Радиан, Углы больше 360 градусов, Положительные и отрицательные углы
Угол: °πrad =
Преобразовать в: радианы0 — 360°положительноеотрицательное
Когда прямые пересекаются, то получается четыре разные области по отношению к точке пересечения.
Эти новые области называют углами.
На картинке видны 4 разных угла, образованных пересечением прямых AB и CD
Обычно углы измеряются в градусах, что обозначается как °.
Когда объект совершает полный круг, то есть движется из точки D через B, C, A, а затем обратно к D, то говорят что он повернулся на 360 градусов (360°).
Таким образом, градус — это $\frac{1}{360}$ круга.
Мы говорили о том, что когда объект делает полный круг вокруг точки, то он проходит 360°, однако, когда объект делает более одного круга, то он делает угол более 360 градусов. Это обычное явление в повседневной жизни. Колесо проходит многие круги, когда автомобиль движется, то есть оно образует угол больше 360°.
Объект описал $2\frac{7}{9}$ кругов
Когда объект вращается по часовой стрелки, то он образует отрицательный угол вращения, а когда вращается против часовой стрелке — положительный угол. До этого момента мы рассматривали только положительные углы.
В форме диаграммы отрицательный угол может быть изображен так, как это показано ниже.
Рисунок ниже показывает знак угла, который измеряется от общей прямой, 0 оси (оси абсцисс — х оси)
Это означает, что при наличии отрицательного угла, мы можем получить соответствующий ему положительный угол.
Например, нижняя часть вертикальной прямой это 270°. Когда измеряется в негативную сторону, то получим -90°. Мы просто вычитаем 270 из 360.
Имея отрицательный угол, мы прибавляем 360, для того чтобы получить соотвествующий положительный угол.
Когда угол равен -360°, это означает, что объект совершил более одного круга по часовой стрелке.
Пример 3
1.
Найти соответствующий положительный угол
a) -35°
b) -60°
c) -180°
d) — 670°
2. Найти соответствующий отрицательный угол 80°, 167°, 330°и 1300°.
Решение
1. Для того, чтобы найти соответствующий положительный угол мы прибавляем 360 к значению угла.
a) -35°= 360 + (-35) = 360 — 35 = 325°
b) -60°= 360 + (-60) = 360 — 60 = 300°
c) -180°= 360 + (-180) = 360 — 180 = 180°
d) -670°= 360 + (-670) = -310
Это означает один круг по часовой стрелке (360)
360 + (-310) = 50°
Угол равен 360 + 50 = 410°
2. Для того, чтобы получить соответсвующий отрицательный угол мы вычитаем 360 от значения угла.
80° = 80 — 360 = — 280°
167° = 167 — 360 = -193°
330° = 330 — 360 = -30°
1300° = 1300 — 360 = 940 (пройден один круг)
940 — 360 = 580 (пройден второй круг)
580 — 360 = 220 (пройден третий круг)
Угол равен -360 — 360 — 360 — 140 = -1220°
Таким образом 1300° = -1220°
Радиан — это угол из центра круга, в который заключена дуга, длина которой равна радиусу данного круга.
{\circ}$
c) 1 рад = 57,3°
$2,4 = \frac{2,4 \times 57,3}{1} = 137,52$
Отрицаетльные углы и углы больше, чем $2\pi$ радиан
Для того чтобы преобразовать отрицательный угол в положительный, мы складываем его с $2\pi$.
Для того чтобы преобразовать положительный угол в отрицательный, мы вычитаем из него $2\pi$.
Пример 5
1. Преобразовать $-\frac{3}{4}\pi$ и $-\frac{5}{7}\pi$ в позитивные углы в радианах.
Решение
Прибавляем к углу $2\pi$
$-\frac{3}{4}\pi = -\frac{3}{4}\pi + 2\pi = \frac{5}{4}\pi = 1\frac{1}{4}\pi$
Когда объект вращается на угол больший, чем $2\pi$;, то он делает больше одного круга.
Для того, чтобы определить количество оборотов (кругов или циклов) в таком угле, мы находим такое число, умножая которое на $2\pi$, результат равен или меньше, но как можно ближе к данному числу.
Пример 6
1.
Найти количество кругов пройденных объектом при данных углах
a) $-10\pi$
b) $9\pi$
c) $\frac{7}{2}\pi$
Решение
a) $-10\pi = 5(-2\pi)$;
$-2\pi$ подразумевает один цикл в направлении по часовой стрелке, то это означает, что
объект сделал 5 циклов по часовой стрелке.
b) $9\pi = 4(2\pi) + \pi$, $\pi =$ пол цикла
объект сделал четыре с половиной цикла против часовой стрелки
c) $\frac{7}{2}\pi=3,5\pi=2\pi+1,5\pi$, $1,5\pi$ равно три четверти цикла $(\frac{1,5\pi}{2\pi}=\frac{3}{4})$
Угол обзора 360 градусов
- служба
- Пермский край
Они работают в городе и на трассе. Любой уголок региона может оказаться на маршруте у инспекторов отдельного специализированного взвода ДПС ГИБДД ГУ МВД России по Пермскому краю. У этих трёх десятков бойцов основательная подготовка: школа медицины катастроф, курсы экстремального вождения, изучение законотворческих нововведений, отработка силовых и стрелковых навыков.
Как проходит их обычный рабочий день дорожных полицейских, узнаем изнутри служебного автомобиля.
Пантомима
…В 12-часовую дневную смену мы заступаем с экипажем в составе старшего лейтенанта полиции Виталия Коновалова и лейтенанта полиции Фёдора Князева. Ребята вооружаются, снаряжают «Шкоду» приборами для измерения светопропускаемости, «дозорами», медицинской укладкой, бронежилетами, касками, наручниками, дезинфекторами, получают административные материалы, заправляют бензобак. В 8.00 выезжаем.
