряд для промежутка [0, 1]:

arcsin⁡x=x+∑n=1∞(2n−1)!!(2n)!!⋅x2n+12n+1{\displaystyle \arcsin x=x+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}\cdot {\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}}

Этот ряд сходится равномерно, и можно интегрировать его почленно:

E=∫01×1−x2 dx+∑n=1∞(2n−1)!!(2n)!!(2n+1)∫01x2n+11−x2 dx{\displaystyle E=\int \limits _{0}^{1}{\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\ dx+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!(2n+1)}}\int \limits _{0}^{1}{\frac {x^{2n+1}}{\sqrt {1-x^{2}}}}\ dx}

Первый интеграл равен 1, а второй после подстановки x=sin⁡t{\displaystyle x=\sin t} оказывается равен (2n)!!(2n+1)!!,{\displaystyle {\frac {(2n)!!}{(2n+1)!!}},} поэтому получаем:

E=1+∑n=1∞1(2n+1)2=∑n=1∞1(2n−1)2{\displaystyle E=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)^{2}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(2n-1)^{2}}}}

Эта сумма содержит обратные квадраты нечётных чисел. Нужная нам сумма S{\displaystyle S} ряда всех обратных квадратов состоит из двух частей, первая из которых равна E,{\displaystyle E,} а вторая содержит обратные квадраты чётных чисел:

S=112+122+132+142+⋯=E+122+142+162+⋯=π28+14S{\displaystyle S={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\dots =E+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{6^{2}}}+\dots ={\frac {\pi ^{2}}{8}}+{1 \over 4}S}

То есть 34S=π28,{\displaystyle {3 \over 4}S={\frac {\pi ^{2}}{8}},} откуда: S=π26.{\displaystyle S={\frac {\pi ^{2}}{6}}.}

Другие подходы

Огюстен Луи Коши в 1821 году предложил оригинальный и строгий, хотя довольно сложный, метод суммирования ряда^[11]. См. подробное изложение в статье И. В. Терещенко^[12].

В статье К. П. Кохася^[9] приводятся несколько различных способов суммирования ряда: через интегралы, комплексные вычеты, гамма-функцию, разложение арксинуса или котангенса, возведение в квадрат ряда Лейбница. Ещё одна коллекция методов суммирования изложена в статье Чепмена^[13].

Вариации и обобщения

Исходя из формулы (1), Эйлер рассчитал суммы не только для ряда обратных квадратов, но и для рядов из других чётных степеней, вплоть до 26-й, например^[1]:

114+124+134+144+154+⋯=π490{\displaystyle {\frac {1}{1^{4}}}+{\frac {1}{2^{4}}}+{\frac {1}{3^{4}}}+{\frac {1}{4^{4}}}+{\frac {1}{5^{4}}}+\dots ={\frac {\pi ^{4}}{90}}}

116+126+136+146+156+⋯=π6945{\displaystyle {\frac {1}{1^{6}}}+{\frac {1}{2^{6}}}+{\frac {1}{3^{6}}}+{\frac {1}{4^{6}}}+{\frac {1}{5^{6}}}+\dots ={\frac {\pi ^{6}}{945}}}

и т. д. Эйлер также выяснил, что суммы таких рядов связаны с числами Бернулли следующим образом^[6]:

S2k=(−1)k−1(2π)2k2(2k)!B2k,{\displaystyle S_{2k}=(-1)^{k-1}{\frac {(2\pi )^{2k}}{2(2k)!}}B_{2k},}

где B2k{\displaystyle B_{2k}} — числа Бернулли.

Эйлер просуммировал и модификацию ряда обратных квадратов, содержащую (в знаменателях) квадраты или иные чётные степени нечётных чисел^[14]; суммы рядов оказались также связаны с числом π.{\displaystyle \pi .}

Для рядов из нечётных степеней теоретическое выражение их сумм до сих пор не известно. Доказано лишь, что сумма ряда обратных кубов (постоянная Апери) — иррациональное число^[1].

Если рассматривать показатель степени в общем ряде обратных степеней как переменную (не обязательно целочисленную), то получится дзета-функция Римана, играющая огромную роль в анализе и теории чисел:

ζ(s)=∑n=1∞1ns.{\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}.}

Таким образом, сумма ряда обратных квадратов есть ζ(2).{\displaystyle \zeta (2).} Первые исследования свойств дзета-функции выполнил Эйлер. В 1859 году появилась глубокая работа Бернхарда Римана, которая расширила определение дзета-функции на комплексную область. На основе тождества Эйлера Риман детально рассмотрел связь дзета-функции с распределением простых чисел.

В 1768 году Эйлер предложил ещё одно обобщение ряда обратных квадратов — дилогарифм Эйлера^[15]:

Li2⁡(x)=−∫0xln⁡(1−t)tdt=x112+x222+x332+…{\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(x)=-\int _{0}^{x}{\frac {\ln(1-t)}{t}}\,\mathrm {d} t={\frac {x^{1}}{1^{2}}}+{\frac {x^{2}}{2^{2}}}+{\frac {x^{3}}{3^{2}}}+\dots }

Литература

• Дуран, Антонио. Поэзия чисел. Прекрасное и математика. — М.: Де Агостини, 2014. — 160 с. — (Мир математики: в 45 томах, том 27). — ISBN 978-5-9774-0722-9.
• Математика XVIII столетия // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1972. — Т. III.
• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — изд. 6-е. — М.: Наука, 1966. — Т. II. — С. 461—462, 490, 496, 671. — 800 с. — ISBN 5-9221-0155-2.

Ссылки

Примечания

1. ↑ ^{1 2 3 4} Дербишир, Джон. Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике. — Астрель, 2010. — С. 90—92, 103—109. — 464 с. — ISBN 978-5-271-25422-2.
2. ↑ Leonhard Euler biography. Проверено 16 апреля 2016.
3. ↑ Пойа, Д. Математика и правдоподобные рассуждения. — Изд. 2-е, исправленное. — М.: Наука, 1975. — С. 40.
4. ↑ E41 — De summis serierum reciprocarum. Проверено 17 апреля 2016.
5. ↑ Наварро, Хоакин. До предела чисел. Проверено 10 августа 2016.
6. ↑ ^{1 2} История математики, том III, 1972, с. 337.
7. ↑ Антонио Дуран, 2014, с. 109.
8. ↑ Вилейтнер Г. История математики от Декарта до середины XIX столетия. — М.: ГИФМЛ, 1960. — С. 143—144. — 468 с.
9. ↑ ^{1 2} Кохась К. П., 2004.
10. ↑ Фихтенгольц Г. М., 1966.
11. ↑ Cauchy A. L. Cours d’analyse de l’École royale polytechnique I.re partie: Analyse algébrique. — Paris: Impr. royale Debure frères, 1821. — 576 p.
12. ↑ Терещенко И. В. Базельская задача i. Метод Коши и его обобщение для вычисления сумм чисел обратных четвёртой степени // Научные труды КубГТУ. — 2014. — № №2.
13. ↑ Robin Chapman.
14. ↑ Жуков А. В. Вездесущее число «пи». — 2-е изд. — М.: Издательство ЛКИ, 2007. — С. 145. — 216 с. — ISBN 978-5-382-00174-6.
15. ↑ Leonhard Euler, Institutiones calculi integrals

wiki2.red

Ряд обратных квадратов — Википедия

Ряд обратных квадратов — бесконечный ряд:

112+122+132+142+152+…{\displaystyle {\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}+\dots }

Задача нахождения суммы этого ряда долгое время оставалась нерешённой. Поскольку внимание европейских математиков на данную проблему обратил базельский профессор математики Якоб Бернулли (1689 год), в истории она нередко называется «базельской задачей» (или «базельской проблемой»). Первым сумму ряда сумел найти в 1735 году 28-летний Леонард Эйлер, она оказалась равна

16π2≈1,6449340668{\displaystyle {\frac {1}{6}}\pi ^{2}\approx 1{,}6449340668} (см. A013661).

Решение данной проблемы не только принесло молодому Эйлеру мировую славу, но и оказало значительное влияние на дальнейшее развитие анализа, теории чисел, а впоследствии — комплексного анализа. В очередной раз (после открытия ряда Лейбница) число π{\displaystyle \pi } вышло за пределы геометрии и подтвердило свою универсальность. Наконец, ряд обратных квадратов оказался первым шагом к введению знаменитой дзета-функции Римана^[1].

История

Впервые рассуждения о ряде обратных квадратов историки обнаружили в работах итальянского математика Пьетро Менголи (1644), но тогда задача не вызвала общего интереса. Позднее найти сумму ряда безуспешно пытались многие выдающиеся математики, в том числе Лейбниц, Стирлинг, де Муавр, братья Якоб и Иоганн Бернулли. Они вычислили несколько значащих цифр суммы ряда, Якоб Бернулли строго доказал, что ряд сходится к некоторому конечному значению, однако никто не смог определить, с чем это значение могло бы быть связано^[2].

Леонард Эйлер

Якоб Бернулли призвал в своей книге «Арифметические предложения о бесконечных рядах» (1689): «Если кому-либо удастся найти то, что до сих пор не поддавалось нашим усилиям, и если он сообщит это нам, то мы будем очень ему обязаны»^[1][3]. Но при жизни Якоба Бернулли решение так и не появилось.

Первым успеха добился Эйлер, спустя почти полвека после обращения Бернулли. Скорее всего, о данной проблеме Эйлеру рассказал Иоганн Бернулли, брат Якоба. Эйлер сообщил об открытии в заметке «О суммах обратных рядов» (De summis serierum reciprocarum, Commentarii, 1735 год)^[4] для журнала Петербургской академии наук. Найденное им значение суммы Эйлер также сообщил письмом своему другу Даниилу Бернулли, сыну Иоганна Бернулли^[5]:

Недавно я нашёл, и совсем неожиданно, изящное выражение для суммы ряда, связанного с квадратурой круга… А именно, шестикратная сумма этого ряда равна квадрату периметра круга, диаметр которого 1.

Даниил рассказал отцу, который выразил сомнение в справедливости эйлеровского разложения синуса в бесконечное произведение (см. ниже). Поэтому в 1748 году Эйлер более строго обосновал результат в своей монографии «Введение в анализ бесконечно малых» (Introductio in analysin infinitorum, том I, глава X)^[6].

Для контроля Эйлер вычислил вручную сумму ряда с 20 знаками (видимо, используя формулу Эйлера — Маклорена, так как ряд обратных квадратов сходится довольно медленно). Далее он сопоставил сумму со значением π26,{\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{6}},} используя уже известное в тот период приближённое значение числа π{\displaystyle \pi }, и убедился, что оба значения, в пределах точности счёта, совпадают^[7]. Впоследствии (1743) Эйлер опубликовал ещё два разных способа суммирования ряда обратных квадратов^[8], один из них описан ниже как 4-й способ из книги Г. М. Фихтенгольца.

Доказательство сходимости ряда

Достаточно доказать, что сходится ряд:

1+11⋅2+12⋅3+13⋅4+14⋅5⋯ ,{\displaystyle 1+{\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{2\cdot 3}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}+{\frac {1}{4\cdot 5}}\cdots \ ,}

потому что каждое слагаемое в нём (кроме первого) больше, чем в ряде обратных квадратов. Представим новый ряд в виде:

1+(1−12)+(12−13)+(13−14)+⋯ {\displaystyle 1+\left(1-{\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}\right)+\left({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}\right)+\cdots \ }

Очевидно, частичная сумма Sn{\displaystyle S_{n}} этого ряда равна 2−1n,{\displaystyle 2-{1 \over n},} поэтому ряд сходится, и его сумма равна 2. Следовательно, и ряд обратных квадратов сходится к некоторому числу в интервале (1, 2).