Сегодня путь лежит к трассе Пермь — Березники. Наиболее аварийно опасный участок с разбегом в 38 км. Главная задача на смене — не допустить ДТП на маршруте и пресечь грубые нарушения Правил дорожного движения.
— Разные случаи бывали! — рассказывает Виталий.
— Один раз с напарником остановили машину, подхожу, а там мужчина с макияжем под мима. Сидит, улыбается, говорит, мол, в роль вживается, представление у него скоро.
Пока я документы проверял, он повторял все мои движения, как тень. Первый раз такое видел, очень необычно.
С нетрезвыми водителями ситуация иная. От них почти всегда волна агрессии и непонимания, доходит до рукоприкладства. Долго такие «актёры» руками не машут, у нас разговор короткий: наручники, соответствующий протокол и в дежурную часть. Недавно остановили ГАЗ-3110. В салоне — двое маленьких детей и супруга водителя, а он из машины выходит, на ногах не стоит. Конечно, оформили, но выслушали столько жалостливых историй о том, что он один семью кормит и без водительского удостоверения ему никак. А почему он не думал о родных, когда за руль пьяным садился? Вопрос риторический.
В среднем за выходные на дорогах края выявляют 130 водителей в состоянии опьянения. По данным статистики, с начала года более 27 смертельных автоаварий произошло именно по их вине.
— Как сейчас помню первое ДТП с летальным исходом, на которое довелось выехать, — подхватывает Фёдор.
Опасные покатушки
Мы добрались до обозначенного маршрута. Поток транспорта небольшой. Инспекторы принимаются за работу: останавливать машины, проверять документы, сверять с данными информационных баз ГИБДД, наблюдать за поведением участников движения. Речь, запах, покраснение кожных покровов, неустойчивая походка — основные и явные признаки нетрезвого человека.
Инспекторы выбирают участок, где чаще всего совершают запрещённый обгон. В результате именно этого манёвра происходят самые травмоопасные аварии. Цель дорожно-патрульной службы — сработать на профилактику.
Время на дороге летит быстро, с 12 до 13 часов, согласно постовой ведомости, обед.
— Питаемся как получится. С началом ограничительных мер в придорожных кафе покупаем еду в контейнерах и едим прямо в машине. Неудобно, но это вынужденная мера. Часто берём с собой термос с чаем. Горячий напиток востребован, особенно зимой: и самим согреться, и путешественникам, застрявшим на дороге.
Возвращаемся на маршрут. Только припарковались, рядом с нами остановился автомобиль, вышел мужчина. Представился председателем близлежащего садового товарищества, попросил помочь. А суть проблемы такова, что молодёжь в садах распивает спиртное, затем ребята садятся в машины родителей и начинают кататься.
— Пьяные ночные гулянки добром не кончатся! — подытожил местный житель.
Инспекторы уточнили местоположение садов, записали информацию. Сообщение будет передано в дежурную часть. Вскоре экипаж ГИБДД обязательно навестит садоводов.
Цветок для автоледи
И снова проверка документов, осмотр автомобилей. Чтобы ничего не упустить из виду, головы инспекторов поворачиваются словно на 360°.
— Больше всего после дежурств устают глаза, особенно после ночных, — признаётся Коновалов.
— Виталий, смотри! — Фёдор показывает на иномарку среднего класса, которая почему-то медленно движется в нашем направлении.
Князев остановил автомобиль. Оказалось, за рулём — женщина. В свой день рождения она в Перми купила себе подарок машину и сейчас возвращается в родной город. После проверки документов инспектор сорвал полевой цветок и вручил вместе с водительскими правами и со словами поздравления.
— Фёдор у нас романтик! — улыбается напарник. — Женщины более дисциплинированны за рулём и очень переживают, когда их останавливает полиция.
Руки дрожат, глаза испуганные. Князев старается снять это напряжение: то слов добрых наговорит, то, как сейчас, цветочек подарит. Мелочь, а приятно ведь!
Романтик Фёдор Князев
Звонок. Сообщение из дежурной части о ДТП, информацию нужно проверить. Выезжаем. Мигалки, звук сирены. Обследуем указанный участок. Отбой, докладываем в дежурку: «Всё в порядке». Держим оборону дальше. По пути встречаем группу небезопасно припарковавшихся мотоциклистов. Останавливаемся. Байкеры решили провести фотосессию, вид уж очень красив с горы. Останавливаемся на «маяках», чтобы предупредить других участников движения. Проверяем документы, объясняем молодым людям, что такие стоянки могут закончиться трагически, есть риск возникновения ДТП. Мотобратья поддерживают. Делаем совместное фото на память и вместе отъезжаем.
Яркое впечатление
По дороге Фёдор, улыбаясь, начинает рассказ:
— Когда в центре медицины катастроф проходили углублённые курсы по оказанию доврачебной помощи, одна из лекций была о том, как принимать роды.
В роли беременной — женский манекен, внутри — контейнер с красной жидкостью. И вот специалист показывает, какие процедуры необходимо проделать: надавливает на живот, появляется кукла-малыш, льется «кровь», всё очень реалистично. Тут один «студент» падает в обморок прямо на пол! В результате в тот день мы отработали на нем приёмы первой помощи. Водрузили ноги на валик, поднесли нашатырь под нос. Быстро пришёл в себя. Хохотали все! До сих пор ему эту историю припоминаем.
Снова останавливаемся. Машины неспешно проезжают мимо. На улице солнечно, но прохладно. Порывистый ветер пронизывает насквозь. Однако инспекторов это не беспокоит. Расправив плечи, они пристально всматриваются в транспортный поток. И опять проверки, замечания: от внимательного взгляда полицейских ничего не ускользает.
— Ребята, а День ГАИ для вас праздник?
— Конечно! — отвечают напарники в голос, улыбаясь. — У нас дружный коллектив. Уже сложились традиции.