Метод Эйлера для нахождения суммы ряда

К концу XVII века, благодаря работам Ньютона и других математиков, было известно разложение в ряд функции синуса:

sin⁡(x)=x−x33!+x55!−x77!+⋯{\displaystyle \sin(x)=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots }

Эйлер сумел получить другое разложение синуса — не в сумму, а в бесконечное произведение:

sin⁡(x)=x(1−x2π2)(1−x24π2)(1−x29π2)(1−x216π2)⋯{\displaystyle \sin(x)=x\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{4\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{9\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{16\pi ^{2}}}\right)\cdots }

Приравняв оба выражения и сократив на x,{\displaystyle x,} получим:

(1−x2π2)(1−x24π2)(1−x29π2)(1−x216π2)⋯=1−x23!+x45!−x67!+⋯{\displaystyle \left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{4\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{9\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{16\pi ^{2}}}\right)\cdots =1-{\frac {x^{2}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{5!}}-{\frac {x^{6}}{7!}}+\cdots }

(1)

Поскольку это тождество выполняется при всех x,{\displaystyle x,} коэффициенты при x2{\displaystyle x^{2}} в обеих его частях должны быть равны:

−1π2−14π2−19π2−116π2−⋯=−16{\displaystyle -{\frac {1}{\pi ^{2}}}-{\frac {1}{4\pi ^{2}}}-{\frac {1}{9\pi ^{2}}}-{\frac {1}{16\pi ^{2}}}-\cdots =-{\frac {1}{6}}}

Умножив обе части равенства на (−π2),{\displaystyle (-\pi ^{2}),} окончательно получаем^[9]:

112+122+132+142+152+⋯=π26{\displaystyle {\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}+\dots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}}

Альтернативные способы нахождения суммы

Ряд Фурье

Аппарат разложения в ряд Фурье в применении к функции f(x)=x2{\displaystyle f(x)=x^{2}} позволяет особенно легко и быстро получить сумму ряда обратных квадратов. Для чётной функции это разложение имеет следующий общий вид:

f(x)=a0+∑n=1∞ancos⁡nx{\displaystyle f(x)=a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\cos nx}

Вычислим коэффициенты an{\displaystyle a_{n}} по стандартным формулам:

a0=12π∫−ππx2dx=π23;an=1π∫−ππx2cos⁡(nx)dx=(−1)n4n2{\displaystyle a_{0}={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }x^{2}dx={\pi ^{2} \over 3};\quad a_{n}={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }x^{2}\cos(nx)dx=(-1)^{n}{\frac {4}{n^{2}}}}

В итоге разложение приобретает вид:

x2=π23+∑n=1∞(−1)n4cos⁡(nx)n2{\displaystyle x^{2}={\pi ^{2} \over 3}+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {4\cos(nx)}{n^{2}}}}

Подставив в эту формулу x=π,{\displaystyle x=\pi ,} получаем

π2=π23+∑n=1∞(−1)n4(−1)nn2,{\displaystyle \pi ^{2}={\pi ^{2} \over 3}+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {4(-1)^{n}}{n^{2}}},} или:

23π2=4∑n=1∞1n2{\displaystyle {2 \over 3}\pi ^{2}=4\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}}

Разделив на 4, получим окончательный результат.

Если вместо x=π{\displaystyle x=\pi } подставить x=0,{\displaystyle x=0,} получится ещё одна сумма:

112−122+132−142+152+⋯=π212{\displaystyle {\frac {1}{1^{2}}}-{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}-{\frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}+\dots ={\pi ^{2} \over 12}}

Другой путь к решению задачи — использовать равенство Парсеваля для функции f(x)=x{\displaystyle f(x)=x}.

Методы из курса анализа Г. М. Фихтенгольца

Во втором томе трёхтомного «Курсе дифференциального и интегрального исчисления» Г. М. Фихтенгольца приводятся несколько способов суммирования ряда обратных квадратов^[10].

Первый способ (стр. 461) основан на разложении арксинуса:

2(arcsin⁡y)2=∑m=1∞[(m−1)!]2(2m)!(2y)2m{\displaystyle 2(\arcsin y)^{2}=\sum _{m=1}^{\infty }{{\frac {[(m-1)!]^{2}}{(2m)!}}(2y)^{2m}}}

При y=12{\displaystyle y={1 \over 2}} получаем

∑m=1∞[(m−1)!]2(2m)!=π218{\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }{\frac {[(m-1)!]^{2}}{(2m)!}}={\frac {\pi ^{2}}{18}}}

Но ранее в томе 2 (стр. 340) было показано, что левая часть последнего уравнения равна трети суммы ряда обратных квадратов, откуда получаем сумму ряда.

Второй способ (стр. 490) по существу совпадает с приведенным выше методом Эйлера.

Третий способ замечателен тем, что сразу даёт суммы всех рядов обратных чётных степеней:

S2n=∑m=1∞1m2n{\displaystyle S_{2n}=\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{m^{2n}}}}

Он основан на двух формулах разложения гиперболического котангенса. Первая (стр. 484) справедлива при |x|<1{\displaystyle |x|<1}:

πx⋅cth⁡(πx)=1+2∑n=1∞(−1)n−1S2nx2n{\displaystyle \pi x\cdot \operatorname {cth} (\pi x)=1+2\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}S_{2n}x^{2n}}

Вторая (стр. 495) связывает гиперболический котангенс с числами Бернулли Bn{\displaystyle B_{n}}:

πx⋅cth⁡(πx)=1+∑n=1∞(−1)n−1(2π)2nBn(2n)!x2n{\displaystyle \pi x\cdot \operatorname {cth} (\pi x)=1+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}{\frac {(2\pi )^{2n}B_{n}}{(2n)!}}x^{2n}}

Приравнивая одинаковые степени в обеих формулах, получаем формулу связи сумм рядов с числами Бернулли:

Bn=2(2n)!(2π)2nS2n{\displaystyle B_{n}={\frac {2(2n)!}{(2\pi )^{2n}}}S_{2n}}

Для n=1{\displaystyle n=1}, с учётом B1=16,{\displaystyle B_{1}={1 \over 6},} получаем ожидаемый результат.