Поздравляем с днями рождения, рождением детей, присвоением званий, провожаем на пенсию. Стараемся собираться. В день Госавтоинспекции всегда готовим плов, мясо, поём гимн ДПС, травим дорожные байки.
— Для меня 3 июля — это не только профессиональный праздник! В этот день родилась младшая дочь Алиса. Супруга сделала сюрприз! Уже будем шестилетие справлять! — откровенничает Виталий. — Всем дорожным инспекторам желаю здоровья, взаимопонимания в семье и таких подарков, как у меня!
…и счастливчик Виталий Коновалов
— А я бы пожелал коллегам, чтобы, придя домой, каждый сотрудник ДПС чувствовал, что сделал сегодня на работе всё, что от него зависит, на все сто процентов: «убрал» пьяного с дороги, оказал помощь и поддержку раненным в ДТП. Главное — не поддаваться постоянному негативу и не разочаровываться в людях. Идти на выручку в сложных дорожных ситуациях и помнить, что, отдаваясь службе, мы сохраняем кому-то жизнь, — подытожил Фёдор Князев.
Дежурство завершается. Начинаем двигаться в сторону «базы». Сдача оружия, административных материалов, санитарная обработка автомобиля, и домой. Семьи ждут своих незримых героев!
Вернуться в раздел
Измерение углов. Измерение углов Угол равный примерно 57 17 45
Угол: ° π rad =
Преобразовать в: радианы градусы 0 — 360° 0 — 2π положительное отрицательное Вычислять
Когда прямые пересекаются, то получается четыре разные области по отношению к точке пересечения.
Эти новые области называют углами .
На картинке видны 4 разных угла, образованных пересечением прямых AB и CD
Обычно углы измеряются в градусах, что обозначается как °.
Когда объект совершает полный круг, то есть движется из точки D через B, C, A, а затем обратно к D, то говорят что он повернулся на 360 градусов (360°).
Таким образом, градус — это $\frac{1}{360}$ круга.
Углы больше 360 градусов
Мы говорили о том, что когда объект делает полный круг вокруг точки, то он проходит 360°, однако, когда объект делает более одного круга, то он делает угол более 360 градусов.
{\circ} = \frac{260}{360} = \frac{7}{9}$ кругов
Объект описал $2\frac{7}{9}$ кругов
Когда объект вращается по часовой стрелки, то он образует отрицательный угол вращения, а когда вращается против часовой стрелке — положительный угол. До этого момента мы рассматривали только положительные углы.
В форме диаграммы отрицательный угол может быть изображен так, как это показано ниже.
Рисунок ниже показывает знак угла, который измеряется от общей прямой, 0 оси (оси абсцисс — х оси)
Это означает, что при наличии отрицательного угла, мы можем получить соответствующий ему положительный угол.
Например, нижняя часть вертикальной прямой это 270°. Когда измеряется в негативную сторону, то получим -90°. Мы просто вычитаем 270 из 360.
Имея отрицательный угол, мы прибавляем 360, для того чтобы получить соотвествующий положительный угол.
Когда угол равен -360°, это означает, что объект совершил более одного круга по часовой стрелке.
Пример 3
1.
Найти соответствующий положительный угол
a) -35°
b) -60°
c) -180°
d) — 670°
2. Найти соответствующий отрицательный угол 80°, 167°, 330°и 1300°.
Решение
1. Для того, чтобы найти соответствующий положительный угол мы прибавляем 360 к значению угла.
a) -35°= 360 + (-35) = 360 — 35 = 325°
b) -60°= 360 + (-60) = 360 — 60 = 300°
c) -180°= 360 + (-180) = 360 — 180 = 180°
d) -670°= 360 + (-670) = -310
Это означает один круг по часовой стрелке (360)
360 + (-310) = 50°
Угол равен 360 + 50 = 410°
2. Для того, чтобы получить соответсвующий отрицательный угол мы вычитаем 360 от значения угла.
80° = 80 — 360 = — 280°
167° = 167 — 360 = -193°
330° = 330 — 360 = -30°
1300° = 1300 — 360 = 940 (пройден один круг)
940 — 360 = 580 (пройден второй круг)
580 — 360 = 220 (пройден третий круг)
220 — 360 = -140°
Угол равен -360 — 360 — 360 — 140 = -1220°
Таким образом 1300° = -1220°
Радиан
Радиан — это угол из центра круга, в который заключена дуга, длина которой равна радиусу данного круга.
{\circ}$
c) 1 рад = 57,3°
$2,4 = \frac{2,4 \times 57,3}{1} = 137,52$
Отрицаетльные углы и углы больше, чем $2\pi$ радиан
Для того чтобы преобразовать отрицательный угол в положительный, мы складываем его с $2\pi$.
Для того чтобы преобразовать положительный угол в отрицательный, мы вычитаем из него $2\pi$.
Пример 5
1. Преобразовать $-\frac{3}{4}\pi$ и $-\frac{5}{7}\pi$ в позитивные углы в радианах.
Решение
Прибавляем к углу $2\pi$
$-\frac{3}{4}\pi = -\frac{3}{4}\pi + 2\pi = \frac{5}{4}\pi = 1\frac{1}{4}\pi$
$-\frac{5}{7}\pi = -\frac{5}{7}\pi + 2\pi = \frac{9}{7}\pi = 1\frac{2}{7}\pi$
Когда объект вращается на угол больший, чем $2\pi$;, то он делает больше одного круга.
Для того, чтобы определить количество оборотов (кругов или циклов) в таком угле, мы находим такое число, умножая которое на $2\pi$, результат равен или меньше, но как можно ближе к данному числу.
Пример 6
1. Найти количество кругов пройденных объектом при данных углах
a) $-10\pi$
b) $9\pi$
c) $\frac{7}{2}\pi$
Решение
a) $-10\pi = 5(-2\pi)$;
$-2\pi$ подразумевает один цикл в направлении по часовой стрелке, то это означает, что
объект сделал 5 циклов по часовой стрелке.
b) $9\pi = 4(2\pi) + \pi$, $\pi =$ пол цикла
объект сделал четыре с половиной цикла против часовой стрелки
c) $\frac{7}{2}\pi=3,5\pi=2\pi+1,5\pi$, $1,5\pi$ равно три четверти цикла $(\frac{1,5\pi}{2\pi}=\frac{3}{4})$
объект прошел один и три четверти цикла против часовой стрелки
УГЛЫ НА ПЛОСКОСТИ И ИХ ИЗМЕРЕНИЕ. Фигура на плоскости, образованная двумя лучами, исходящими из одной точки O , называется углом. Лучи OA и OB называются сторонами угла, а точка O вершиной. Угол со сторонами OA и OB обозначается Р AOB.
Углы сравнивают, складывают, измеряют. Они равны, если их можно совместить перемещением. Два угла называются смежными (рис. 1), если у них общие вершина и одна сторона, а две другие образуют прямую. Вообще, углы, имеющие общую вершину и одну общую сторону, называются прилежащими (рис. 2). Углы называются вертикальными (рис. 3), если стороны одного являются продолжениями за вершину сторон другого.
Вертикальные углы равны между собой. Угол, у которого стороны образуют прямую, называется развернутым (рис. 4). Угол, равный своему смежному, называется прямым. Угол меньший прямого – острый, больший прямого, но меньший развернутого – тупой.
При пересечении двух прямых, лежащих в одной плоскости, третьей прямой образуются углы (рис. 5). 1 и 5, 2 и 6, 4 и 8, 3 и 7 называются соответственными; 2 и 5, 3 и 8 – внутренними односторонними; 1 и 6, 4 и 7 – внешними односторонними; 3 и 5, 2 и 8 – внутренними накрест лежащими; 1 и 7, 4 и 6 – внешними накрест лежащими.
Если луч OC проходит внутри угла AOB (рис. 6), то, по определению, считают, что угол AOC , как и угол COB , меньше угла AOB и что угол AOB равен сумме углов AOC и COB. Взяв за единицу измерения какой-либо конкретный угол, определяют величину любого угла, т.е. находят, сколько раз укладывается в нем данный единичный угол. При измерении угла исходят из двух его свойств, аналогичных свойствам длины отрезка: 1) величины равных углов равны, 2) величина суммы двух углов равна сумме их величин.
Если рассмотреть углы, вершиной которых является центр окружности, а сторонами – радиусы, то можно отметить, что равные углы высекают на окружности равные дуги, и сумме углов будет соответствовать сумма стягиваемых ими дуг. Поэтому величина угла пропорциональна длине высекаемой им дуги, и единицы измерения можно задавать, указывая, какую часть окружности составляет соответствующая дуга.
Обычно пользуются двумя системами измерения углов: градусной и радианной .
В градусной системе за единицу измерения принимают дугу размером в 1/360 окружности (обозначают °
). Градус делится на 60 минут (обозначают «), минута на 60 секунд (обозначают «»). Шестидесятиричность измерений напоминает о Вавилоне, но был в истории еще один градус. Во времена Великой французской революции (1793) во Франции вместе с десятичной (метрической) системой мер была введена сотенная (центезимальная) система измерения углов. В ней прямой угол делится на 100 градусов («градов»), градус на 100 минут, минута на 100 секунд.
Эта система наиболее часто применяется в геодезических измерениях.
Математики предпочитают пользоваться радианной мерой – за единицу измерения принимается угол, под которым видна из центра окружности ее дуга, равная радиусу. Величина такого угла и есть радиан. Она не зависит от радиуса окружности и от положения дуги на окружности. Т.к. полуокружность видна из центра под углом 180° , а ее длина равна 241 радиусам, то радиан в 241 раз меньше, чем угол 180° , т.е. один радиан равен 180° /241 :
1 радиан » 57,2958° » 57° 17″45″»
И в радианной и в градусной системе угол измеряется единицей угла. То, что наименование в одном случае (для градуса) проставляется, а в другом (для радиана) подразумевается, не играет никакой роли.
Радианная мера, выражающаяся отношением длины дуги, описанной произвольным радиусом из центра и заключенной между сторонами угла, к радиусу этой дуги, не зависит от выбора единицы длины. Так же не зависит и градусная мера, т.
к. она тоже является отношением двух длин, а именно длины дуги, описанной из вершины угла и заключенной между ее сторонами, к длине дуги равной 1/360 части окружности того же радиуса.
Таким образом, никакой принципиальной разницы между градусной и радианной мерой угла нет, однако введение радианной меры позволяет придать многим формулам более простой вид.
Соотношение градусной и радианной мер наиболее часто встречающихся углов приведено в следующей таблице
Прямой угол содержит в себе 90° или 241 /2 радиан. Острый лежит в пределах от 0 до 90° или от 0 до 241 /2 радиан, тупой – от 90 до 180° или от 241 /2 до 241 . Прямые линии, образующие прямой угол, называются перпендикулярными одна другой.
Часто важно указать, в каком направлении измеряется угол. Если рассматривать в качестве меры угла поворот вокруг вершины О , переводящий луч OA в положение OB, то положительной мера угла считается, если поворот происходит против часовой стрелки, в противном случае угол считается отрицательным .
Таким образом, угол может иметь своей величиной любое действительное число. В тригонометрии такое рассмотрение позволяет изучать тригонометрические функции для любых значений аргумента.
Под углом между двумя кривыми, выходящими из общей точки, в которой каждая из кривых имеет определенную касательную, понимают угол, образованный этими касательными. Понятие угла обобщается и на различные объекты в пространстве (двугранные, телесные и многогранные углы.
Примечание : см. также таблицу значений тригонометрических функций других углов .