Четвёртый способ (стр. 671), найденный ещё Эйлером в 1741 году, основан на интегрировании рядов. Обозначим:

E=∫01arcsin⁡x1−x2 dx=∫01arcsin⁡x darcsin⁡x=π28{\displaystyle E=\int \limits _{0}^{1}{{\frac {\arcsin x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\ dx}=\int \limits _{0}^{1}{\arcsin x\ d\arcsin x}={\frac {\pi ^{2}}{8}}}

Воспользуемся разложением арксинуса в ряд для промежутка [0, 1]:

arcsin⁡x=x+∑n=1∞(2n−1)!!(2n)!!⋅x2n+12n+1{\displaystyle \arcsin x=x+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}\cdot {\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}}

Этот ряд сходится равномерно, и можно интегрировать его почленно:

E=∫01×1−x2 dx+∑n=1∞(2n−1)!!(2n)!!(2n+1)∫01x2n+11−x2 dx{\displaystyle E=\int \limits _{0}^{1}{\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\ dx+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!(2n+1)}}\int \limits _{0}^{1}{\frac {x^{2n+1}}{\sqrt {1-x^{2}}}}\ dx}

Первый интеграл равен 1, а второй после подстановки x=sin⁡t{\displaystyle x=\sin t} оказывается равен (2n)!!(2n+1)!!,{\displaystyle {\frac {(2n)!!}{(2n+1)!!}},} поэтому получаем:

E=1+∑n=1∞1(2n+1)2=∑n=1∞1(2n−1)2{\displaystyle E=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)^{2}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(2n-1)^{2}}}}

Эта сумма содержит обратные квадраты нечётных чисел. Нужная нам сумма S{\displaystyle S} ряда всех обратных квадратов состоит из двух частей, первая из которых равна E,{\displaystyle E,} а вторая содержит обратные квадраты чётных чисел:

S=112+122+132+142+⋯=E+122+142+162+⋯=π28+14S{\displaystyle S={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\dots =E+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{6^{2}}}+\dots ={\frac {\pi ^{2}}{8}}+{1 \over 4}S}

То есть 34S=π28,{\displaystyle {3 \over 4}S={\frac {\pi ^{2}}{8}},} откуда: S=π26.{\displaystyle S={\frac {\pi ^{2}}{6}}.}

Другие подходы

Огюстен Луи Коши в 1821 году предложил оригинальный и строгий, хотя довольно сложный, метод суммирования ряда^[11]. См. подробное изложение в статье И. В. Терещенко^[12].

В статье К. П. Кохася^[9] приводятся несколько различных способов суммирования ряда: через интегралы, комплексные вычеты, гамма-функцию, разложение арксинуса или котангенса, возведение в квадрат ряда Лейбница. Ещё одна коллекция методов суммирования изложена в статье Чепмена^[13].

Вариации и обобщения

Исходя из формулы (1), Эйлер рассчитал суммы не только для ряда обратных квадратов, но и для рядов из других чётных степеней, вплоть до 26-й, например^[1]:

114+124+134+144+154+⋯=π490{\displaystyle {\frac {1}{1^{4}}}+{\frac {1}{2^{4}}}+{\frac {1}{3^{4}}}+{\frac {1}{4^{4}}}+{\frac {1}{5^{4}}}+\dots ={\frac {\pi ^{4}}{90}}}

116+126+136+146+156+⋯=π6945{\displaystyle {\frac {1}{1^{6}}}+{\frac {1}{2^{6}}}+{\frac {1}{3^{6}}}+{\frac {1}{4^{6}}}+{\frac {1}{5^{6}}}+\dots ={\frac {\pi ^{6}}{945}}}

и т. д. Эйлер также выяснил, что суммы таких рядов связаны с числами Бернулли следующим образом^[6]:

S2k=(−1)k−1(2π)2k2(2k)!B2k,{\displaystyle S_{2k}=(-1)^{k-1}{\frac {(2\pi )^{2k}}{2(2k)!}}B_{2k},}

где B2k{\displaystyle B_{2k}} — числа Бернулли.

Эйлер просуммировал и модификацию ряда обратных квадратов, содержащую (в знаменателях) квадраты или иные чётные степени нечётных чисел^[14]; суммы рядов оказались также связаны с числом π.{\displaystyle \pi .}

Для рядов из нечётных степеней теоретическое выражение их сумм до сих пор не известно. Доказано лишь, что сумма ряда обратных кубов (постоянная Апери) — иррациональное число^[1].

Если рассматривать показатель степени в общем ряде обратных степеней как переменную (не обязательно целочисленную), то получится дзета-функция Римана, играющая огромную роль в анализе и теории чисел:

ζ(s)=∑n=1∞1ns.{\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}.}

Таким образом, сумма ряда обратных квадратов есть ζ(2).{\displaystyle \zeta (2).} Первые исследования свойств дзета-функции выполнил Эйлер. В 1859 году появилась глубокая работа Бернхарда Римана, которая расширила определение дзета-функции на комплексную область. На основе тождества Эйлера Риман детально рассмотрел связь дзета-функции с распределением простых чисел.