Табличные значения синуса 45, косинуса 45 и тангенса 45 градусов указаны . Далее по тексту следует пояснение метода и правильности вычисления этих значений для произвольного прямоугольного треугольника.
45 градусов — это π/4 радиан . Формулы для значений косинуса, синуса и тангенса пи/4 радиан указаны ниже (хотя они и тождественны).
То есть, например, tg π/4 = tg 45 градусов
Как самостоятельно вычислить значения sin cos tg 45 градусов?
Построим и рассмотрим прямоугольный треугольник АВС у которого угол ∠ В = 45°.
На основании соотношения его сторон, вычислим значения тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике для угла 45 градусов. Поскольку треугольник прямоугольный, то значения функций синуса, косинуса и тангенса будут равны соотношению его соответствующих сторон.
Поскольку значение функций синуса, косинуса и тангенса зависят исключительно от градусной меры угла (или значения, выраженного в радианах), то найденные нами соотношения и будут значениями функции синуса 45, косинуса 45 и тангенса 45 градусов.
Согласно свойствам прямоугольного треугольника, угол С — прямой и равен 90 градусам. Угол B мы изначально построили с градусной мерой 45 градусов. Найдем значение угла А. Так как сумма углов треугольника равна 180 градусам, то
∠ А + ∠ В + ∠ С = 180°
Угол C прямой и равен 90 градусам, угол B мы изначально определили как 45 градусов, таким образом:
∠ А = 180° —∠ С — ∠ В = 180° — 90° — 45° = 45°
Поскольку у данного треугольника два угла равны между собой, то треугольник АВС – прямоугольный, и, одновременно, равнобедренный , в котором оба катета равны между собой: AC = BC.
Допустим, что длина сторон равна некому числу АС = ВС = а. Зная длины катетов, вычислим длину гипотенузы.
По теореме Пифагора: АВ 2 =АС 2 +ВС 2
Заменим длины AC и BC на переменную а, тогда получим:
АВ 2 = а 2 + а 2 = 2а 2 ,
тогда АВ=а√ 2.
В результате мы выразили длины всех сторон прямоугольного треугольника с углом 45 градусов через переменную а.
Согласно свойств тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике соотношение соответствующих сторон треугольника будет равным значению соответствующих функций . Таким образом для угла α = 45 градусов:
sin α = BC / AB (согласно определению синуса для прямоугольного треугольника — это отношение противолежащего катета к гипотенузе, BC — катет, AB — гипотенуза)
cos α = AC / AB (согласно определению косинуса — это отношение прилежащего катета к гипотенузе, AC — катет, AB — гипотенуза)
tg α = BC / AC (аналогично, тангенс для угла α будет равен отношению противолежащего катета к прилежащему)
Вместо обозначений сторон подставим значения их длин через переменную а.
Исходя из этого (см. таблицу значений sin 45, cos 45, tg 45 ) получаем:
Табличные значения sin 45, cos 45, tg 45 (то есть значение синуса 45, косинуса 45 и тангенса 45 градусов можно вычислить как соотношение соответствующих сторон данного треугольника), подставим вычисленные выше значения длин сторон в формулы и получим результат на картинке ниже.
Табличные значения: синус 45, косинус 45 и тангенс 45 градусов
Таким образом:
- тангенс 45 градусов равен единице
- синус 45 градусов равен косинусу 45 градусов и равен корню из двух пополам (то же самое, что и единица, деленная на корень из двух)
Как видно из вычислений, приведенных выше, для вычисления значений соответствующей тригонометрической функции важны не длины сторон треугольника, а их соотношение, которое всегда одно и то же для одинаковых углов, независимо от размеров конкретного треугольника.
Синус, косинус и тангенс угла π/4 радиан
В задачах, предлагаемых для решения в старших классах и на ЗНО/ЕГЭ вместо градусной меры угла часто встречается указание на его величину, измеренную в радианах.
Мера угла, выраженная в радианах, базируется на числе пи, которое выражает зависимость длины окружности от ее диаметра.
Для простоты понимания, рекомендую запомнить простой принцип перевода градусов в радианы . Диаметр окружности охватывает дугу, равную 180 градусам. Таким образом, пи радиан будет равно 180 градусам. Откуда легко пересчитать любую градусную меру угла в радианы и обратно.
Учтем, что угол 45 градусов, выраженный в радианах , равен (180 / 45 = 4) π/4 (пи на четыре). Поэтому найденные нами значения верны для той же самой градусной меры угла, выраженной в радианах:
- тангенс π/4 (пи на четыре) равен единице
- синус π/4 (пи на четыре) градусов равен косинусу π/4 градусов и равен корню из двух пополам
Угол 360 градусов — построение, определение, шаги по рисованию и измерению
LearnPracticeDownload
Угол 360 градусов — это полный угол или полный угол, поскольку он образует окружность вокруг точки.
Это ровно вдвое больше прямого угла (угол 180 градусов). Если говорить о реальном примере угла в 360 градусов, то прекрасным примером является угол между двумя стрелками часов в положении 12 часов. Угол между двумя стрелками часов составляет 360°, потому что они образуют полный оборот или круг. Обе руки будут перекрывать друг друга под углом 12, что представляет собой угол в 360 градусов.
| 1. | Что такое угол 360 градусов? |
| 2. | Угол 360 градусов Название |
| 3. | Как нарисовать угол 360 градусов? |
| 4. | Часто задаваемые вопросы |
Что такое угол 360 градусов?
Угол в 360 градусов является полным углом и равен обороту. Его еще называют полным углом. Два плеча угла, составляющего 360 градусов, перекрывают друг друга из общей вершины. Угол в 360 градусов не меняет направление точки или линии.
Посмотрите на изображение, приведенное ниже, показывает, как выглядит угол 360 градусов.
Из изображения выше видно, что угол в 360 градусов образует полный круг. Это шесть раз угол 60 градусов, четыре раза прямой угол и дважды прямой угол.