В 1768 году Эйлер предложил ещё одно обобщение ряда обратных квадратов — дилогарифм Эйлера^[15]:

Li2⁡(x)=−∫0xln⁡(1−t)tdt=x112+x222+x332+…{\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(x)=-\int _{0}^{x}{\frac {\ln(1-t)}{t}}\,\mathrm {d} t={\frac {x^{1}}{1^{2}}}+{\frac {x^{2}}{2^{2}}}+{\frac {x^{3}}{3^{2}}}+\dots }

Литература

• Дуран, Антонио. Поэзия чисел. Прекрасное и математика. — М.: Де Агостини, 2014. — 160 с. — (Мир математики: в 45 томах, том 27). — ISBN 978-5-9774-0722-9.
• Математика XVIII столетия // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1972. — Т. III.
• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — изд. 6-е. — М.: Наука, 1966. — Т. II. — С. 461—462, 490, 496, 671. — 800 с. — ISBN 5-9221-0155-2.

Ссылки

Примечания

1. ↑ ^{1 2 3 4} Дербишир, Джон. Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике. — Астрель, 2010. — С. 90—92, 103—109. — 464 с. — ISBN 978-5-271-25422-2.
2. ↑ Leonhard Euler biography. Проверено 16 апреля 2016.
3. ↑ Пойа, Д. Математика и правдоподобные рассуждения. — Изд. 2-е, исправленное. — М.: Наука, 1975. — С. 40.
4. ↑ E41 — De summis serierum reciprocarum. Проверено 17 апреля 2016.
5. ↑ Наварро, Хоакин. До предела чисел. Проверено 10 августа 2016.
6. ↑ ^{1 2} История математики, том III, 1972, с. 337.
7. ↑ Антонио Дуран, 2014, с. 109.
8. ↑ Вилейтнер Г. История математики от Декарта до середины XIX столетия. — М.: ГИФМЛ, 1960. — С. 143—144. — 468 с.
9. ↑ ^{1 2} Кохась К. П., 2004.
10. ↑ Фихтенгольц Г. М., 1966.
11. ↑ Cauchy A. L. Cours d’analyse de l’École royale polytechnique I.re partie: Analyse algébrique. — Paris: Impr. royale Debure frères, 1821. — 576 p.
12. ↑ Терещенко И. В. Базельская задача i. Метод Коши и его обобщение для вычисления сумм чисел обратных четвёртой степени // Научные труды КубГТУ. — 2014. — № №2.
13. ↑ Robin Chapman.
14. ↑ Жуков А. В. Вездесущее число «пи». — 2-е изд. — М.: Издательство ЛКИ, 2007. — С. 145. — 216 с. — ISBN 978-5-382-00174-6.
15. ↑ Leonhard Euler, Institutiones calculi integrals

wikipedia.green

Ряд обратных квадратов — Википедия. Что такое Ряд обратных квадратов

Ряд обратных квадратов — бесконечный ряд:

112+122+132+142+152+…{\displaystyle {\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}+\dots }

Задача нахождения суммы этого ряда долгое время оставалась нерешённой. Поскольку внимание европейских математиков на данную проблему обратил базельский профессор математики Якоб Бернулли (1689 год), в истории она нередко называется «базельской задачей» (или «базельской проблемой»). Первым сумму ряда сумел найти в 1735 году 28-летний Леонард Эйлер, она оказалась равна

16π2≈1,6449340668{\displaystyle {\frac {1}{6}}\pi ^{2}\approx 1{,}6449340668} (см. A013661).

Решение данной проблемы не только принесло молодому Эйлеру мировую славу, но и оказало значительное влияние на дальнейшее развитие анализа, теории чисел, а впоследствии — комплексного анализа. В очередной раз (после открытия ряда Лейбница) число π{\displaystyle \pi } вышло за пределы геометрии и подтвердило свою универсальность. Наконец, ряд обратных квадратов оказался первым шагом к введению знаменитой дзета-функции Римана^[1].

История

Впервые рассуждения о ряде обратных квадратов историки обнаружили в работах итальянского математика Пьетро Менголи (1644), но тогда задача не вызвала общего интереса. Позднее найти сумму ряда безуспешно пытались многие выдающиеся математики, в том числе Лейбниц, Стирлинг, де Муавр, братья Якоб и Иоганн Бернулли. Они вычислили несколько значащих цифр суммы ряда, Якоб Бернулли строго доказал, что ряд сходится к некоторому конечному значению, однако никто не смог определить, с чем это значение могло бы быть связано^[2].

Леонард Эйлер

Якоб Бернулли призвал в своей книге «Арифметические предложения о бесконечных рядах» (1689): «Если кому-либо удастся найти то, что до сих пор не поддавалось нашим усилиям, и если он сообщит это нам, то мы будем очень ему обязаны»^[1][3]. Но при жизни Якоба Бернулли решение так и не появилось.

Первым успеха добился Эйлер, спустя почти полвека после обращения Бернулли. Скорее всего, о данной проблеме Эйлеру рассказал Иоганн Бернулли, брат Якоба. Эйлер сообщил об открытии в заметке «О суммах обратных рядов» (De summis serierum reciprocarum, Commentarii, 1735 год)^[4] для журнала Петербургской академии наук. Найденное им значение суммы Эйлер также сообщил письмом своему другу Даниилу Бернулли, сыну Иоганна Бернулли^[5]:

Недавно я нашёл, и совсем неожиданно, изящное выражение для суммы ряда, связанного с квадратурой круга… А именно, шестикратная сумма этого ряда равна квадрату периметра круга, диаметр которого 1.

Даниил рассказал отцу, который выразил сомнение в справедливости эйлеровского разложения синуса в бесконечное произведение (см. ниже). Поэтому в 1748 году Эйлер более строго обосновал результат в своей монографии «Введение в анализ бесконечно малых» (Introductio in analysin infinitorum, том I, глава X)^[6].