Угол 360 градусов Название
Угол, равный 360 градусам, называется полным углом . Всякий раз, когда мы строим угол в 360 градусов, он всегда образует круг, поэтому он известен как полный угол. Существуют разные названия углов разных измерений. Например, половина угла в 360 градусов, то есть угол в 180 градусов, известен в геометрии как прямой угол. Точно так же одна четвертая часть 360 градусов, то есть 9Угол 0 градусов известен как прямой угол. Углы, которые меньше 360 градусов, но больше 180 градусов, относятся к категории рефлекторных углов.
Как нарисовать угол 360 градусов?
Угол 360 градусов можно нарисовать с помощью транспортира и циркуля.
Рисование угла в 360 градусов с помощью транспортира
Чтобы нарисовать угол в 360 градусов с помощью транспортира, имеется транспортир на 360 градусов круглой формы.
У него есть центр посередине, который можно проследить, чтобы нарисовать угол в 360 градусов.
Построение угла в 360 градусов с помощью компаса
Выполните указанные действия, чтобы построить угол в 360 градусов с помощью компаса.
- Шаг 1: Начертите с помощью линейки луч и назовите его AB.
- Шаг 2: Поместите кончик компаса в точку A и выберите подходящую ширину на компасе.
- Шаг 3: Поместите кончик карандаша где-нибудь между A и B на луче AB и начните рисовать дугу.
- Шаг 4: Остановитесь, когда снова достигнете той же точки. Это необходимый угол 360°.
Важные примечания
- Угол в 360 градусов также называют полным углом.
- Угол вокруг центральной точки окружности составляет 360 градусов.
Похожие статьи об углах 360 градусов
Ознакомьтесь с интересными статьями об углах 360 градусов.
- Угол 45 градусов
- Уголки
- Угол 60 градусов
- Тупой угол
- Угол 180 градусов
- Угол рефлекса
- Угол 30 градусов
- Угол 90 градусов
Примеры угла 360 градусов
Пример 1: Можете ли вы помочь Джозефу найти разницу между углом 180° и углом 360°?
Решение: Угол в 180 градусов представляет собой прямую линию, известную как полуокружность.
Он изменяет направление линии или луча. Угол в 360 градусов образует круг. Два плеча угла, образующего 360 градусов, перекрывают друг друга.Пример 2: Если угол в 360 градусов разделить на четыре части так, что сумма трех частей равна 270 градусам, то чему равен четвертый угол?
Решение: Пусть неизвестный угол равен x.
сумма трех других углов + x = 360°
270° + х = 360°
х = 360° — 270° = 90°
Следовательно, четвертый угол равен 90°. Это прямой угол.Пример 3: Есть три угла, образующих вместе полный угол: угол A, угол B и угол C. Если угол A = 130 градусов, угол B = 90 градусов, то какова величина угла C?
Решение: Мы знаем, что полный угол равен 360 градусам. Это означает, что угол A + угол B + угол C = 360 градусов.
130° + 90° + С = 360°
C = 360° — (90° + 130°) = 140°Таким образом, угол C равен 140 градусам.
Он изменяет направление линии или луча. Угол в 360 градусов образует круг. Два плеча угла, образующего 360 градусов, перекрывают друг друга.
перейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайду
Разбивайте сложные концепции с помощью простых визуальных средств.
Математика больше не будет сложным предметом, особенно когда вы понимаете концепции с помощью визуализаций с помощью Cuemath.
Записаться на бесплатный пробный урок
Практические вопросы по углу 360 градусов
перейти к слайдуперейти к слайду
Часто задаваемые вопросы об угле 360 градусов
Как называется угол 360 градусов?
Угол в 360 градусов называется полным углом, полным углом или полным поворотом. Он образует круг вокруг точки. Прекрасным примером угла в 360 градусов являются две стрелки часов в положении 12 часов.
Как выглядит угол 360 градусов?
Угол в 360 градусов выглядит как круг, поскольку он совершает полный оборот или оборот вокруг точки.
Как нарисовать угол 360 градусов?
Чтобы построить угол в 360 градусов, нарисуйте луч с помощью линейки.
Поместите кончик циркуля в конечную точку и нарисуйте дугу, начинающуюся и заканчивающуюся в одной и той же точке луча. Этот угол и будет искомым.
Сколько прямых углов составляют угол 360 градусов?
Прямой угол равен 90 градусам. Чтобы найти количество прямых углов, необходимых для угла в 360 градусов, нам нужно разделить 360 на 90. Таким образом, 360/90 = 4. Следовательно, 4 прямых угла составляют угол в 360 градусов.
Как нарисовать угол 360 градусов с помощью транспортира?
Транспортир на 360 градусов имеет форму круга. Итак, чтобы составить угол в 360 градусов с помощью транспортира, нарисуйте линию, луч или отрезок. Поместите центральную точку этого транспортира в любую конечную точку линии. Проследите окружность, заданную в центре, вокруг конечной точки. Это и будет искомый угол 360 градусов.
Загрузить БЕСПЛАТНЫЕ учебные материалы
Рабочие листы с углами 360 градусов
Рабочие листы по математике и
визуальные учебные программы
Типы углов
Существует довольно много различных типов углов
что вам нужно знать.
Изучение этих специальных типов углов полезно
потому что они помогают вам использовать приемы, которые могут сделать вашу жизнь намного проще, когда
вы делаете расчеты. Если вы знаете, под каким углом вы смотрите
вы сможете решить, какой трюк использовать, чтобы облегчить вашу работу.
Острые углы
Углы меньше 90°. меньший что’ часть важна — 90 градусов сами по себе , а не острый угол.
Рекламные ссылки
Прямые углы
Углы 90 градусов получили свое особое название — они известны как прямых углов . Они также получают свой собственный специальный символ угла. — вместо того, чтобы рисовать изогнутую линию для обозначения угла, вы рисуете маленькую рамку вот так:
Тупые углы
Итак, имена звучат довольно странно, но поскольку это то, что все используют, вы должны их изучить. Тупые углы между 90° и 180°.