Для контроля Эйлер вычислил вручную сумму ряда с 20 знаками (видимо, используя формулу Эйлера — Маклорена, так как ряд обратных квадратов сходится довольно медленно). Далее он сопоставил сумму со значением π26,{\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{6}},} используя уже известное в тот период приближённое значение числа π{\displaystyle \pi }, и убедился, что оба значения, в пределах точности счёта, совпадают^[7]. Впоследствии (1743) Эйлер опубликовал ещё два разных способа суммирования ряда обратных квадратов^[8], один из них описан ниже как 4-й способ из книги Г. М. Фихтенгольца.

Доказательство сходимости ряда

Достаточно доказать, что сходится ряд:

1+11⋅2+12⋅3+13⋅4+14⋅5⋯ ,{\displaystyle 1+{\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{2\cdot 3}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}+{\frac {1}{4\cdot 5}}\cdots \ ,}

потому что каждое слагаемое в нём (кроме первого) больше, чем в ряде обратных квадратов. Представим новый ряд в виде:

1+(1−12)+(12−13)+(13−14)+⋯ {\displaystyle 1+\left(1-{\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}\right)+\left({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}\right)+\cdots \ }

Очевидно, частичная сумма Sn{\displaystyle S_{n}} этого ряда равна 2−1n,{\displaystyle 2-{1 \over n},} поэтому ряд сходится, и его сумма равна 2. Следовательно, и ряд обратных квадратов сходится к некоторому числу в интервале (1, 2).

Метод Эйлера для нахождения суммы ряда

К концу XVII века, благодаря работам Ньютона и других математиков, было известно разложение в ряд функции синуса:

sin⁡(x)=x−x33!+x55!−x77!+⋯{\displaystyle \sin(x)=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots }

Эйлер сумел получить другое разложение синуса — не в сумму, а в бесконечное произведение:

sin⁡(x)=x(1−x2π2)(1−x24π2)(1−x29π2)(1−x216π2)⋯{\displaystyle \sin(x)=x\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{4\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{9\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{16\pi ^{2}}}\right)\cdots }

Приравняв оба выражения и сократив на x,{\displaystyle x,} получим:

(1−x2π2)(1−x24π2)(1−x29π2)(1−x216π2)⋯=1−x23!+x45!−x67!+⋯{\displaystyle \left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{4\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{9\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{16\pi ^{2}}}\right)\cdots =1-{\frac {x^{2}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{5!}}-{\frac {x^{6}}{7!}}+\cdots }

(1)

Поскольку это тождество выполняется при всех x,{\displaystyle x,} коэффициенты при x2{\displaystyle x^{2}} в обеих его частях должны быть равны:

−1π2−14π2−19π2−116π2−⋯=−16{\displaystyle -{\frac {1}{\pi ^{2}}}-{\frac {1}{4\pi ^{2}}}-{\frac {1}{9\pi ^{2}}}-{\frac {1}{16\pi ^{2}}}-\cdots =-{\frac {1}{6}}}

Умножив обе части равенства на (−π2),{\displaystyle (-\pi ^{2}),} окончательно получаем^[9]:

112+122+132+142+152+⋯=π26{\displaystyle {\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}+\dots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}}

Альтернативные способы нахождения суммы

Ряд Фурье

Аппарат разложения в ряд Фурье в применении к функции f(x)=x2{\displaystyle f(x)=x^{2}} позволяет особенно легко и быстро получить сумму ряда обратных квадратов. Для чётной функции это разложение имеет следующий общий вид:

f(x)=a0+∑n=1∞ancos⁡nx{\displaystyle f(x)=a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\cos nx}

Вычислим коэффициенты an{\displaystyle a_{n}} по стандартным формулам:

a0=12π∫−ππx2dx=π23;an=1π∫−ππx2cos⁡(nx)dx=(−1)n4n2{\displaystyle a_{0}={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }x^{2}dx={\pi ^{2} \over 3};\quad a_{n}={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }x^{2}\cos(nx)dx=(-1)^{n}{\frac {4}{n^{2}}}}

В итоге разложение приобретает вид:

x2=π23+∑n=1∞(−1)n4cos⁡(nx)n2{\displaystyle x^{2}={\pi ^{2} \over 3}+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {4\cos(nx)}{n^{2}}}}

Подставив в эту формулу x=π,{\displaystyle x=\pi ,} получаем

π2=π23+∑n=1∞(−1)n4(−1)nn2,{\displaystyle \pi ^{2}={\pi ^{2} \over 3}+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {4(-1)^{n}}{n^{2}}},} или:

23π2=4∑n=1∞1n2{\displaystyle {2 \over 3}\pi ^{2}=4\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}}

Разделив на 4, получим окончательный результат.

Если вместо x=π{\displaystyle x=\pi } подставить x=0,{\displaystyle x=0,} получится ещё одна сумма:

112−122+132−142+152+⋯=π212{\displaystyle {\frac {1}{1^{2}}}-{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}-{\frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}+\dots ={\pi ^{2} \over 12}}

Другой путь к решению задачи — использовать равенство Парсеваля для функции f(x)=x{\displaystyle f(x)=x}.

Методы из курса анализа Г. М. Фихтенгольца

Во втором томе трёхтомного «Курсе дифференциального и интегрального исчисления» Г. М. Фихтенгольца приводятся несколько способов суммирования ряда обратных квадратов^[10].

Первый способ (стр. 461) основан на разложении арксинуса:

2(arcsin⁡y)2=∑m=1∞[(m−1)!]2(2m)!(2y)2m{\displaystyle 2(\arcsin y)^{2}=\sum _{m=1}^{\infty }{{\frac {[(m-1)!]^{2}}{(2m)!}}(2y)^{2m}}}

При y=12{\displaystyle y={1 \over 2}} получаем

∑m=1∞[(m−1)!]2(2m)!=π218{\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }{\frac {[(m-1)!]^{2}}{(2m)!}}={\frac {\pi ^{2}}{18}}}

Но ранее в томе 2 (стр. 340) было показано, что левая часть последнего уравнения равна трети суммы ряда обратных квадратов, откуда получаем сумму ряда.