Прямые углы
Есть специальное название для углов, которые точно
180°.
Их называют прямыми углами . На этот раз имя делает
в полном смысле — когда вы рисуете этот угол, вы рисуете прямую линию!
Углы рефлекса
Что ж, остаются только углы между 180 и 360 градусов. Эти углы называются углы рефлекса .
360 градусов
Угол, равный 360 градусам, часто называют оборотом . Одна из очень важных вещей, которые нужно знать об угле, равном 360 градусам, это что это то же самое, что и угол 0 градусов. Это потому, что когда вы вращаетесь на 360 градусов, вы возвращаетесь к тому, с чего начали, то есть к 0 градусов:
Это правило также применяется для углов больше 360°. Например, скажем, я повернулся на 372°. Это тот же угол, что и 12 градусов, как видно:
Простой способ упростить любой угол свыше 360 градусов. состоит в том, чтобы продолжать отнимать от него 360, пока угол не будет между 0 и 360 градусов. Например, если бы мне дали 800 градусов, я бы сделал так:
440° больше, чем 360°, поэтому мне нужно сохранить вычитая из него 360:
Бинго – угол 800° равен углу 80°.
Когда не упрощать углы больше 360 градусов
В некоторых ситуациях углы больше 360 градусов может иметь смысл. Например, скажем, вы смотрите автомобильные гонки по телевизору. и машина теряет управление и дважды полностью переворачивается. Если бы ты был описывая это кому-нибудь позже, вы могли бы сказать что-то вроде: «Машина потеряла управление и вращается на 720 градусов». Говоря 720 градусов, вы сообщаете человека, что машина сделала два полных оборота – с одного полного оборота или вращение 360 градусов.
Скейтбордисты, сноубордисты, вейкбордисты, серферы, лыжники и многие другие экстремальные спортсмены часто используют такие термины чтобы описать специальные трюки, которые они делают. Простой трюк на доске для серфинга называется «360», при котором во время катания на волне серфер вращает доску на 360 градусов. градусов – отсюда и название «360».
Дополнительные углы
Когда кто-то говорит о дополнительных углах они говорят не об одном, а о двух ракурсах.
Дополнительные углы складываются
90°. Например, 50° и 40° являются дополнительными углами. Поскольку дополнительные
углы в сумме дают 90°, вы знаете, что ни один из них не может быть больше 90°.
Дополнительные углы обычно легко заметить, потому что вместе они составляют 90 209 прямых.
угол . Взгляните, например, на эту диаграмму:
Первое, на что следует обратить внимание, это три углы на схеме. Есть угол 53°, угол x° и прямой угол. Также обратите внимание, что для 53° и x° я не удосужился нарисовать кривую. линия, показывающая угол – для такой простой диаграммы довольно ясно, что каждый угол соответствует .
Скажем, мне нужно было вычислить, чему равен «x». В настоящее время,
как на экзамене, чтобы отработать ответ, наверное нужно что-то использовать
что вы только недавно узнали. Мы только что говорили о дополнительных
углы, так как насчет того, чтобы попытаться использовать это в наших интересах. Глядя на
диаграмме вы можете видеть, что прямой угол равен , составленному из 53° и
х°.
Другими словами:
Мы должны думать об угле, который при добавлении к 53° дает нам 90°. Это не так уж сложно, если вы немного подумаете об этом, вы должны получаем:
Это означает, что x равно 37.
Дополнительные углы очень похожи на
2 за исключением того, что в сумме они должны составлять 180°, а не 90°. Так, например, 60° и 120° дополнительных углов. Другой способ сказать это: «120 градусов — это дополнение к 60 градусам».Дополнительные углы легко заметить на диаграммах потому что они образуют прямой угол. Вот схема, показывающая два дополнительные углы:
На этой диаграмме t° и 141° являются дополнительными углов, так как вместе они составляют прямой угол, или 180 градусов в других слова. Если мы запишем это математически, то это будет выглядеть так:
значение ‘t’, которое сделает это уравнение равным верно .
Если вы думаете о
и вычислить, что t равно 39. обозначьте четыре образовавшихся угла:
Обратите внимание, что каждый угол имеет угол , противоположный . например, напротив «а» стоит «с», а напротив «d» — «б». Эти две пары углов известны как по вертикали напротив углов . Вертикально противоположные углы равны по величине, поэтому на этой диаграмме «а» имеет тот же размер, что и «с» и «d» такие же, как «b». Это очень полезно, когда у вас есть ситуации примерно так:
Поскольку «а» и 121° вертикально противоположны, вы можно сразу понять, что «а» тоже равно 121°.
Описание углов
Любой угол измеряется между двумя различными направления. Обычно на диаграмме эти направления изображают линиями, иногда со стрелками на них. На экзамене вам может встретиться такая диаграмма, как это:
Вы можете видеть, что между
эти две линии — я показал это, нарисовав изогнутую линию.
Но как ты
описать этот угол надлежащим математическим способом? Ну вот где можно
используйте метки A, B и C на схеме. Для описания этого угла сначала нужно
чтобы записать метки на концах двух линий, угол равен
между ними, с таким промежутком между ними:
Пробел, который вы оставили, предназначен для этикетки в точке где угол на самом деле. В данном случае угол находится в точке B, поэтому заполняем пробел с буквой «В»:
об угле, а не просто последовательность букв, мы используем специальный угол символ и поставить его перед буквами:
Это означает «угол в точке B, который находится между линии, направленные от В к точкам А и точкам С».