Второй способ (стр. 490) по существу совпадает с приведенным выше методом Эйлера.

Третий способ замечателен тем, что сразу даёт суммы всех рядов обратных чётных степеней:

S2n=∑m=1∞1m2n{\displaystyle S_{2n}=\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{m^{2n}}}}

Он основан на двух формулах разложения гиперболического котангенса. Первая (стр. 484) справедлива при |x|<1{\displaystyle |x|<1}:

πx⋅cth⁡(πx)=1+2∑n=1∞(−1)n−1S2nx2n{\displaystyle \pi x\cdot \operatorname {cth} (\pi x)=1+2\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}S_{2n}x^{2n}}

Вторая (стр. 495) связывает гиперболический котангенс с числами Бернулли Bn{\displaystyle B_{n}}:

πx⋅cth⁡(πx)=1+∑n=1∞(−1)n−1(2π)2nBn(2n)!x2n{\displaystyle \pi x\cdot \operatorname {cth} (\pi x)=1+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}{\frac {(2\pi )^{2n}B_{n}}{(2n)!}}x^{2n}}

Приравнивая одинаковые степени в обеих формулах, получаем формулу связи сумм рядов с числами Бернулли:

Bn=2(2n)!(2π)2nS2n{\displaystyle B_{n}={\frac {2(2n)!}{(2\pi )^{2n}}}S_{2n}}

Для n=1{\displaystyle n=1}, с учётом B1=16,{\displaystyle B_{1}={1 \over 6},} получаем ожидаемый результат.

Четвёртый способ (стр. 671), найденный ещё Эйлером в 1741 году, основан на интегрировании рядов. Обозначим:

E=∫01arcsin⁡x1−x2 dx=∫01arcsin⁡x darcsin⁡x=π28{\displaystyle E=\int \limits _{0}^{1}{{\frac {\arcsin x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\ dx}=\int \limits _{0}^{1}{\arcsin x\ d\arcsin x}={\frac {\pi ^{2}}{8}}}

Воспользуемся разложением арксинуса в ряд для промежутка [0, 1]:

arcsin⁡x=x+∑n=1∞(2n−1)!!(2n)!!⋅x2n+12n+1{\displaystyle \arcsin x=x+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}\cdot {\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}}

Этот ряд сходится равномерно, и можно интегрировать его почленно:

E=∫01×1−x2 dx+∑n=1∞(2n−1)!!(2n)!!(2n+1)∫01x2n+11−x2 dx{\displaystyle E=\int \limits _{0}^{1}{\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\ dx+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!(2n+1)}}\int \limits _{0}^{1}{\frac {x^{2n+1}}{\sqrt {1-x^{2}}}}\ dx}

Первый интеграл равен 1, а второй после подстановки x=sin⁡t{\displaystyle x=\sin t} оказывается равен (2n)!!(2n+1)!!,{\displaystyle {\frac {(2n)!!}{(2n+1)!!}},} поэтому получаем:

E=1+∑n=1∞1(2n+1)2=∑n=1∞1(2n−1)2{\displaystyle E=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)^{2}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(2n-1)^{2}}}}

Эта сумма содержит обратные квадраты нечётных чисел. Нужная нам сумма S{\displaystyle S} ряда всех обратных квадратов состоит из двух частей, первая из которых равна E,{\displaystyle E,} а вторая содержит обратные квадраты чётных чисел:

S=112+122+132+142+⋯=E+122+142+162+⋯=π28+14S{\displaystyle S={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\dots =E+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{6^{2}}}+\dots ={\frac {\pi ^{2}}{8}}+{1 \over 4}S}

То есть 34S=π28,{\displaystyle {3 \over 4}S={\frac {\pi ^{2}}{8}},} откуда: S=π26.{\displaystyle S={\frac {\pi ^{2}}{6}}.}

Другие подходы

Огюстен Луи Коши в 1821 году предложил оригинальный и строгий, хотя довольно сложный, метод суммирования ряда^[11]. См. подробное изложение в статье И. В. Терещенко^[12].

В статье К. П. Кохася^[9] приводятся несколько различных способов суммирования ряда: через интегралы, комплексные вычеты, гамма-функцию, разложение арксинуса или котангенса, возведение в квадрат ряда Лейбница. Ещё одна коллекция методов суммирования изложена в статье Чепмена^[13].

Вариации и обобщения

Исходя из формулы (1), Эйлер рассчитал суммы не только для ряда обратных квадратов, но и для рядов из других чётных степеней, вплоть до 26-й, например^[1]:

114+124+134+144+154+⋯=π490{\displaystyle {\frac {1}{1^{4}}}+{\frac {1}{2^{4}}}+{\frac {1}{3^{4}}}+{\frac {1}{4^{4}}}+{\frac {1}{5^{4}}}+\dots ={\frac {\pi ^{4}}{90}}}

116+126+136+146+156+⋯=π6945{\displaystyle {\frac {1}{1^{6}}}+{\frac {1}{2^{6}}}+{\frac {1}{3^{6}}}+{\frac {1}{4^{6}}}+{\frac {1}{5^{6}}}+\dots ={\frac {\pi ^{6}}{945}}}

и т. д. Эйлер также выяснил, что суммы таких рядов связаны с числами Бернулли следующим образом^[6]:

S2k=(−1)k−1(2π)2k2(2k)!B2k,{\displaystyle S_{2k}=(-1)^{k-1}{\frac {(2\pi )^{2k}}{2(2k)!}}B_{2k},}

где B2k{\displaystyle B_{2k}} — числа Бернулли.

Эйлер просуммировал и модификацию ряда обратных квадратов, содержащую (в знаменателях) квадраты или иные чётные степени нечётных чисел^[14]; суммы рядов оказались также связаны с числом π.{\displaystyle \pi .}

Для рядов из нечётных степеней теоретическое выражение их сумм до сих пор не известно. Доказано лишь, что сумма ряда обратных кубов (постоянная Апери) — иррациональное число^[1].

Если рассматривать показатель степени в общем ряде обратных степеней как переменную (не обязательно целочисленную), то получится дзета-функция Римана, играющая огромную роль в анализе и теории чисел:

ζ(s)=∑n=1∞1ns.{\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}.}

Таким образом, сумма ряда обратных квадратов есть ζ(2).{\displaystyle \zeta (2).} Первые исследования свойств дзета-функции выполнил Эйлер. В 1859 году появилась глубокая работа Бернхарда Римана, которая расширила определение дзета-функции на комплексную область. На основе тождества Эйлера Риман детально рассмотрел связь дзета-функции с распределением простых чисел.

В 1768 году Эйлер предложил ещё одно обобщение ряда обратных квадратов — дилогарифм Эйлера^[15]:

Li2⁡(x)=−∫0xln⁡(1−t)tdt=x112+x222+x332+…{\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(x)=-\int _{0}^{x}{\frac {\ln(1-t)}{t}}\,\mathrm {d} t={\frac {x^{1}}{1^{2}}}+{\frac {x^{2}}{2^{2}}}+{\frac {x^{3}}{3^{2}}}+\dots }

Литература

• Дуран, Антонио. Поэзия чисел. Прекрасное и математика. — М.: Де Агостини, 2014. — 160 с. — (Мир математики: в 45 томах, том 27). — ISBN 978-5-9774-0722-9.
• Математика XVIII столетия // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1972. — Т. III.
• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — изд. 6-е. — М.: Наука, 1966. — Т. II. — С. 461—462, 490, 496, 671. — 800 с. — ISBN 5-9221-0155-2.

Ссылки

Примечания

1. ↑ ^{1 2 3 4} Дербишир, Джон. Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике. — Астрель, 2010. — С. 90—92, 103—109. — 464 с. — ISBN 978-5-271-25422-2.
2. ↑ Leonhard Euler biography. Проверено 16 апреля 2016.
3. ↑ Пойа, Д. Математика и правдоподобные рассуждения. — Изд. 2-е, исправленное. — М.: Наука, 1975. — С. 40.
4. ↑ E41 — De summis serierum reciprocarum. Проверено 17 апреля 2016.
5. ↑ Наварро, Хоакин. До предела чисел. Проверено 10 августа 2016.
6. ↑ ^{1 2} История математики, том III, 1972, с. 337.
7. ↑ Антонио Дуран, 2014, с. 109.
8. ↑ Вилейтнер Г. История математики от Декарта до середины XIX столетия. — М.: ГИФМЛ, 1960. — С. 143—144. — 468 с.
9. ↑ ^{1 2} Кохась К. П., 2004.
10. ↑ Фихтенгольц Г. М., 1966.
11. ↑ Cauchy A. L. Cours d’analyse de l’École royale polytechnique I.re partie: Analyse algébrique. — Paris: Impr. royale Debure frères, 1821. — 576 p.
12. ↑ Терещенко И. В. Базельская задача i. Метод Коши и его обобщение для вычисления сумм чисел обратных четвёртой степени // Научные труды КубГТУ. — 2014. — № №2.
13. ↑ Robin Chapman.
14. ↑ Жуков А. В. Вездесущее число «пи». — 2-е изд. — М.: Издательство ЛКИ, 2007. — С. 145. — 216 с. — ISBN 978-5-382-00174-6.
15. ↑ Leonhard Euler, Institutiones calculi integrals

wiki.sc

Ряд обратных квадратов Википедия

Ряд обратных квадратов — бесконечный ряд:

112+122+132+142+152+…{\displaystyle {\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}+\dots }

Задача нахождения суммы этого ряда долгое время оставалась нерешённой. Поскольку внимание европейских математиков на данную проблему обратил базельский профессор математики Якоб Бернулли (1689 год), в истории она нередко называется «базельской задачей» (или «базельской проблемой»). Первым сумму ряда сумел найти в 1735 году 28-летний Леонард Эйлер, она оказалась равна

16π2≈1,6449340668{\displaystyle {\frac {1}{6}}\pi ^{2}\approx 1{,}6449340668} (см. последовательность A013661 в OEIS).

Решение данной проблемы не только принесло молодому Эйлеру мировую славу, но и оказало значительное влияние на дальнейшее развитие анализа, теории чисел, а впоследствии — комплексного анализа. В очередной раз (после открытия ряда Лейбница) число π{\displaystyle \pi } вышло за пределы геометрии и подтвердило свою универсальность. Наконец, ряд обратных квадратов оказался первым шагом к введению знаменитой дзета-функции Римана^[1].

Впервые рассуждения о ряде обратных квадратов историки обнаружили в работах итальянского математика Пьетро Менголи (1644), но тогда задача не вызвала общего интереса. Позднее найти сумму ряда безуспешно пытались многие выдающиеся математики, в том числе Лейбниц, Стирлинг, де Муавр, братья Якоб и Иоганн Бернулли. Они вычислили несколько значащих цифр суммы ряда, Якоб Бернулли строго доказал, что ряд сходится к некоторому конечному значению, однако никто не смог определить, с чем это значение могло бы быть связано^[2].

Леонард Эйлер

Якоб Бернулли призвал в своей книге «Арифметические предложения о бесконечных рядах» (1689): «Если кому-либо удастся найти то, что до сих пор не поддавалось нашим усилиям, и если он сообщит это нам, то мы будем очень ему обязаны»^[1][3]. Но при жизни Якоба Бернулли решение так и не появилось.

Первым успеха добился Эйлер, спустя почти полвека после обращения Бернулли.

ruwikiorg.ru