Поворот шаблона окружности транспортира, 360 градусов, угол, компас png
Транспортир Круг Градус Шаблон Поворот, 360 градусов, угол, компас pngPNG ключевые слова
- угол, png
- компас,
- градусов, линейка
- ,
- 360 градусов,
- полукруг,
- полиграфия,
- процентов,
- математика,
- строка,
- часы,
- район,
- Транспортир,
- Круг,
- Шаблон,
- Поворот,
- png,
- стикер png,
- скачать бесплатно
PNG
18KB )- Размеры
- 1920x1920px
- Размер файла
- 664,18 КБ
- Тип MIME
- Изображение/png
изменить размер png
ширина (пкс)
высота (пкс)
Некоммерческое использование, DMCA Свяжитесь с нами
- иллюстрация транспортира, измерение угла линейки транспортира, шкала, школьные принадлежности, компас png 2000x1104px 269,75 КБ
- Транспортир Круговой график Градус Угол, круг, шаблон, линейка png 1024x1024px 322,24 КБ
- Транспортир Геометрия Математика Степень измерения, Математика PNG 755x422px 208,67 КБ
- Круг угла транспортира в градусах, транспортир для печати 360, белый, текст png 600x599px 63,03 КБ
- Транспортир Линейка Угол Математический круг, Транспортир, измерение, компас png 747x395px 36,41 КБ
- Угол Градуса Транспортира Диаграмма Круга, Угол, шаблон, угол png 800x791px 99,04 КБ
- Транспортир Градус Компас Линейка Круг, вольф, шаблон, угол png 600x600px 157,9КБ
- Транспортир Измерение Геометрия Угловая линейка, Угол, школьные принадлежности, компас png 1490x733px 138,86 КБ
- Линейка Измеритель Транспортир Карандаш Ластик, шкала линейки, угол, карандаш png 960x320px 32,03 КБ
- Градусная диаграмма Транспортир Круг Угол, круг, угол, измерение png 1200x1200px 389,21 КБ
- Изучаем математику Правитель, Математика, измерение, компас png 512x512px 90,83 КБ
- Транспортир, полукруг, угол, религия png 2400x1200px 100,14 КБ
- Полуокружность Дуга, круг, треугольник, автозапчасти png 960x641px 112,73 КБ
- прозрачный и черный транспортир, равносторонний треугольник Рисование транспортира, транспортир, угол, прямоугольник png 800x413px 197,92 КБ
- Транспортир Чертеж Линейка Треугольник, Угол, угол, треугольник png 800x480px 107,36 КБ
- Учебный план линейки Транспортир, Цветовая шкала, угол, цвет Всплеск png 1032x955px 177,82 КБ
- Транспортир Линейка Угол Градус Круг, Угол, угол, измерение png 2000x1200px 387,27 КБ
- Amazon.com Compass Circle Helix Group PLC Транспортир, континентальный круговой бордюр, угол, карандаш png 2400x2400px 244,54 КБ
- Угол Транспортир Полукруг, Угол, угол, треугольник png 1280x640px 61,56 КБ
- Линейка Straightedge Измерительный прибор Полукруг Компас, компас, угол, техника png 2561x1417px 4,84 МБ
- Транспортир Набор квадратов, линейка, угол, техника png 1024x775px 183,75 КБ
- Циферблат Цифровые часы Час, часы, цифровые часы, время png 600x600px 198,39 КБ
- Северный компас, компас, угол, техника png 800x800px 331,31 КБ
- Угол рисования транспортира Линейка Градус, Угол, угол, треугольник png 800x480px 113,94 КБ
- Линейка Набор квадратный Треугольник, Школьная линейка с, угол, текст png 2128x2129px 107,28 КБ
- Компас, компас, угол, техника png 600x600px 68,79 КБ
- иллюстрация желтой линейки, измерение линейки математики, построение компаса и линейки, линейка t, число, умножение png 1168x1150px 30,4 КБ
- Компасно-линейная конструкция Математика Транспортир Геометрия, геометрия, угол, техника png 650x1528px 276,14 КБ
- коричневая линейка и серебряный транспортир, транспортир Amazon.com Set Square Degree Ruler, желтая серебряная линейка для учебных инструментов, круглая линейка, угол, строительные инструменты png 3195x3994px 869,3 КБ
- Инструмент Компас Линейка, серебряный учебный инструмент компас, угол, строительные инструменты png 2330x3261px 253,27 КБ
- Циферблат Цифровые часы Время, часы, угол, белый png 600x600px 17,56 КБ
- черно-белая иллюстрация компаса, северное кардинальное направление Компас, компас, угол, техника png 980x958px 94 КБ
- Угловой узор точки круга, круг, шаблон, угол png 2000x2000px 605,54 КБ
- черный треугольник графика, форма равностороннего треугольника, треугольник, шаблон, угол png 1200x1200px 23,61 КБ
- Часы, значок часов, угол, число png 1024x1024px 66,7 КБ
- Компас Инструмент Канцтовары Транспортир Линейка, компас, угол, техника png 4087x5324px 747,51 КБ
- Полукруглая линия Дуга, линия, угол, геометрическая форма png 500x500px 5,64 КБ
org/ImageObject»> Транспортир Градус Измерение Угол радиана, чертеж в масштабе, компас, число png
500x500px
46,72 КБ
org/ImageObject»> иллюстрация линейки, линейка транспортир канцелярские товары, линейка компасов канцелярские товары, угол, белый png
773x758px
132,1 КБ
org/ImageObject»> Северная компасная роза, компас, угол, техника png
800x800px
30,25 КБ
org/ImageObject»> полукруглая иллюстрация, полукруглая геометрическая линия, дуга, полукруглая дуга, угол, треугольник png
768x768px
10,01 КБ
org/ImageObject»> Компас Рисунок, компас, угол, техника png
1024x1013px
312,68 КБ
org/ImageObject»> Роза компаса Кардинальное направление, компас, угол, техника png
3202x3217px
364,5 КБ
org/ImageObject»> Линейка Геометрия Régua Онлайн измерение угла, угла, угол, текст png
1020x340px
38,38 КБ